Gent (hyperelastický model) - Gent (hyperelastic model)

The Pán hyperelastický materiál Modelka ^[1] je fenomenologický model pružnost gumy který je založen na konceptu omezení rozšiřitelnosti řetězce. V tomto modelu je funkce hustoty deformační energie je navržen tak, aby měl jedinečnost když první invariant levého Cauchy-Greenova deformačního tenzoru dosáhne mezní hodnoty ${ displaystyle I_ {m}}$.

Funkce hustoty deformační energie pro Gentův model je ^[1]

${ displaystyle W = - { cfrac { mu J_ {m}} {2}} ln vlevo (1 - { cfrac {I_ {1} -3} {J_ {m}}} vpravo)}$

kde ${ displaystyle mu}$ je tažný modul a ${ displaystyle J_ {m} = I_ {m} -3}$.

V limitu kde ${ displaystyle I_ {m} rightarrow infty}$, Gentův model se redukuje na Neohookeanská pevná látka Modelka. To lze vidět vyjádřením modelu Gent ve formě

${ displaystyle W = - { cfrac { mu} {2x}} ln left [1- (I_ {1} -3) x right] ~; ~~ x: = { cfrac {1} { J_ {m}}}}$

A Taylor série expanze z ${ displaystyle ln left [1- (I_ {1} -3) x right]}$ kolem ${ displaystyle x = 0}$ a brát limit jako ${ displaystyle x rightarrow 0}$ vede k

${ displaystyle W = { cfrac { mu} {2}} (I_ {1} -3)}$

což je výraz pro hustotu deformační energie neohookeanské pevné látky.

Několik stlačitelný byly navrženy verze modelu Gent. Jeden takový model má podobu^[2] (níže uvedená funkce deformační energie poskytuje nenulové hydrostatické napětí při žádné deformaci, viz https://link.springer.com/article/10.1007/s10659-005-4408-x pro stlačitelné modely Gent).

${ displaystyle W = - { cfrac { mu J_ {m}} {2}} ln vlevo (1 - { cfrac {I_ {1} -3} {J_ {m}}} vpravo) + { cfrac { kappa} {2}} vlevo ({ cfrac {J ^ {2} -1} {2}} - ln J vpravo) ^ {4}}$

kde ${ displaystyle J = det ({ boldsymbol {F}})}$, ${ displaystyle kappa}$ je objemový modul, a ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ je gradient deformace.

Podmínka konzistence

Alternativně můžeme vyjádřit Gentův model ve formě

${ displaystyle W = C_ {0} ln vlevo (1 - { cfrac {I_ {1} -3} {J_ {m}}} vpravo)}$

Aby byl model konzistentní s lineární pružnost, následující podmínka musí být spokojen:

${ displaystyle 2 { cfrac { částečné W} { částečné I_ {1}}} (3) = mu}$

kde ${ displaystyle mu}$ je tažný modul materiálu. Nyní v ${ displaystyle I_ {1} = 3 ( lambda _ {i} = lambda _ {j} = 1)}$,

${ displaystyle { cfrac { částečné W} { částečné I_ {1}}} = - { cfrac {C_ {0}} {J_ {m}}}}$

Proto je podmínka konzistence pro Gentův model

${ displaystyle - { cfrac {2C_ {0}} {J_ {m}}} = mu , qquad implikuje qquad C_ {0} = - { cfrac { mu J_ {m}} {2 }}}$

Gentský model to předpokládá ${ displaystyle J_ {m} gg 1}$

Vztahy mezi napětím a deformací

Cauchyovo napětí pro nestlačitelný Gentův model je dáno vztahem

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {I}}} + 2 ~ { cfrac { částečné W} { částečné I_ {1}}} ~ { boldsymbol {B}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {I}}} + { cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} -I_ {1} +3}} ~ { boldsymbol { B}}}$

Jednoosé prodloužení

Křivky napětí-deformace pod jednoosým prodloužením pro Gentův model ve srovnání s různými modely hyperelastického materiálu.

Pro jednoosé prodloužení v ${ displaystyle mathbf {n} _ {1}}$-směr, hlavní úseky jsou ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {2} = lambda _ {3}}$. Z nestlačitelnosti ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Proto ${ displaystyle lambda _ {2} ^ {2} = lambda _ {3} ^ {2} = 1 / lambda}$. Proto,

${ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + { cfrac {2} { lambda}} ~.}$

The vlevo Cauchy-Greenův deformační tenzor pak lze vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + { cfrac {1} { lambda}} ~ ( mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3}) ~.}$

Pokud jsou směry hlavních úseků orientovány základními vektory souřadnic, máme

${ displaystyle sigma _ {11} = - p + { cfrac { lambda ^ {2} mu J_ {m}} {J_ {m} -I_ {1} +3}} ~; ~~ sigma _ {22} = - p + { cfrac { mu J_ {m}} { lambda (J_ {m} -I_ {1} +3)}} = sigma _ {33} ~.}$

