Transformační geometrie - Transformation geometry

Odraz proti ose následovaný odrazem proti druhé ose rovnoběžné s první má za následek celkový pohyb, který je a překlad.
Odraz proti ose následovaný odrazem proti druhé ose, který není rovnoběžný s první, má za následek celkový pohyb, který je a otáčení kolem průsečíku os.

v matematika, transformační geometrie (nebo transformační geometrie) je název matematického a pedagogický vzít na studium geometrie zaměřením na skupiny z geometrické transformace a vlastnosti, které jsou neměnný pod nimi. Je to proti klasickému syntetická geometrie přístup Euklidovská geometrie, která se zaměřuje na dokazování věty.

Například v rámci transformační geometrie jsou vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku odvozeny ze skutečnosti, že je k sobě mapován odraz o určité linii. To kontrastuje s klasickými důkazy podle kritérií pro shoda trojúhelníků.[1]

První systematické úsilí o použití transformací jako základu geometrie bylo vynaloženo Felix Klein v 19. století, pod názvem Program Erlangen. Po téměř století se tento přístup omezoval na kruhy matematického výzkumu. Ve 20. století bylo vynaloženo úsilí na jeho využití matematické vzdělávání. Andrej Kolmogorov zahrnoval tento přístup (společně s teorie množin ) jako součást návrhu reformy výuky geometrie v roce 2006 Rusko.[2] Tyto snahy vyvrcholily v 60. letech obecnou reformou výuky matematiky známou jako New Math hnutí.

Pedagogika

Zkoumání transformační geometrie často začíná studiem reflexní symetrie jak se nachází v každodenním životě. První skutečná transformace je odraz v řadě nebo odraz proti ose. The složení dvou odrazů vede k a otáčení když se čáry protínají, nebo a překlad když jsou paralelní. Studenti se tak prostřednictvím transformací dozvědí o Euklidovská rovina izometrie. Zvažte například odraz ve svislé linii a linii nakloněnou o 45 ° k horizontále. Lze pozorovat, že jedna kompozice získá čtvrtotočku proti směru hodinových ručiček (90 °), zatímco reverzní kompozice získá čtvrtotočku ve směru hodinových ručiček. Tyto výsledky ukazují, že transformační geometrie zahrnuje nekomutativní procesy.

Zábavná aplikace reflexe v řadě se vyskytuje v důkazu sedmý plošný trojúhelník nalezené v libovolném trojúhelníku.

Další transformací představenou mladým studentům je dilatace. Nicméně odraz v kruhu transformace se zdá být pro nižší ročníky nevhodná. Tím pádem inverzní geometrie, větší studium než geometrie transformace na základní škole, je obvykle vyhrazeno studentům vysokých škol.

Pokusy s betonem skupiny symetrie dělat cestu abstraktu teorie skupin. Jiné konkrétní činnosti používají výpočty s komplexní čísla, hyperkomplexní čísla nebo matice k vyjádření transformační geometrie. Takové lekce transformační geometrie představují alternativní pohled, který kontrastuje s klasikou syntetická geometrie. Když se pak studenti setkají analytická geometrie, myšlenky koordinovat rotace a odrazy snadno následovat. Všechny tyto koncepty se připravují lineární algebra Kde reflexe koncept je rozšířen.

Pedagogové projevili určitý zájem a popsali projekty a zkušenosti s transformační geometrií pro děti od mateřské školy po střední školu. V případě dětí ve velmi mladém věku, aby se zamezilo zavádění nové terminologie a vytvářely se vazby na každodenní zkušenosti studentů s konkrétními předměty, bylo někdy doporučeno použít slova, která znají, například „flips“ pro řádkové odrazy, “ snímky „pro překlady a„ otáčky “pro rotace, i když nejde o přesný matematický jazyk. V některých návrzích studenti začínají s konkrétními objekty, než provedou abstraktní transformace pomocí svých definic mapování každého bodu obrázku.[3][4][5][6]

Ve snaze o restrukturalizaci kurzů geometrie v Rusku Kolmogorov navrhl, aby byly prezentovány z hlediska transformací, takže kurzy geometrie byly strukturovány na základě teorie množin. To vedlo k tomu, že se ve školách objevil výraz „shodný“ pro postavy, které se dříve nazývaly „stejné“: protože postava byla považována za množinu bodů, mohla se rovnat jen sobě samému a dvěma trojúhelníkům, které se mohly překrývat podle izometrií se říká, že jsou shodný.[2]

Jeden autor vyjádřil důležitost teorie skupin do transformační geometrie následovně:

Šel jsem do problémů vyvinout z prvních principů veškerou teorii skupin, kterou potřebuji, s úmyslem, aby moje kniha mohla sloužit jako první úvod do transformačních skupin, a pojmy teorie abstraktních skupin, pokud jste je nikdy neviděli.[7]

Viz také

Reference

  1. ^ Georges Glaeser - Krize výuky geometrie
  2. ^ A b Alexander Karp & Bruce R. Vogeli - Ruské matematické vzdělávání: programy a praxe, svazek 5, str. 100–102
  3. ^ R.S. Millman-Kleinianova transformační geometrie, Amer. Matematika. Měsíční 84 (1977)
  4. ^ UNESCO - Nové trendy ve výuce matematiky, v.3, 1972 / str. 8
  5. ^ Barbara Zorin - Geometrické transformace v učebnicích matematiky pro střední školy
  6. ^ UNESCO - Studie ve výuce matematiky. Výuka geometrie
  7. ^ Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) Geometrie a topologie, str. xvii, Cambridge University Press, ISBN  0-521-61325-6, PAN2194744