Springerova korespondence - Springer correspondence

V matematice je Springer reprezentace jsou určitými reprezentacemi Weylova skupina Ž spojené s unipotentní třídy konjugace a polojednoduchý algebraická skupina G. Je zde zahrnut další parametr, reprezentace určité konečné skupiny A(u) kanonicky určeno třídou unipotentní konjugace. Každému páru (u, φ) skládající se z unipotentního prvku u z G a neredukovatelné zastoupení φ z A(u), lze přidružit buď neredukovatelné zastoupení skupiny Weyl, nebo 0. Asociace

${displaystyle (u, phi) mapsto E_ {u, phi} quad uin U (G), phi v {widehat {A (u)}}, E_ {u, phi} v {widehat {W}}}$

záleží pouze na třídě konjugace u a generuje korespondenci mezi neredukovatelnými reprezentacemi Weylovy skupiny a páry (u, φ) modulo konjugace, nazývaná Springerova korespondence. Je známo, že každé neredukovatelné zastoupení Ž vyskytuje se v korespondenci přesně jednou, i když φ může být netriviální reprezentace. Springerovu korespondenci výslovně popsali ve všech případech Lusztig, Spaltenstein a Shoji. Korespondence, spolu s jejími zevšeobecněním způsobenými Lusztigem, hraje klíčovou roli Lusztigova klasifikace z neredukovatelné reprezentace z konečné skupiny Lieova typu.

Konstrukce

Bylo vyvinuto několik přístupů ke Springerově korespondenci. T. A. Springer Původní konstrukce (1976) pokračovala definováním akce Ž na top-dimenzionální l-adická kohomologie skupiny algebraická rozmanitost B_u z Podskupiny Borel z G obsahující daný unipotentní prvek u a polojednoduchá algebraická skupina G přes konečné pole. Tuto konstrukci zobecnil Lusztig (1981), který také eliminoval některé technické předpoklady. Springer později dal jinou konstrukci (1978), používal obyčejnou kohomologii s racionálními koeficienty a složitými algebraickými skupinami.

Kazhdan a Lusztig našli topologickou konstrukci Springerových reprezentací pomocí Odrůda Steinberg a údajně objeven Kazhdan – Lusztigovy polynomy v průběhu. Zobecněnou Springerovu korespondenci studoval Lusztig-Spaltenstein (1985) a Lusztig ve své práci o znak snopy. Borho a MacPherson (1983) poskytli ještě další konstrukci Springerovy korespondence.

Příklad

Pro speciální lineární skupina SL_n, třídy unipotentní konjugace jsou parametrizovány pomocí oddíly z n: pokud u je unipotentní prvek, odpovídající oddíl je dán velikostmi souboru Jordan bloky z u. Všechny skupiny A(u) jsou triviální.

Weylova skupina Ž je symetrická skupina S_n na n písmena. Jeho neredukovatelné reprezentace nad polem charakteristické nuly jsou také parametrizovány oddíly n. Springerova korespondence je v tomto případě bijekce a ve standardních parametrizacích je dána transpozicí oddílů (takže triviální reprezentace Weylovy skupiny odpovídá pravidelné unipotentní třídě a znaková reprezentace odpovídá prvku identity G).

Aplikace

Springerova korespondence se ukázala být úzce spjata s klasifikací primitivní ideály v univerzální obalová algebra komplexního polojediného Lež algebra, jednak jako obecný princip, jednak jako technický nástroj. Mnoho důležitých výsledků je způsobeno Anthony Joseph. Borho vyvinul geometrický přístup, Brylinski a MacPherson.

Reference

• Walter Borho, Jean-Luc Brylinski a Robert MacPherson. Nilpotentní oběžné dráhy, primitivní ideály a charakteristické třídy. Geometrická perspektiva v teorii prstenů. Progress in Mathematics, 78. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1989. ISBN  0-8176-3473-8
• W. Borho a R. MacPherson. Částečné rozlišení nilpotentních odrůd. Analýza a topologie singulárních prostorů, II, III (Luminy, 1981), 23–74, Astérisque, 101–102, Soc. Matematika. Francie, Paříž, 1983.
• D. Kazhdan a G. Lusztig Topologický přístup k zastoupení společnosti Springer Adv. Matematika. 38 (1980) 222–228.
• G. Lusztig. Zelené polynomy a singularity unipotentních tříd. Adv. v matematice. 42 (1981), 169–178.
• G. Lusztig a N. Spaltenstein. Zobecněná Springerova korespondence pro klasické skupiny. Advanced Studies in Pure Mathematics, sv. 6 (1985), 289–316.
• N. Spaltenstein. Zobecněná korespondence společnosti Springer pro výjimečné skupiny. Advanced Studies in Pure Mathematics, sv. 6 (1985), 317–338.
• Springer, T. A. (1976), "Trigonometrické součty, zelené funkce konečných skupin a reprezentace Weylových skupin", Vymyslet. Matematika., 36: 173–207, Bibcode:1976InMat..36..173S, doi:10.1007 / BF01390009, PAN  0442103
• Springer, T. A. Konstrukce reprezentací Weylových skupin. Vymyslet. Matematika. 44 (1978), č. 5. 3, 279–293. PAN0491988 doi:10.1007 / BF01403165
• Springer, T. A. Aplikace Quelques de la cohomologie křižovatka. Séminaire Bourbaki, expozice 589, Astérisque 92–93 (1982).