Peaucellier – Lipkinova vazba - Peaucellier–Lipkin linkage

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Srpna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Vazba Peaucellier – Lipkin:
pruhy stejné barvy mají stejnou délku

The Peaucellier – Lipkinova vazba (nebo Peaucellier – Lipkinova buňkanebo Peaucellier – Lipkinův invertor), vynalezený v roce 1864, byl první skutečný rovinný přímočarý mechanismus - první rovinný vazba schopné transformace rotační pohyb do dokonalosti přímočarý pohyb a naopak. Je pojmenován po Charles-Nicolas Peaucellier (1832–1913), důstojník francouzské armády, a Yom Tov Lipman Lipkin (1846–1876), a Litevský Žid a syn slavného rabína Izrael Salanter.^[1][2]

Do tohoto vynálezu neexistovala žádná rovinná metoda převodu přesného přímého pohybu na kruhový pohyb bez referenčních vodicích drah. V roce 1864 pocházela veškerá moc parní stroje, který měl a píst pohybující se v přímém směru nahoru a dolů po válci. Tento píst potřeboval udržovat dobré utěsnění válce, aby se udrželo hnací médium a neztrácela energetická účinnost kvůli netěsnostem. Píst to dělá tak, že zůstává kolmý na osu válce a zachovává si přímočarý pohyb. Převádění přímého pohybu pístu na kruhový pohyb mělo zásadní význam. Většina, ne-li všechna, použití těchto parních strojů byla rotační.

Matematika vazby Peaucellier-Lipkin přímo souvisí s inverze kruhu.

Dříve Sarrusova vazba

Existuje dřívější přímý mechanismus, jehož historie není dobře známa, nazývaný Sarrusovo spojení. Tato vazba předchází vazbě Peaucellier – Lipkin o 11 let a skládá se z řady sklopných obdélníkových desek, z nichž dvě zůstávají rovnoběžné, ale lze je navzájem normálně přesouvat. Sarrusova vazba je trojrozměrné třídy, někdy známé jako a vesmírná klika, na rozdíl od Peaucellier-Lipkinovy ​​vazby, což je plošný mechanismus.

Geometrie

Geometrický diagram vazby Peaucellier

V geometrickém diagramu přístroje je vidět šest sloupců pevné délky: OA, OC, AB, BC, CD, DA. Délka OA se rovná délce OC a délky AB, BC, CD a DA jsou stejné a tvoří kosočtverec. Bod O je také pevný. Pokud je pak bod B nucen pohybovat se po kruhu (například jeho připojením k tyči s délkou v polovině cesty mezi O a B; cesta zobrazená červeně), která prochází O, pak se bude bod D nutně muset pohybovat podél přímky (zobrazeno modře). Na druhou stranu, pokud by byl bod B nucen pohybovat se po přímce (neprochází O), pak by se bod D nutně musel pohybovat po kružnici (procházející O).

Matematický důkaz pojmu

Kolineárnost

Nejprve musí být prokázáno, že body O, B, D jsou kolineární. To lze snadno zjistit pozorováním, že vazba je zrcadlově symetrická kolem linie OD, takže bod B musí spadnout na tuto linii.

Formálněji jsou trojúhelníky BAD a BCD shodné, protože strana BD je shodná sama se sebou, strana BA je shodná se stranou BC a strana AD je shodná se stranou CD. Proto jsou úhly ABD a CBD stejné.

Dále jsou shodné trojúhelníky OBA a OBC, protože strany OA a OC jsou shodné, strana OB je shodná sama se sebou a strany BA a BC jsou shodné. Úhly OBA a OBC jsou tedy stejné.

Nakonec, protože tvoří úplný kruh, máme

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360 °

ale díky kongruencím tedy úhel OBA = úhel OBC a úhel DBA = úhel DBC

2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360 °

∠OBA + ∠DBA = 180 °

proto body O, B a D jsou kolineární.

Inverzní body

Nechť bod P je průsečík přímek AC a BD. Poté, co ABCD je a kosočtverec, P je střed obou úseček BD a AC. Proto délka BP = délka PD.

Trojúhelník BPA je shodný s trojúhelníkem DPA, protože strana BP je shodná se stranou DP, strana AP je shodná se sebou a strana AB je shodná se stranou AD. Proto úhel BPA = úhel DPA. Ale protože úhel BPA + úhel DPA = 180 °, pak 2 × úhel BPA = 180 °, úhel BPA = 90 ° a úhel DPA = 90 °.

