Charakteristická funkce (konvexní analýza) - Characteristic function (convex analysis)

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V oblasti matematika známý jako konvexní analýza, charakteristická funkce sady je a konvexní funkce který označuje členství (nebo nečlenství) daného prvku v dané sadě. Je to podobné jako obvykle funkce indikátoru a lze mezi nimi libovolně převádět, ale charakteristická funkce, jak je definována níže, je vhodnější pro metody konvexní analýzy.

Definice

Nechat ${displaystyle X}$ být soubor a nechte ${displaystyle A}$ být podmnožina z ${displaystyle X}$. The charakteristická funkce z ${displaystyle A}$ je funkce

${displaystyle chi _ {A}: X o mathbb {R} pohár {+ infty}}$

přičemž hodnoty v prodloužená řada reálných čísel definován

${displaystyle chi _ {A} (x): = {egin {cases} 0, & xin A; + infty, & xot in A.end {cases}}}$

Vztah k funkci indikátoru

Nechat ${displaystyle mathbf {1} _ {A}: X o mathbb {R}}$ označte obvyklou funkci indikátoru:

${displaystyle mathbf {1} _ {A} (x): = {egin {cases} 1, & xin A; 0, & xot in A.end {cases}}}$

Pokud někdo přijme konvence, které

• pro všechny ${displaystyle ain mathbb {R} pohár {+ infty}}$, ${displaystyle a + (+ infty) = + infty}$ a ${displaystyle a (+ infty) = + infty}$, až na ${displaystyle 0 (+ infty) = 0}$;
• ${displaystyle {frac {1} {0}} = + infty}$; a
• ${displaystyle {frac {1} {+ infty}} = 0}$;

potom jsou indikátorové a charakteristické funkce vztaženy rovnicemi

${displaystyle mathbf {1} _ {A} (x) = {frac {1} {1 + chi _ {A} (x)}}}$

a

${displaystyle chi _ {A} (x) = (+ infty) left (1-mathbf {1} _ {A} (x) ight).}$

Bibliografie

• Rockafellar, R. T. (1997) [1970]. Konvexní analýza. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-01586-6.