Soddys hexlet - Soddys hexlet - Wikipedia

Obrázek 1. Rodina hexletů souvisejících s rotací a změnou měřítka. Středy koulí padají na elipsa, což z něj dělá eliptický hexlet.

v geometrie, Soddyho hexlet je řetězec šesti koule (na obrázku 1 zobrazeno šedě), z nichž každý je tečna oběma svým sousedům a také třem vzájemně tečným daným sférám. Na obrázku 1 jsou třemi koulemi červená vnitřní koule a dvě koule (nejsou zobrazeny) nad a pod rovinou, na které leží středy hexletových koulí. Kuličky hexletu jsou navíc tečné ke čtvrté kouli (modrá vnější koule na obrázku 1), která není tečná ke třem ostatním.

Podle a teorém publikováno Frederick Soddy v roce 1937,[1] vždy je možné najít hexlet pro libovolný výběr vzájemně tečných koulí A, B a C. Ve skutečnosti existuje nekonečná rodina hexletů souvisejících s rotací a změnou měřítka koulí hexletů (obrázek 1); v tomto je Soddyho hexlet sférický analog a Steinerův řetěz šesti kruhů.[2] V souladu s Steinerovými řetězy leží středy koulí hexletů v jedné rovině, na elipsě. Soddyho hexlet byl také objeven nezávisle v Japonsku, jak ukazuje Sangaku tablety z roku 1822 v prefektuře Kanagawa.[3]

Definice

Soddyho hexlet je řetězec šesti koulí, označených S1–S6, z nichž každá je tečná ke třem daným sférám, A, B a C, které jsou samy o sobě tečné ve třech odlišných bodech. (Kvůli jednotnosti v celém článku budou hexletové koule vždy zobrazeny šedými koulemi A a B zeleně a koule C modře.) Koule hexletů jsou také tečné ke čtvrté pevné kouli D (vždy zobrazeno červeně), které není tečné k ostatním třem, A, B a C.

Každá koule Soddyho hexletu je také tečná ke svým sousedům v řetězci; například koule S4 je tangenta k S3 a S5. Řetěz je uzavřen, což znamená, že každá koule v řetězci má dva tangenty sousedů; zejména počáteční a konečná oblast, S1 a S6, jsou navzájem tečna.

Prstencový hexlet

Obrázek 2: Kruhový hexlet.

Prstencový hexdy Soddy je speciální případ (obrázek 2), ve kterém tři vzájemně tečné koule sestávají z jediné koule o poloměru r (modrá) vložená mezi dvě rovnoběžné roviny (zelená) oddělené kolmou vzdáleností 2r. V tomto případě se Soddyho hexlet skládá ze šesti koulí o poloměru r zabalené jako kuličková ložiska kolem centrální koule a podobně vložené. Hexletové koule jsou také tečna ke čtvrté kouli (červená), která není tečna k ostatním třem.

Řetěz šesti koulí lze otáčet kolem centrální koule bez ovlivnění jejich tečnosti, což ukazuje, že pro tento případ existuje nekonečná rodina řešení. Jak se otáčí, koule hexletu vystopují a torus (povrch ve tvaru koblihy); jinými slovy, torus je obálka této rodiny hexletů.

Řešení inverzí

Obecný problém najít hexlet pro tři dané vzájemně tečné koule A, B a C lze zmenšit na prstencový případ pomocí inverze. Tato geometrická operace vždy transformuje koule do koulí nebo do rovin, které lze považovat za koule s nekonečným poloměrem. Koule se transformuje do roviny právě tehdy, když koule prochází středem inverze. Výhodou inverze je, že zachovává tečnost; pokud jsou dvě koule tečné před transformací, zůstanou tak i po ní. Je-li tedy inverzní transformace zvolena uvážlivě, lze problém snížit na jednodušší případ, jako je prstencový Soddyho hexlet. Inverze je reverzibilní; opakování inverze ve stejném bodě vrátí transformované objekty do jejich původní velikosti a polohy.

