Ogden (hyperelastický model) - Ogden (hyperelastic model)

The Ogdenský materiálový model je hyperelastický materiál model používaný k popisu nelineárního stres –kmen chování složitých materiálů, jako jsou gumy, polymery, a biologická tkáň. Model byl vyvinut společností Raymond Ogden v roce 1972.^[1] Ogdenský model, stejně jako ostatní hyperelastický materiál modely předpokládá, že chování materiálu lze popsat pomocí a funkce hustoty deformační energie, ze kterých lze odvodit vztahy napětí-napětí.

Ogdenský materiálový model

V materiálovém modelu Ogden je hustota deformační energie je vyjádřena v hlavních úsecích ${displaystyle,! lambda _ {j}}$ , ${displaystyle,! j = 1,2,3}$ tak jako:

{displaystyle Wleft (lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3} ight) = součet _ {p = 1} ^ {N} {frac {mu _ {p}} {alpha _ {p} }} vlevo (lambda _ {1} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {2} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {3} ^ {alpha _ {p}} - 3ight)}

kde ${displaystyle N}$ , ${displaystyle,! mu _ {p}}$ a ${displaystyle,! alpha _ {p}}$ jsou materiálové konstanty. Za předpokladu nestlačitelnosti lze přepsat jako

${displaystyle Wleft (lambda _ {1}, lambda _ {2} ight) = součet _ {p = 1} ^ {N} {frac {mu _ {p}} {alpha _ {p}}} vlevo (lambda _ {1} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {2} ^ {alpha _ {p}} + lambda _ {1} ^ {- alpha _ {p}} lambda _ {2} ^ {- alfa _ {p}} - 3 hodiny)}$

Obecně je modul smyku výsledkem

${displaystyle 2mu = sum _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p} alfa _ {p}.}$

S ${displaystyle N = 3}$ a přizpůsobením materiálových parametrů lze velmi přesně popsat materiálové chování kaučuků. Pro konkrétní hodnoty materiálových konstant se Ogdenův model sníží buď na Neohookeanská pevná látka ( ${displaystyle N = 1}$ , ${displaystyle alpha = 2}$ ) nebo Materiál Mooney-Rivlin ( ${displaystyle N = 2}$ , ${displaystyle alpha _ {1} = 2}$ , ${displaystyle alpha _ {2} = - 2}$ , s podmínkou omezení ${displaystyle lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} = 1}$ ).

Pomocí materiálového modelu Ogden lze nyní vypočítat tři hlavní hodnoty Cauchyho napětí jako

${displaystyle sigma _ {j} = - p + lambda _ {j} {frac {částečné W} {částečné lambda _ {j}}} = - p + součet _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p } lambda _ {j} ^ {alpha _ {p}}}$ .

Jednoosé napětí

Nyní uvažujeme nestlačitelný materiál pod jednoosým napětím, přičemž poměr roztažení je uveden jako ${displaystyle lambda = {frac {l} {l_ {0}}}}$ . Tlak ${displaystyle p}$ je určena z nestlačitelnosti a okrajových podmínek ${displaystyle sigma _ {2} = sigma _ {3} = 0}$ , poddajný:

${displaystyle sigma _ {1} = součet _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p} vlevo (lambda ^ {alpha _ {p} -1} -lambda ^ {- {frac {1} {2} } alpha _ {p} -1} ight)}$ .

Rovnobiaxiální napětí

Vzhledem k nestlačitelnému materiálu pod eqi-biaxiálním napětím, s ${displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = {frac {l} {l_ {0}}}}$ . Tlak ${displaystyle p}$ je určeno z nestlačitelnosti a okrajové podmínky ${displaystyle sigma _ {3} = 0}$ , dává:

${displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {2} = součet _ {p = 1} ^ {N} mu _ {p} vlevo (lambda ^ {alpha _ {p}} - lambda ^ {- 2alpha _ {p }} hned)}$ .

Jiné hyperelastické modely

U pryže a biologických materiálů jsou nutné sofistikovanější modely. Tyto materiály mohou vykazovat nelineární chování napětí-deformace při mírných deformacích, nebo jsou elastické až do velkých deformací. Tato složitá nelineární chování napětí-deformace je třeba přizpůsobit specificky přizpůsobeným funkcím hustoty deformační energie.

Nejjednodušší z těchto hyperelastických modelů je Neohookeanská pevná látka.

${displaystyle W (mathbf {C}) = {frac {mu} {2}} (I_ {1} ^ {C} -3)}$

kde ${displaystyle mu}$ je modul smyku, který lze určit experimenty. Z experimentů je známo, že pro gumové materiály pod mírným namáháním až do 30–70% odpovídá neohookeanský model chování materiálu s dostatečnou přesností. Pro modelování gumy při vysokých deformacích je jednoparametrický neohookeanský model nahrazen obecnějšími modely, například Mooney-Rivlin pevný kde deformační energie ${displaystyle W}$ je lineární kombinace dvou invariantů

${displaystyle W (mathbf {C}) = {frac {mu _ {1}} {2}} vlevo (I_ {1} ^ {C} -3ight) - {frac {mu _ {2}} {2}} vlevo (I_ {2} ^ {C} -3 světlo)}$

Materiál Mooney-Rivlin byl původně vyvinut také pro kaučuk, ale dnes se často používá pro modelování (nestlačitelné) biologické tkáně. Pro modelování pryžových a biologických materiálů při ještě vyšších kmenech je to složitější Ogdenský materiálový model byl vyvinut.

Reference

^ Ogden, R. W., (1972). Velká deformační izotropní pružnost - na korelaci teorie a experimentu s nestlačitelnými pryžovými pevnými látkami, Proceedings of the Royal Society of London. Řada A, Mathematical and Physical Sciences, sv. 326, č. 1567 (1. února 1972), str. 565–584.

F. Cirak: Poznámky k přednášce pro 5R14: Nelineární mechanika těles, Univerzita v Cambridge.
R.W. Ogden: Nelineární elastické deformace, ISBN 0-486-69648-0
K. Weinberg: Poznámky k přednášce pro Zur Methode der finiten Elemente in der Mechanik II: Nichtlineare Probleme, TU Berlin [v angličtině].
http://mech2.pi.tu-berlin.de/weinberg/Lehre/fem2/Chapter4.pdf

[1] Ogden, R. W., (1972). Velká deformační izotropní pružnost - na korelaci teorie a experimentu s nestlačitelnými pryžovými pevnými látkami, Proceedings of the Royal Society of London. Řada A, Mathematical and Physical Sciences, sv. 326, č. 1567 (1. února 1972), str. 565–584.

[1]