Model Arruda – Boyce - Arruda–Boyce model - Wikipedia

v mechanika kontinua, an Model Arruda – Boyce^[1] je hyperelastický konstitutivní model používá se k popisu mechanického chování guma a další polymerní látky. Tento model je založen na statistická mechanika materiálu s krychlí reprezentativní objemový prvek obsahující osm řetězů podél diagonálních směrů. Materiál se považuje za nestlačitelný. Název modelu je Ellen Arruda a Mary Cunningham Boyce, který ji publikoval v roce 1993.^[1]

The funkce hustoty deformační energie pro nestlačitelný Arruda – Boyce model je dán^[2]

${ displaystyle W = Nk_ {B} theta { sqrt {n}} left [ beta lambda _ { text {chain}} - { sqrt {n}} ln left ({ cfrac { sinh beta} { beta}} right) right],}$

kde ${ displaystyle n}$ je počet segmentů řetězu, ${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta, ${ displaystyle theta}$ je teplota v kelvinů, ${ displaystyle N}$ je počet řetězců v síti zesítěného polymeru,

${ displaystyle lambda _ { mathrm {chain}} = { sqrt { tfrac {I_ {1}} {3}}}, quad beta = { mathcal {L}} ^ {- 1} left ({ cfrac { lambda _ { text {chain}}} { sqrt {n}}} right),}$

kde ${ displaystyle I_ {1}}$ je první invariant levého tenzoru deformace Cauchy – Green a ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ {- 1} (x)}$ je inverzní Langevinova funkce kterou lze aproximovat pomocí

${ displaystyle { mathcal {L}} ^ {- 1} (x) = { begin {případů} 1,31 tan (1,59x) + 0,91x & { text {pro}} | x | <0,841, { tfrac {1} { operatorname {sgn} (x) -x}} & { text {for}} 0,841 leq | x | <1. end {případy}}}$

U malých deformací se model Arruda – Boyce redukuje na Gaussovu síť neohookeanská pevná látka Modelka. Může se to ukázat^[3] že Gentský model je jednoduchá a přesná aproximace modelu Arruda – Boyce.

Alternativní výrazy pro model Arruda – Boyce

Alternativní forma modelu Arruda – Boyce, využívající prvních pět termínů inverzní Langevinovy ​​funkce, je^[4]

${ displaystyle W = C_ {1} left [{ tfrac {1} {2}} (I_ {1} -3) + { tfrac {1} {20N}} (I_ {1} ^ {2} -9) + { tfrac {11} {1050N ^ {2}}} (I_ {1} ^ {3} -27) + { tfrac {19} {7000N ^ {3}}} (I_ {1} ^ {4} -81) + { tfrac {519} {673750N ^ {4}}} (I_ {1} ^ {5} -243) vpravo]}$

kde ${ displaystyle C_ {1}}$ je hmotná konstanta. Množství ${ displaystyle N}$ lze také interpretovat jako míru omezujícího roztažení sítě.

Li ${ displaystyle lambda _ {m}}$ je úsek, ve kterém se síť polymerních řetězců zablokuje, můžeme vyjádřit hustotu energie deformace Arruda – Boyce jako

${ displaystyle W = C_ {1} left [{ tfrac {1} {2}} (I_ {1} -3) + { tfrac {1} {20 lambda _ {m} ^ {2}} } (I_ {1} ^ {2} -9) + { tfrac {11} {1050 lambda _ {m} ^ {4}}} (I_ {1} ^ {3} -27) + { tfrac {19} {7000 lambda _ {m} ^ {6}}} (I_ {1} ^ {4} -81) + { tfrac {519} {673750 lambda _ {m} ^ {8}}} (I_ {1} ^ {5} -243) right]}$

Alternativně můžeme vyjádřit model Arruda – Boyce ve formě

${ displaystyle W = C_ {1} ~ součet _ {i = 1} ^ {5} alpha _ {i} ~ beta ^ {2i-2} ~ (I_ {1} ^ {i} -3 ^ {i})}$

kde ${ displaystyle beta: = { tfrac {1} {N}} = { tfrac {1} { lambda _ {m} ^ {2}}}}$ a${ displaystyle alpha _ {1}: = { tfrac {1} {2}} ~; ~~ alpha _ {2}: = { tfrac {1} {20}} ~; ~~ alpha _ {3}: = { tfrac {11} {1050}} ~; ~~ alpha _ {4}: = { tfrac {19} {7000}} ~; ~~ alpha _ {5}: = { tfrac {519} {673750}}.}$

Pokud je guma stlačitelnýzávislost na ${ displaystyle J = det ({ boldsymbol {F}})}$ lze zavést do hustoty deformační energie; ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ být gradient deformace. Existuje několik možností, mezi nimi i Kaliske – Rothert^[5] bylo zjištěno, že rozšíření je přiměřeně přesné. S tímto rozšířením lze funkci hustoty energie deformace Arruda-Boyce vyjádřit jako

