Křižovatková homologie - Intersection homology
v topologie, pobočka matematika, křižovatková homologie je obdobou singulární homologie zvláště vhodný pro studium singulární prostory, objeveno uživatelem Mark Goresky a Robert MacPherson na podzim roku 1974 a vyvinuli je v příštích několika letech.
K prokázání byla použita křižovatková kohomologie Kazhdan – Lusztig dohady a Riemann – Hilbertova korespondence. Je to úzce spjato s L2 kohomologie.
Goresky – MacPhersonův přístup
The homologické skupiny a kompaktní, orientované, připojeno, n-dimenzionální potrubí X mít základní vlastnost zvanou Poincaré dualita: tady je perfektní párování
Klasicky - například návrat zpět do Henri Poincaré —Tato dualita byla chápána ve smyslu teorie průniku. Prvek
je reprezentován a j-rozměrný cyklus. Pokud i-dimenzionální a -rozměrný cyklus je v obecná pozice, pak je jejich průsečík konečnou sbírkou bodů. Použití orientace X každému z těchto bodů lze přiřadit znaménko; jinými slovy křižovatka poskytuje a 0-rozměrný cyklus. Lze dokázat, že třída homologie tohoto cyklu závisí pouze na třídách homologie originálu i- a -dimenzionální cykly; jeden může dále dokázat, že toto párování je perfektní.
Když X má singularity- to znamená, když má prostor místa, která nevypadají —Této myšlenky se rozpadají. Například pro cykly již není možné pochopit pojem „obecná poloha“. Goresky a MacPherson představili třídu „povolených“ cyklů, pro které má obecná poloha smysl. Zavedli vztah ekvivalence pro přípustné cykly (kde pouze „přípustné hranice“ jsou ekvivalentní nule) a nazvali skupinu
z i-rozměrné přípustné cykly modulo tento vztah ekvivalence "průniková homologie". Dále ukázali, že průsečík i- a -dimenzionální povolený cyklus dává (běžný) nulový cyklus, jehož třída homologie je dobře definována.
Stratifikace
Křižovatková homologie byla původně definována na vhodných prostorech s a stratifikace, i když se skupiny často ukázaly být nezávislé na volbě stratifikace. Existuje mnoho různých definic stratifikovaných prostorů. Vhodný pro křižovatkovou homologii je n-dimenzionální topologické pseudomanifold. Toto je (paracompact, Hausdorff ) prostor X který má filtraci
z X uzavřenými podprostory tak, aby:
- Pro každého i a za každý bod X z , existuje sousedství z X v X, kompaktní -rozměrný stratifikovaný prostor La homeomorfismus zachovávající filtraci . Tady je otevřený kužel L.
- .
- je hustá v X.
Li X je topologický pseudomanifold, i-dimenzionální vrstva z X je prostor .
Příklady:
- Li X je n-dimenzionální zjednodušený komplex tak, že každý simplex je obsažen v n-jednodušší a n−1 simplex je obsažen přesně ve dvou n-simplexes, pak podkladový prostor X je topologický pseudomanifold.
- Li X je jakákoli složitá kvazi-projektivní odrůda (možná se singularitami), pak je jejím podkladovým prostorem topologický pseudomanifold se všemi vrstvami sudé dimenze.
Zvrácenost
Křižovatkové homologické skupiny závisí na volbě zvrácenosti , která měří, do jaké míry se mohou cykly odchýlit od transverzality. (Původ názvu "zvrácenost" vysvětlil Goresky (2010).) A zvrácenost je funkce
z celých čísel na celá čísla taková
- .
- .
Druhá podmínka se používá k prokázání invariance skupin homologické křižovatky při změně stratifikace.
The doplňková zvrácenost z je ten s
- .
Skupiny homologické křižovatky komplementární dimenze a komplementární zvrácenosti jsou vzájemně spárovány.
Příklady zvrácenosti
- Minimální zvrácenost má . Jeho doplňkem je maximální zvrácenost .
- Nižší) střední zvrácenost m je definováno , celá část z . Jeho doplňkem je horní střední zvrácenost, s hodnotami . Pokud není zvrácenost specifikována, pak obvykle znamená nižší střední zvrácenost. Pokud lze prostor stratifikovat se všemi vrstvami sudé dimenze (například s jakoukoli složitou odrůdou), pak jsou skupiny homologických křižovatek nezávislé na hodnotách zvrácenosti u lichých celých čísel, takže horní a dolní střední zvrácenosti jsou ekvivalentní.
Homologie singulárního průniku
Opravte topologický pseudomanifold X dimenze n s určitou stratifikací a zvráceností p.
Mapa σ ze standardu i-jednodušší na X (singulární simplex) se nazývá přípustný -li
je obsažen v kostra .
Komplex je subkomplex komplexu singulárních řetězců X který se skládá ze všech singulárních řetězců tak, že řetězec i jeho hranice jsou lineární kombinace povolených singulárních simplexů. Skupiny homologie singulárního průniku (se zvráceností p)
jsou homologické skupiny tohoto komplexu.
Li X má triangulaci kompatibilní se stratifikací, pak lze podobné homologické skupiny průsečíků definovat podobným způsobem a jsou přirozeně izomorfní se singulárními průsečíkovými homologickými skupinami.
Skupiny homologie průniků jsou nezávislé na volbě stratifikace X.
Li X je topologické potrubí, pak jsou průnikové homologické skupiny (pro jakoukoli zvrácenost) stejné jako obvyklé homologické skupiny.
