Produkt Wallis - Wallis product

Srovnání konvergence produktu Wallis (fialové hvězdičky) a několika historických nekonečných řad pro π. S_n je přibližná hodnota po převzetí n podmínky. Každý následující subplot zvětšuje stínovanou oblast vodorovně 10krát. (klikněte pro detail)

v matematika, Produkt Wallis pro π, publikoval v roce 1656 John Wallis,^[1] tvrdí, že

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { pi} {2}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} { frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2 } -1}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {2n} {2n-1}} cdot { frac {2n} {2n + 1}} right ) [6pt] & = { Big (} { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} { Big)} cdot { Big (} { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} { Big)} cdot { Big (} { frac {6} {5}} cdot { frac {6} { 7}} { Big)} cdot { Big (} { frac {8} {7}} cdot { frac {8} {9}} { Big)} cdot ; cdots end {zarovnáno}}}$

Důkaz pomocí integrace

Wallis to odvodil nekonečný produkt jak se to dnes dělá v knihách o počtu, zkoumáním ${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx}$ pro sudé a liché hodnoty ${ displaystyle n}$, a upozorňujeme, že pro velké ${ displaystyle n}$, vzrůstající ${ displaystyle n}$ o 1 má za následek změnu, která se bude stále zmenšovat ${ displaystyle n}$ zvyšuje. Nechat^[2]

${ displaystyle I (n) = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx.}$

(Toto je forma Wallisovy integrály.) Integrace po částech:

${ displaystyle { begin {zarovnaný} u & = sin ^ {n-1} x Rightarrow du & = (n-1) sin ^ {n-2} x cos x , dx dv & = sin x , dx Rightarrow v & = - cos x end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} Rightarrow I (n) & = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx [6pt] {} & = - sin ^ {n-1} x cos x { Biggl |} _ {0} ^ { pi} - int _ {0} ^ { pi} (- cos x) (n-1) sin ^ {n-2} x cos x , dx [6pt] {} & = 0+ (n-1) int _ {0} ^ { pi} cos ^ {2} x sin ^ { n-2} x , dx, qquad n> 1 [6pt] {} & = (n-1) int _ {0} ^ { pi} (1- sin ^ {2} x) sin ^ {n-2} x , dx [6pt] {} & = (n-1) int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n-2} x , dx- (n-1) int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx [6pt] {} & = (n-1) I (n-2) - (n- 1) I (n) [6pt] {} & = { frac {n-1} {n}} I (n-2) [6pt] Rightarrow { frac {I (n)} { I (n-2)}} & = { frac {n-1} {n}} [6pt] Rightarrow { frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} & = { frac {2n + 1} {2n}} end {zarovnáno}}}$

Tento výsledek bude použit níže:

${ displaystyle { begin {aligned} I (0) & = int _ {0} ^ { pi} dx = x { Biggl |} _ {0} ^ { pi} = pi [6 bodů ] I (1) & = int _ {0} ^ { pi} sin x , dx = - cos x { Biggl |} _ {0} ^ { pi} = (- cos pi ) - (- cos 0) = - (- 1) - (- 1) = 2 [6pt] I (2n) & = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {2n} x , dx = { frac {2n-1} {2n}} I (2n-2) = { frac {2n-1} {2n}} cdot { frac {2n-3} {2n-2} } I (2n-4) end {zarovnáno}}}$

Opakování procesu,

${ displaystyle = { frac {2n-1} {2n}} cdot { frac {2n-3} {2n-2}} cdot { frac {2n-5} {2n-4}} cdot cdots cdot { frac {5} {6}} cdot { frac {3} {4}} cdot { frac {1} {2}} I (0) = pi prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {2k-1} {2k}}}$

${ displaystyle I (2n + 1) = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {2n + 1} x , dx = { frac {2n} {2n + 1}} I (2n- 1) = { frac {2n} {2n + 1}} cdot { frac {2n-2} {2n-1}} I (2n-3)}$

Opakování procesu,

${ displaystyle = { frac {2n} {2n + 1}} cdot { frac {2n-2} {2n-1}} cdot { frac {2n-4} {2n-3}} cdot cdots cdot { frac {6} {7}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {2} {3}} I (1) = 2 prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {2k} {2k + 1}}}$

${ displaystyle sin ^ {2n + 1} x leq sin ^ {2n} x leq sin ^ {2n-1} x, 0 leq x leq pi}$

${ displaystyle Rightarrow I (2n + 1) leq I (2n) leq I (2n-1)}$

${ displaystyle Rightarrow 1 leq { frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} leq { frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} = { frac {2n + 1} {2n}}}$, z výše uvedených výsledků.

