Kategorie O - Category O

V teorie reprezentace z napůl jednoduché Lie algebry, Kategorie O (nebo kategorie ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ ) je kategorie jehož předměty jsou si jistí reprezentace a polojednoduchý Lež algebra a morfismy jsou homomorfismy reprezentací.

Úvod

Předpokládat, že ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je (obvykle komplex ) napůl jednoduchý Lie algebra s a Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , ${ displaystyle Phi}$ je kořenový systém a ${ displaystyle Phi ^ {+}}$ je systém pozitivní kořeny. Označit podle ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ the kořenový prostor odpovídající kořenu ${ displaystyle alpha in Phi}$ a ${ displaystyle { mathfrak {n}}: = bigoplus _ { alpha in Phi ^ {+}} { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ A nilpotentní subalgebra.

Li ${ displaystyle M}$ je ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul a ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}} ^ {*}}$ , pak ${ displaystyle M _ { lambda}}$ je váhový prostor

{ displaystyle M _ { lambda} = {v v M: forall h in { mathfrak {h}} , , h cdot v = lambda (h) v }.}

Definice kategorie O

Objekty kategorie ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ jsou ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - moduly ${ displaystyle M}$ takhle

${ displaystyle M}$ je definitivně generován
${ displaystyle M = bigoplus _ { lambda v { mathfrak {h}} ^ {*}} M _ { lambda}}$
${ displaystyle M}$ je lokálně ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ -konečný. To znamená pro každého ${ displaystyle v v M}$ , ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ -modul generovaný ${ displaystyle v}$ je konečně-dimenzionální.

Morfismy této kategorie jsou ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -homomorfismy těchto modulů.

Základní vlastnosti

Každý modul v kategorii O má konečný rozměr váhové prostory.
Každý modul v kategorii O je a Noetherian modul.
O je abelianská kategorie
O má dost projektantů a injekční.
O je uzavřeno pro podmoduly, kvocienty a konečné přímé součty
Objekty v O jsou ${ displaystyle Z ({ mathfrak {g}})}$ - konečný, tj. pokud ${ displaystyle M}$ je objekt a ${ displaystyle v v M}$ , pak podprostor ${ displaystyle Z ({ mathfrak {g}}) v subseteq M}$ generováno uživatelem ${ displaystyle v}$ v rámci akce centrum z univerzální obalová algebra, je konečně-dimenzionální.

Příklady

Vše konečně-dimenzionální ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -moduly a jejich ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -homomorfismy jsou v kategorii O.
Verma moduly a zobecněné moduly Verma a jejich ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -homomorfismy jsou v kategorii O.

Viz také

Reference

Humphreys, James E. (2008), Reprezentace polojediných Lieových algeber v kategorii BGG O (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, archivovány z originál (PDF) dne 2012-03-21