${ displaystyle W = D_ {1} vlevo ({ tfrac {J ^ {2} -1} {2}} - ln J vpravo) + C_ {1} ~ součet _ {i = 1} ^ {5} alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ ({ overline {I}} _ {1} ^ {i} -3 ^ {i})}$

kde ${ displaystyle D_ {1}}$ je hmotná konstanta a ${ displaystyle { overline {I}} _ {1} = {I} _ {1} J ^ {- 2/3}}$ . Pro soulad s lineární pružnost, musíme mít ${ displaystyle D_ {1} = { tfrac { kappa} {2}}}$ kde ${ displaystyle kappa}$ je objemový modul.

Podmínka konzistence

Aby byl nestlačitelný model Arruda – Boyce konzistentní s lineární pružností, s ${ displaystyle mu}$ jako tažný modul materiálu, následující podmínka musí být spokojen:

${ displaystyle { cfrac { částečné W} { částečné I_ {1}}} { biggr |} _ {I_ {1} = 3} = { frac { mu} {2}} ,.}$

Z funkce hustoty energie deformace Arruda – Boyce máme,

${ displaystyle { cfrac { částečné W} { částečné I_ {1}}} = C_ {1} ~ součet _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} ,.}$

Proto v ${ displaystyle I_ {1} = 3}$,

${ displaystyle mu = 2C_ {1} ~ součet _ {i = 1} ^ {5} i , alfa _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i- 1} ,.}$

Nahrazení hodnotami ${ displaystyle alpha _ {i}}$ vede ke stavu konzistence

${ displaystyle mu = C_ {1} vlevo (1 + { tfrac {3} {5 lambda _ {m} ^ {2}}} + { tfrac {99} {175 lambda _ {m} ^ {4}}} + { tfrac {513} {875 lambda _ {m} ^ {6}}} + { tfrac {42039} {67375 lambda _ {m} ^ {8}}} vpravo ) ,.}$

Vztahy mezi napětím a deformací

Cauchyovo napětí pro nestlačitelný model Arruda – Boyce je dáno vztahem

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {1}}} + 2 ~ { cfrac { částečné W} { částečné I_ {1}}} ~ { boldsymbol {B}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {1}}} + 2C_ {1} ~ left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] { boldsymbol {B}}}$

Jednoosé prodloužení

Křivky napětí-deformace pod jednoosým prodloužením pro model Arruda – Boyce ve srovnání s různými hyperelastickými materiálovými modely.

Pro jednoosé prodloužení v ${ displaystyle mathbf {n} _ {1}}$-směr, hlavní úseky jsou ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {2} = lambda _ {3}}$. Z nestlačitelnosti ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Proto ${ displaystyle lambda _ {2} ^ {2} = lambda _ {3} ^ {2} = 1 / lambda}$.Proto,

${ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + { cfrac {2} { lambda}} ~.}$

The vlevo Cauchy – Tenzor zelené deformace pak lze vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + { cfrac {1} { lambda}} ~ ( mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3}) ~.}$

Pokud jsou směry hlavních úseků orientovány základními vektory souřadnic, máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sigma _ {11} & = - p + 2C_ {1} lambda ^ {2} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] sigma _ {22} & = - p + { cfrac {2C_ {1}} { lambda }} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] = sigma _ {33} ~. end {zarovnáno}}}$

Li ${ displaystyle sigma _ {22} = sigma _ {33} = 0}$, my máme

${ displaystyle p = { cfrac {2C_ {1}} { lambda}} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1 } ~ I_ {1} ^ {i-1} vpravo] ~.}$

Proto,

${ displaystyle sigma _ {11} = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~.}$

The technické napětí je ${ displaystyle lambda -1 ,}$. The inženýrský stres je

${ displaystyle T_ {11} = sigma _ {11} / lambda = 2C_ {1} left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left [ součet _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~.}$

Rovnoběžné prodloužení

Pro ekvibiaxiální prodloužení v ${ displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ a ${ displaystyle mathbf {n} _ {2}}$ směry, hlavní úseky jsou ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda ,}$. Z nestlačitelnosti ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Proto ${ displaystyle lambda _ {3} = 1 / lambda ^ {2} ,}$.Proto,

${ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = 2 ~ lambda ^ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} ~.}$

The vlevo Cauchy – Tenzor zelené deformace pak lze vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + lambda ^ {2} ~ mathbf {n } _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} ~ mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}$

Pokud jsou směry hlavních úseků orientovány základními vektory souřadnic, máme

${ displaystyle sigma _ {11} = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda ^ {4}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] = sigma _ {22} ~.}$