Podle zmáčknout teorém,

${ displaystyle Rightarrow lim _ {n rightarrow infty} { frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = 1}$

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = { frac { pi} {2}} lim _ {n rightarrow infty} prod _ {k = 1} ^ {n} left ({ frac {2k-1} {2k}} cdot { frac {2k + 1} {2k}} right) = 1}$

${ displaystyle Rightarrow { frac { pi} {2}} = prod _ {k = 1} ^ { infty} left ({ frac {2k} {2k-1}} cdot { frac {2k} {2k + 1}} right) = { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} cdot cdots}$

Důkaz použití Eulerova nekonečného produktu pro sinusovou funkci

Zatímco výše uvedený důkaz je typicky obsažen v moderních učebnicích kalkulu, produkt Wallis je při zpětném pohledu snadným důsledkem pozdějšího Nekonečný produkt Euler pro sinusová funkce.

${ displaystyle { frac { sin x} {x}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {x ^ {2}} {n ^ {2} pi ^ {2}}} vpravo)}$

Nechat ${ displaystyle x = { frac { pi} {2}}}$:

${ displaystyle { begin {aligned} Rightarrow { frac {2} { pi}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {1} {4n ^ {2}}} right) [6pt] Rightarrow { frac { pi} {2}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} vpravo) [6pt] & = prod _ {n = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {2n} {2n- 1}} cdot { frac {2n} {2n + 1}} right) = { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4 } {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} cdots end {zarovnáno}}}$

^[1]

Vztah k Stirlingově aproximaci

Stirlingova aproximace pro faktoriální funkci ${ displaystyle n!}$ tvrdí to

${ displaystyle n! = { sqrt {2 pi n}} { left ({ frac {n} {e}} right)} ^ {n} left [1 + O left ({ frac {1} {n}} right) right].}$

Zvažte konečnou aproximaci produktu Wallis, získanou první ${ displaystyle k}$ výrazy v produktu

${ displaystyle p_ {k} = prod _ {n = 1} ^ {k} { frac {2n} {2n-1}} { frac {2n} {2n + 1}},}$

kde ${ displaystyle p_ {k}}$ lze psát jako

${ displaystyle { begin {aligned} p_ {k} & = {1 nad {2k + 1}} prod _ {n = 1} ^ {k} { frac {(2n) ^ {4}} { [(2n) (2n-1)] ^ {2}}} [6pt] & = {1 nad {2k + 1}} cdot {{2 ^ {4k} , (k!) ^ { 4}} přes {[(2k)!] ^ {2}}}. End {zarovnáno}}}$

Nahrazení Stirlingovy aproximace v tomto výrazu (obě pro ${ displaystyle k!}$ a ${ displaystyle (2k)!}$) lze odvodit (po krátkém výpočtu), že ${ displaystyle p_ {k}}$ konverguje k ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$ tak jako ${ displaystyle k rightarrow infty}$.

Derivace Riemannovy zeta funkce na nule

The Funkce Riemann zeta a Funkce Dirichlet eta lze definovat:^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} zeta (s) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}, Re (s)> 1 [6pt] eta (s) & = (1-2 ^ {1-s}) zeta (s) [6pt] & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {s}}}, Re (s)> 0 end {zarovnáno}}}$

Použitím Eulerovy transformace na druhou řadu se získá toto:

${ displaystyle { begin {aligned} eta (s) & = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (-1) ^ {n-1} left [{ frac {1} {n ^ {s}}} - { frac {1} {(n + 1) ^ {s}}} right], Re (s)> - 1 [6pt] Rightarrow eta '(s) & = (1-2 ^ {1-s}) zeta' (s) + 2 ^ {1-s} ( ln 2) zeta (s) [6pt] & = - { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} left [{ frac { ln n} {n ^ {s}}} - { frac { ln (n + 1)} {(n + 1) ^ {s}}} right], Re ( s)> - 1 end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} Rightarrow eta '(0) & = - zeta' (0) - ln 2 = - { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} left [ ln n- ln (n + 1) right] [6pt] & = - { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} ln { frac {n} {n + 1}} [6pt] & = - { frac {1 } {2}} left ( ln { frac {1} {2}} - ln { frac {2} {3}} + ln { frac {3} {4}} - ln { frac {4} {5}} + ln { frac {5} {6}} - cdots right) [6pt] & = { frac {1} {2}} left ( ln { frac {2} {1}} + ln { frac {2} {3}} + ln { frac {4} {3}} + ln { frac {4} {5}} + ln { frac {6} {5}} + cdots right) [6pt] & = { frac {1} {2}} ln left ({ frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot cdots right) = { frac {1} {2}} ln { frac { pi} {2}} Rightarrow zeta '(0) & = - { frac {1} {2}} ln left (2 pi right ) end {zarovnáno}}}$

Viz také

• John Wallis, Angličtina matematik kterému je udělena částečná zásluha za rozvoj nekonečně malý počet a pi.
• Vièteův vzorec, jiný nekonečný produktový vzorec pro ${ displaystyle pi}$.
• Leibnizův vzorec pro π, nekonečný součet, který lze převést na nekonečno Produkt Euler pro ${ displaystyle pi}$.
• Wallisovo síto

Poznámky

externí odkazy

• "Wallisův vzorec", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• „Proč se tento produkt rovná π / 2? Nový důkaz Wallisova vzorce pro π.“ 3Modrá1Hnědá. 20. dubna 2018 - prostřednictvím Youtube.