Malá rozlišení
komplexní odrůdy Y se nazývá a malé rozlišení pokud pro každého r > 0, prostor bodů Y kde má vlákno rozměr r je codimension větší než 2r. Zhruba to znamená, že většina vláken je malá. V tomto případě morfismus indukuje izomorfismus z (průsečíku) homologie X k homologii křižovatky Y (se střední zvráceností).
Existuje odrůda se dvěma různými malými rozlišeními, která mají na své kohomologii různé prstencové struktury, což ukazuje, že na křižovatce (ko) homologii obecně neexistuje žádná přirozená prstencová struktura.
Teorie svazků
Deligneův vzorec pro kohomologii křižovatky to říká
kde je určitý komplex konstruovatelné snopy na X (považováno za prvek odvozené kategorie, takže cohomologie vpravo znamená hyperkohomologie komplexu). Komplex je dáno začátkem s konstantním svazkem na otevřené sadě a opakovaně ji rozšiřovat na větší otevřené sady a poté jej zkrátit v odvozené kategorii; přesněji je to dáno Delignovým vzorcem
kde je zkrácený funktor v odvozené kategorii, je zahrnutí do , a je stálý svazek .[1]
Nahrazením stálého svazku v místním systému lze použít Deligneův vzorec k definování průnikové kohomologie s koeficienty v místním systému.
Příklady
Vzhledem k hladkému eliptická křivka definovaný kubickým homogenním polynomem [2]str. 281-282, jako , afinní kužel
od té doby má v původu izolovanou singularitu a všechny částečné deriváty zmizet. Je to proto, že je homogenní se stupněm a deriváty jsou homogenní se stupněm 2. Nastavení a mapa začlenění, komplex křižovatky je uveden jako
To lze vypočítat explicitně při pohledu na stonky kohomologie. Na kde odvozenou dopřednou stránkou je mapa identity v hladkém bodě, proto je jediná možná kohomologie koncentrována ve stupních . Pro cohomologie je od té doby zajímavější
pro kde je uzavření obsahuje původ. Protože jakýkoli lze upřesnit zvážením průsečíku otevřeného disku v s , můžeme jen spočítat cohomologii . Toho lze dosáhnout pozorováním je svazek přes eliptickou křivku , svazek nadroviny a Wangova sekvence dává kohomologické skupiny
tedy cohomologie svazuje o stopku jsou
zkrácení to dává netriviální cohomologické svazky , tedy průsečík cohomology snop je
Poslední rozklad vyplývá z Věta o rozkladu.
Vlastnosti komplexního IC (X)
Komplexní ICp(X) má následující vlastnosti
- Na doplnění nějaké uzavřené sady codimensionu 2 máme
- je 0 pro i + m ≠ 0 a pro i = −m skupiny tvoří konstantní místní systém C
- je 0 pro i + m < 0
- Li i > 0 potom je nula s výjimkou alespoň sady kódových dimenzí A pro nejmenší A s p(A) ≥ m − i
- Li i > 0 potom je nula s výjimkou alespoň sady kódových dimenzí A pro nejmenší A s q(A) ≥ (i)
Jako obvykle, q je doplňující se zvrácenost p. Komplex je navíc jedinečně charakterizován těmito podmínkami, až po izomorfismus v odvozené kategorii. Podmínky nezávisí na volbě stratifikace, takže to ukazuje, že ani křižovatková kohomologie nezávisí na volbě stratifikace.
Vernější dualita bere ICp do ICq posunul o n = dim (X) v odvozené kategorii.
Viz také
- Věta o rozkladu
- Homologie Borel – Moore
- Topologicky stratifikovaný prostor
- Teorie křižovatky
- Perverzní svazek
- Smíšená Hodgeova struktura
Reference
- ^ Varování: Existuje více než jedna konvence pro způsob, jakým zvrácenost vstupuje do Deligneovy konstrukce: čísla jsou někdy psány jako .
- ^ Hodgeova teorie (PDF). Cattani, E. (Eduardo), 1946-, El Zein, Fouad`` Griffiths, Phillip, 1938-, Lê, Dũng Tráng ,. Princeton. ISBN 978-0-691-16134-1. OCLC 861677360. Archivovány od originál dne 15. srpna 2020.CS1 maint: extra interpunkce (odkaz) CS1 maint: ostatní (odkaz)
- Armand Borel, Průniková kohomologie (Progress in Mathematics (Birkhauser Boston)) ISBN 0-8176-3274-3
- Mark Goresky a Robert MacPherson, La dualité de Poincaré pour les espaces singuliers. C.R.Acad. Sci. t. 284 (1977), str. 1549–1551 Serie A.
- Goresky, Marku (2010), Jaká je etymologie výrazu „perverzní svazek“?
- Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Teorie křižovatkové homologie, Topologie 19 (1980), č. 1 2, 135–162. doi:10.1016/0040-9383(80)90003-8
- Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Křižovatková homologie. II, Inventiones Mathematicae 72 (1983), č. 1. 1, 77–129. 10.1007 / BF01389130 PAN0696691 To dává svazkový teoretický přístup k průnikové kohomologii.
- Frances Kirwan, Jonathan Woolf Úvod do teorie křižovatkové homologie, ISBN 1-58488-184-4
- Kleiman, Steven. Vývoj teorie křižovatkové homologie. Století matematiky v Americe, část II, Hist. Matematika. 2, Amer. Matematika. Soc., 1989, str. 543–585.
- „Křižovatková homologie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
externí odkazy
- Jaká je etymologie výrazu „perverzní svazek“? (zahrnuje diskusi o etymologii pojmu „homologie křižovatky“) - MathOverflow