Inverze v bodě tečnosti mezi koulemi A a B transformuje je do paralelních rovin, které lze označit jako A a b. Od sféry C je tečna k oběma A a B a neprochází středem inverze, C se transformuje do jiné sféry C to je tečna k oběma rovinám; proto, C je mezi dvěma rovinami A a b. Toto je prstencový hexlet Soddy (obrázek 2). Šest sfér s1–s6 mohou být zabaleny C a podobně vložené mezi ohraničující roviny A a b. Re-inverze obnoví tři původní koule a transformuje se s1–s6 do hexletu pro původní problém. Obecně se jedná o hexletové koule S1–S6 mají různé poloměry.

Otáčením šesti koulí lze generovat nekonečnou škálu hexletů s1–s6 v jejich rovině o libovolný úhel, než je znovu převrátíte. Obálka vytvořená těmito rotacemi je torus který obklopuje sféru C a je vložen mezi dvě roviny A a b; torus má tedy vnitřní poloměr r a vnější poloměr 3r. Po opětovné inverzi se tento torus stává a Dupin cyklid (Obrázek 3).

Obrázek 3: Dupinův cyklid, kterým rotují hexletové koule, se vždy dotýká. Cyklid je tečný k vnitřní kouli, vnější kouli a dvěma koulím nad a pod „otvorem“ v „koblize“.

Dupin cyklid

The obálka Soddyho hexletů je a Dupin cyklid, inverze torus. Konstrukce Soddy tedy ukazuje, že Dupinův cyklid je obálkou 1parametrické rodiny koulí dvěma různými způsoby a každá koule v každé rodině je tečná ke dvěma koulím ve stejné rodině a třem sférám v druhé rodině.[4] Tento výsledek byl pravděpodobně znám Charles Dupin, který ve své disertační práci z roku 1803 objevil cyklidy, které nesou jeho jméno Gaspard Monge.[5]

Vztah k Steinerovým řetězcům

Obrázek 4: Steinerův řetězec šesti kruhů odpovídající hexdy Soddyho.

Průsečík hexletu s rovinou jeho sférických středů vytváří a Steinerův řetěz šesti kruhů.

Parabolické a hyperbolické hexlety

Předpokládá se, že koule A a B mají stejnou velikost.

V každém eliptický hexlet, jako je ten, který je zobrazen v horní části článku, jsou k hexletu dvě tečné roviny. Aby eliptický hexlet existoval, musí být poloměr C menší než jedna čtvrtina poloměru A. Pokud je poloměr C jedna čtvrtina A, každá koule se stane letadlo na cestě. Invertovaný obraz však ukazuje normální eliptický hexlet a v parabolický hexlet, bod, kde se koule promění v rovinu, je přesně tehdy, když její obrácený obraz prochází středem inverze. V takovém hexletu existuje pouze jedna tečná rovina k hexletu. Čára středů parabolického hexletu je parabola.

Pokud je C ještě větší než toto, a hyperbolický je vytvořen hexlet a nyní neexistují vůbec žádné tečné roviny. Označte koule S1 na S6. S1 tedy nemůže jít příliš daleko, dokud se nestane rovinou (kde její obrácený obraz prochází středem inverze) a poté obrátí jeho konkávnost (kde jeho obrácený obraz obklopuje střed inverze). Nyní je linie středů hyperbola.