Nechat:

${ displaystyle x = ell _ {BP} = ell _ {PD}}$

${ displaystyle y = ell _ {OB}}$

${ displaystyle h = ell _ {AP}}$

Pak:

${ displaystyle ell _ {OB} cdot ell _ {OD} = y (y + 2x) = y ^ {2} + 2xy}$

${ displaystyle { ell _ {OA}} ^ {2} = (y + x) ^ {2} + h ^ {2}}$ (v důsledku Pythagorova věta )

${ displaystyle { ell _ {OA}} ^ {2} = y ^ {2} + 2xy + x ^ {2} + h ^ {2}}$(stejný výraz rozšířen)

${ displaystyle { ell _ {AD}} ^ {2} = x ^ {2} + h ^ {2}}$ (Pythagorova věta)

${ displaystyle { ell _ {OA}} ^ {2} - { ell _ {AD}} ^ {2} = y ^ {2} + 2xy = ell _ {OB} cdot ell _ {OD }}$

Protože OA a AD jsou obě pevné délky, pak je součin OB a OD konstanta:

${ displaystyle ell _ {OB} cdot ell _ {OD} = k ^ {2}}$

a protože body O, B, D jsou kolineární, pak D je inverzní k B vzhledem ke kružnici (O,k) se středem O a poloměrem k.

Inverzní geometrie

Takže podle vlastností inverzní geometrie, protože obrazec sledovaný bodem D je inverzní k obrazci sledovanému bodem B, pokud B sleduje kružnici procházející středem inverze O, pak je D omezeno ke sledování přímky. Pokud však B sleduje přímku, která neprochází O, pak D musí sledovat oblouk kruhu procházejícího O. Q.E.D.

Typický řidič

Posuvník-kolébkový čtyřhran funguje jako hnací síla propojení Peaucellier-Lipkin

Vazby Peaucellier – Lipkin (PLL) mohou mít několik inverzí. Typický příklad je znázorněn na opačném obrázku, kde jako vstupní ovladač slouží kolébkový posuvník se čtyřmi pruhy. Přesněji řečeno, jezdec funguje jako vstup, který zase pohání pravý uzemněný článek PLL, čímž řídí celý PLL.

Historické poznámky

Sylvester (Sebrané spisy, Sv. 3, Paper 2) píše, že když ukázal model Kelvin „ošetřoval to, jako by to bylo jeho vlastní dítě, a když byl učiněn pohyb, který by ho měl zbavit, odpověděl:„ Ne! Neměl jsem toho dost dost - je to ta nejkrásnější věc, jakou jsem v životě viděl. ““

Kulturní odkazy

Socha v monumentálním měřítku realizující spojení v osvětlených vzpěrách je na stálé výstavě v Eindhoven, Nizozemsko. Umělecké dílo měří 22 na 15 na 16 metrů (72 stop × 49 stop × 52 stop), váží 6600 kilogramů (14 600 lb) a lze jej ovládat z kontrolní panel přístupné široké veřejnosti.^[3]

Viz také

• Hartův invertor
• Propojení (mechanické)

Reference

Bibliografie

• Ogilvy, C. S. (1990), Exkurze v geometrii „Dover, str.46–48, ISBN  0-486-26530-7
• Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). Jak kulatý je váš kruh? : kde se setkávají inženýrství a matematika. Princeton: Princeton University Press. str. 33–38, 60–63. ISBN  978-0-691-13118-4. - důkaz a diskuse o vazbě Peaucellier-Lipkin, matematické a reálné mechanické modely
• Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometrie Revisited. Washington: MAA. str.108 –111. ISBN  978-0-88385-619-2. (a v nich citované odkazy)
• Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematická syntéza vazeb, str. 181–5, New York: McGraw – Hill, webový odkaz z Cornell University.
• Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: Elementární pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu (dotisk edice z roku 1929 Houghton Miflin ed.). New York: Dover Publications. str. 46–51. ISBN  978-0-486-46237-0.
• Wells D (1991). Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. New York: Penguin Books. str.120. ISBN  0-14-011813-6.

externí odkazy

• Jak nakreslit přímku, online videoklipy propojení s interaktivními applety.
• Jak nakreslit přímku, historická diskuse o návrhu vazby
• Interaktivní Java applet s důkazem.
• Java animované propojení Peaucellier – Lipkin
• Článek židovské encyklopedie o Lippmanovi Lipkinovi a jeho otec Izrael Salanter
• Peaucellier Apparatus obsahuje interaktivní applet
• Simulace pomocí softwaru Molecular Workbench
• Související vazba zavolal Hartův Inversor.
• Upravené propojení robotických ramen Peaucellier (video Vex Team 1508)