The technické napětí je ${ displaystyle lambda -1 ,}$. The inženýrský stres je

${ displaystyle T_ {11} = { cfrac { sigma _ {11}} { lambda}} = 2C_ {1} left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {5}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] = T_ {22} ~.}$

Rovinné prodloužení

Testy rovinného prodloužení se provádějí na tenkých vzorcích, které jsou omezeny deformací v jednom směru. Pro rovinné prodloužení v ${ displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ směry s ${ displaystyle mathbf {n} _ {3}}$ směr omezen, hlavní úseky jsou ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {3} = 1}$. Z nestlačitelnosti ${ displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Proto ${ displaystyle lambda _ {2} = 1 / lambda ,}$.Proto,

${ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} + 1 ~.}$

The vlevo Cauchy – Tenzor zelené deformace pak lze vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + { cfrac {1} { lambda ^ { 2}}} ~ mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}$

Pokud jsou směry hlavních úseků orientovány základními vektory souřadnic, máme

${ displaystyle sigma _ {11} = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~; ~~ sigma _ {22} = 0 ~; ~~ sigma _ {33} = 2C_ {1} left (1 - { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~.}$

The technické napětí je ${ displaystyle lambda -1 ,}$. The inženýrský stres je

${ displaystyle T_ {11} = { cfrac { sigma _ {11}} { lambda}} = 2C_ {1} left ( lambda - { cfrac {1} { lambda ^ {3}}} right) left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i-1} right] ~ .}$

Jednoduché stříhání

Deformační gradient pro a jednoduchý střih deformace má formu^[6]

${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {1}} + gamma ~ mathbf {e} _ {1} otimes mathbf {e} _ {2}}$

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}}$ jsou referenční ortonormální základní vektory v rovině deformace a smyková deformace je dána vztahem

${ displaystyle gamma = lambda - { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {1} = lambda ~; ~~ lambda _ {2} = { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {3} = 1}$

Ve formě matice lze potom deformační gradient a levý tenzor deformace Cauchy – Green vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { begin {bmatrix} 1 & gamma & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} ~; ~~ { boldsymbol {B}} = { boldsymbol {F }} cdot { boldsymbol {F}} ^ {T} = { begin {bmatrix} 1+ gamma ^ {2} & gamma & 0 gamma & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

Proto,

${ displaystyle I_ {1} = mathrm {tr} ({ boldsymbol {B}}) = 3+ gamma ^ {2}}$

a Cauchyho napětí je dáno vztahem

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol { mathit {1}}} + 2C_ {1} left [ sum _ {i = 1} ^ {5} i ~ alpha _ {i} ~ beta ^ {i-1} ~ (3+ gamma ^ {2}) ^ {i-1} right] ~ { boldsymbol {B}}}$

Statistická mechanika deformace polymeru

Arruda – Boyceův model je založen na statistické mechanice polymerních řetězců. V tomto přístupu je každá makromolekula popsána jako řetězec ${ displaystyle N}$ segmenty, každý o délce ${ displaystyle l}$. Pokud předpokládáme, že počáteční konfiguraci řetězce lze popsat pomocí a náhodná procházka, pak je počáteční délka řetězu

${ displaystyle r_ {0} = l { sqrt {N}}}$

Pokud předpokládáme, že jeden konec řetězce je na počátku, pak pravděpodobnost, že blok velikosti ${ displaystyle dx_ {1} dx_ {2} dx_ {3}}$ kolem původu bude obsahovat druhý konec řetězce, ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$, za předpokladu Gaussian funkce hustoty pravděpodobnosti, je

${ displaystyle p (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = { cfrac {b ^ {3}} { pi ^ {3/2}}} ~ exp [-b ^ { 2} (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2})] ~; ~~ b: = { sqrt { cfrac {3} {2Nl ^ {2}}}}}$

The konfigurační entropie jednoho řetězu z Boltzmannova statistická mechanika je

${ displaystyle s = c-k_ {B} b ^ {2} r ^ {2}}$

kde ${ displaystyle c}$ je konstanta. Celková entropie v síti ${ displaystyle n}$ řetězy je tedy

${ displaystyle Delta S = - { tfrac {1} {2}} nk_ {B} ( lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3 } ^ {2} -3) = - { tfrac {1} {2}} nk_ {B} (I_ {1} -3)}$

kde afinní deformace bylo předpokládáno. Proto je deformační energie deformované sítě

${ displaystyle W = - theta , dS = { tfrac {1} {2}} nk_ {B} theta (I_ {1} -3)}$

kde ${ displaystyle theta}$ je teplota.

Poznámky a odkazy

Viz také

• Hyperelastický materiál
• Pryžová pružnost
• Teorie konečných deformací
• Mechanika kontinua
• Funkce hustoty kmenové energie
• Neohookeanská pevná látka
• Mooney – Rivlin pevný
• Yeoh (hyperelastický model)
• Gent (hyperelastický model)