Mezním případem je situace, kdy A, B a C mají stejnou velikost. Hexlet se nyní stává rovným. S1 je malý, když prochází otvorem mezi A, B a C, a roste, dokud se k nim nestane rovinou tečnou k nim. Střed inverze je nyní také s bodem tečnosti s obrazem S6, je to tedy rovina tečna k A, B a C. As S1 postupuje, jeho konkávnost je obrácena a nyní obklopuje všechny ostatní sféry, tečny k A, B, C, S2 a S6. S2 tlačí nahoru a roste, aby se stala tečnou rovinou a S6 zmenšuje se. S1 pak získá S6dřívější poloha jako tečná rovina. Poté znovu obrátí konkávnost a znovu projde dírou a začíná další zpáteční cestu. Nyní je řada center a degenerovat hyperbola, kde se zhroutila do dvou přímých linií.[2]

Tablety Sangaku

Soddyho problém s hexlety v japonské knize matematiky Kokonsankan (1832).
Replika Sangaku v muzeu Hokoku v Svatyně Samukawa.

Japonští matematici objevil stejný hexlet více než sto let předtím, než to udělal Soddy. Analyzovali problémy s balením, ve kterých kruhy a mnohoúhelníky, koule a mnohostěny přicházejí do styku, a často našli příslušné věty nezávisle před jejich objevením západními matematiky. Často je publikovali jako sangaku. Sangaku o hexletu vytvořil Irisawa Shintarō Hiroatsu ve škole Uchida Itsumi a byl věnován Svatyně Samukawa v květnu 1822. Původní sangaku byl ztracen, ale byl zaznamenán v Uchidově knize Kokonsankan v roce 1832. Ze záznamu byla vyrobena replika sangaku a v srpnu 2009 byla věnována muzeu Hōtoku ve svatyni Samukawa.[6]

Sangaku od Irisawy se skládá ze tří problémů. Třetí problém se týká hexy Soddyho: „průměr vnější popisující koule je 30 slunce. Průměry kuliček jádra jsou 10 slunce a 6 slunce každý. Průměr jedné z koulí v řetězci koulí je 5 slunce. Pak jsem požádal o průměry zbývajících koulí. Odpověď je 15 slunce, 10 slunce, 3,75 slunce, 2,5 slunce a 2 + 8/11 slunce. “[7]

V jeho odpovědi je popsána metoda výpočtu průměrů koulí, která ji může v moderním měřítku považovat za následující vzorce.[je zapotřebí objasnění ] Pokud jsou poměry průměru vnější koule k každé z jader koule A1, A2, a pokud jsou poměry průměru k řetězovým koulím C1, ..., C6. chceme reprezentovat c2, ..., C6ve smyslu a1, A2, a c1. Li

pak,

.

Pak C1 + C4 = C2 + C5 = C3 + C6.

Li r1, ..., r6 jsou průměry šesti koulí, dostaneme vzorec:

Viz také

Poznámky

  1. ^ Soddy 1937
  2. ^ A b Ogilvy 1990
  3. ^ Rothman 1998
  4. ^ Coxeter 1952
  5. ^ O'Connor a Robertson 2000
  6. ^ Yamaji a Nishida 2009, str. 443.
  7. ^ Amano 1992, s. 21–24.

Reference

  • Amano, Hiroshi (1992), Sbírka Sangaku v prefektuře Kanagawa (v japonštině Kanagawa-ken Sangaku-syu), Amano, Hiroshi.
  • Coxeter, HSM (1952), „Blokované prstence koulí“, Scripta Mathematica, 18: 113–121.
  • Fukagawa, Hidetoshi; Rothman, Tony (2008), Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-12745-3
  • O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. (2000), „Pierre Charles François Dupin“, MacTutor Historie archivu matematiky.
  • Ogilvy, C.S. (1990), Exkurze v geometriiDover, ISBN  0-486-26530-7.
  • Soddy, Frederick (1937), „Mísa celých čísel a hexlet“, Příroda, Londýn, 139 (3506): 77–79, doi:10.1038 / 139077a0.
  • Rothman, T (1998), „Japonská chrámová geometrie“, Scientific American, 278: 85–91, doi:10.1038 / scientificamerican0598-84.
  • Yamaji, Katsunori; Nishida, Tomomi, eds. (2009), Slovník Wasan (Wasan no Jiten v japonštině), Asakura, ISBN  978-4-254-11122-4.

externí odkazy