Li ${ displaystyle sigma _ {22} = sigma _ {33} = 0}$, my máme

${ displaystyle p = { cfrac { mu J_ {m}} { lambda (J_ {m} -I_ {1} +3)}} ~.}$

Proto,

${ displaystyle sigma _ {11} = left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda}} right) left ({ cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} -I_ {1} +3}} vpravo) ~.}$

The technické napětí je ${ displaystyle lambda -1 ,}$. The inženýrský stres je

${ displaystyle T_ {11} = sigma _ {11} / lambda = left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left ({ cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} -I_ {1} +3}} vpravo) ~.}$

Rovnoběžné prodloužení

Pro ekvibiaxiální prodloužení v ${ displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ a ${ displaystyle mathbf {n} _ {2}}$ směry, hlavní úseky jsou ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda ,}$. Z nestlačitelnosti ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Proto ${ displaystyle lambda _ {3} = 1 / lambda ^ {2} ,}$. Proto,

${ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = 2 ~ lambda ^ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} ~.}$

The vlevo Cauchy-Greenův deformační tenzor pak lze vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + lambda ^ {2} ~ mathbf {n } _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} ~ mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}$

Pokud jsou směry hlavních úseků orientovány základními vektory souřadnic, máme

${ displaystyle sigma _ {11} = left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} right) left ({ cfrac { mu J_ {m }} {J_ {m} -I_ {1} +3}} vpravo) = sigma _ {22} ~.}$

The technické napětí je ${ displaystyle lambda -1 ,}$. The inženýrský stres je

${ displaystyle T_ {11} = { cfrac { sigma _ {11}} { lambda}} = left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {5}}} right) left ({ cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} -I_ {1} +3}} right) = T_ {22} ~.}$

Rovinné prodloužení

Testy rovinného prodloužení se provádějí na tenkých vzorcích, které jsou omezeny deformací v jednom směru. Pro rovinné prodloužení v ${ displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ směry s ${ displaystyle mathbf {n} _ {3}}$ směr omezen, hlavní úseky jsou ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {3} = 1}$. Z nestlačitelnosti ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Proto ${ displaystyle lambda _ {2} = 1 / lambda ,}$. Proto,

${ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} + 1 ~.}$

The vlevo Cauchy-Greenův deformační tenzor pak lze vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + { cfrac {1} { lambda ^ { 2}}} ~ mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}$

Pokud jsou směry hlavních úseků orientovány základními vektory souřadnic, máme

${ displaystyle sigma _ {11} = left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left ({ cfrac { mu J_ {m }} {J_ {m} -I_ {1} +3}} vpravo) ~; ~~ sigma _ {22} = 0 ~; ~~ sigma _ {33} = vlevo (1 - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} vpravo) vlevo ({ cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} -I_ {1} +3}} vpravo) ~.}$

The technické napětí je ${ displaystyle lambda -1 ,}$. The inženýrský stres je

${ displaystyle T_ {11} = { cfrac { sigma _ {11}} { lambda}} = left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {3}}} right) vlevo ({ cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} -I_ {1} +3}} vpravo) ~.}$

Jednoduché stříhání

Deformační gradient pro a jednoduchý střih deformace má formu^[3]

${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {1}} + gamma ~ mathbf {e} _ {1} otimes mathbf {e} _ {2}}$

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}}$ jsou referenční ortonormální základní vektory v rovině deformace a smyková deformace je dána vztahem

${ displaystyle gamma = lambda - { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {1} = lambda ~; ~~ lambda _ {2} = { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {3} = 1}$

Ve formě matice lze potom deformační gradient a levý Cauchy-Greenův deformační tenzor vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { begin {bmatrix} 1 & gamma & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} ~; ~~ { boldsymbol {B}} = { boldsymbol {F }} cdot { boldsymbol {F}} ^ {T} = { begin {bmatrix} 1+ gamma ^ {2} & gamma & 0 gamma & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

Proto,

${ displaystyle I_ {1} = mathrm {tr} ({ boldsymbol {B}}) = 3+ gamma ^ {2}}$

a Cauchyho napětí je dáno vztahem

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {1}}} + { cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} - gamma ^ {2} }} ~ { boldsymbol {B}}}$

V maticové formě,

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = { begin {bmatrix} -p + { cfrac { mu J_ {m} (1+ gamma ^ {2})} {J_ {m} - gamma ^ {2}}} & { cfrac { mu J_ {m} gamma} {J_ {m} - gamma ^ {2}}} & 0 { cfrac { mu J_ {m} gamma} { J_ {m} - gamma ^ {2}}} & - p + { cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} - gamma ^ {2}}} & 0 0 & 0 & -p + { cfrac { mu J_ {m}} {J_ {m} - gamma ^ {2}}} end {bmatrix}}}$

Reference

Viz také

• Hyperelastický materiál
• Funkce hustoty kmenové energie
• Mooney-Rivlin pevný
• Teorie konečných deformací
• Stresová opatření