Historie čtveřic - History of quaternions
v matematika, čtveřice jsou ne-komutativní číselný systém, který rozšiřuje komplexní čísla. Čtvrtiny a jejich aplikace na rotace byly poprvé popsány v tisku autorem Olinde Rodrigues celkem kromě jména v roce 1840,[1] ale nezávisle objevil irský matematik Sir William Rowan Hamilton v roce 1843 a aplikován na mechaniku v trojrozměrném prostoru. Nacházejí využití v teoretické i aplikované matematice, zejména pro výpočty zahrnující trojrozměrné rotace.
Hamiltonův objev
V roce 1843 Hamilton věděl, že komplexní čísla lze zobrazit jako bodů v letadlo a že je lze sčítat a vynásobit pomocí určitých geometrických operací. Hamilton hledal způsob, jak udělat totéž pro body v prostor. Body v prostoru mohou být reprezentovány jejich souřadnicemi, které jsou trojnásobky čísel a mají zřejmý přírůstek, ale Hamilton měl potíže s definováním vhodného násobení.
Podle dopisu, který Hamilton později napsal svému synovi Archibaldovi:
Každé ráno na začátku října 1843, když jsem sestoupil na snídani, tvůj bratře William Edwin a ty ses mě ptal: „No, tati, umíš znásobit trojky?“ Vždy jsem byl povinen odpovědět se smutným zavrtěním hlavy: „Ne, mohu je jen přidat a odečíst.“
16. října 1843 se Hamilton a jeho manželka vydali na procházku podél Královský kanál v Dublin. Zatímco procházeli přes Brougham Bridge (nyní Most koště ), najednou ho napadlo řešení. I když nemohl „znásobit trojnásobky“, viděl způsob, jak toho dosáhnout čtyřnásobky. Použitím tří čísel ve čtyřnásobku jako bodů souřadnic v prostoru mohl Hamilton svým novým systémem čísel reprezentovat body v prostoru. Poté do můstku vytesal základní pravidla pro násobení:
- i2 = j2 = k2 = ijk = −1
Hamilton nazval čtyřnásobek s těmito pravidly násobení a čtveřicea zbytek svého života zasvětil jejich studiu a výuce. Od roku 1844 do roku 1850 Filozofický časopis sdělil Hamiltonovu expozici čtveřic.[2] V roce 1853 vydal Přednášky o čtveřicích, komplexní pojednání, které také popisuje biquaternions. Zařízení algebry při vyjadřování geometrických vztahů vedlo k širokému přijetí metody, několika kompozic od jiných autorů a stimulaci aplikované algebry obecně. Vzhledem k tomu, že od té doby matematická terminologie vzrostla a používání některých termínů se změnilo, označují se tradiční výrazy klasické hamiltonovské čtveřice.
Předchůdci
Hamiltonova inovace spočívala ve vyjádření čtveřic jako algebra skončila R. Vzorce pro násobení čtveřic jsou implicitní v vzorec čtyř čtverců vymyslel Leonhard Euler v roce 1748; Olinde Rodrigues použil tento vzorec k reprezentaci rotací v roce 1840.[3]:9
Odezva
Zvláštní tvrzení čtveřic jako algebry čtyřrozměrný prostor byly zpochybněny uživatelem James Cockle se svými exponáty v letech 1848 a 1849 tessarines a coquaternions jako alternativy. Nicméně tyto nové algebry od Cockleho se ve skutečnosti nacházely v Hamiltonově biquaternions. Z Itálie v roce 1858 Giusto Bellavitis odpověděl[4] propojit Hamiltonovu vektorovou teorii s jeho teorií vybavení směrovaných úseček.
Jules Hoüel vedl odpověď z Francie v roce 1874 s učebnicí o prvcích čtveřic. Usnadnit studium versors, představil „biradiály“ k označení oblouků velkých kruhů na kouli. Potom základna poskytla kvaternionová algebra sférická trigonometrie představený v kapitole 9. Hoüel nahradil Hamiltonovy základní vektory i, j, k s i1, i2, a i3.
Rozmanitost dostupných písem vedla Hoüela k další významné inovaci: A označuje bod, A a A jsou algebraické veličiny a v rovnici pro čtveřice
A je vektor a α je úhel. Tento styl výkladu čtveřice byl udržován Charles-Ange Laisant[5] a Alexander Macfarlane.[6]
William K. Clifford rozšířil typy biquaternionů a prozkoumal eliptický prostor, geometrie, ve které lze body zobrazit jako versory. Fascinace čtveřicemi začala před jazykem teorie množin a matematické struktury byl k dispozici. Ve skutečnosti toho bylo málo matematická notace před Formulario mathematico. Čtvrtečky stimulovaly tyto pokroky: Například myšlenka a vektorový prostor půjčil si Hamiltonův termín, ale změnil jeho význam. Podle moderního chápání je jakýkoli čtveřice vektorem ve čtyřrozměrném prostoru. (Hamiltonovy vektory leží v podprostoru se skalární částí nula.)
Jelikož čtveřice vyžaduje, aby si čtenáři představili čtyři dimenze, existuje jejich metafyzický aspekt. Čtveřice jsou a filozofický objekt. Stanovení čtveřic před studenty prvního ročníku na strojírenství vyžaduje příliš mnoho. Přesto užitečnost tečkované výrobky a křížové výrobky v trojrozměrný prostor, pro ilustraci procesů, požaduje použití těchto operací, které jsou vyříznuty z produktu čtveřice. Tím pádem Willard Gibbs a Oliver Heaviside učinil toto ubytování pro pragmatismus, aby se vyhnul rušivé nadstavbě.[7]
Pro matematiky se struktura čtveřice seznámila a ztratila status něčeho matematicky zajímavého. Tedy v Anglii, když Arthur Buchheim připravil referát o biquaternionech, byl publikován v American Journal of Mathematics protože tam zůstala nějaká novinka v předmětu. Výzkum se obrátil k hyperkomplexní čísla obecněji. Například, Thomas Kirkman a Arthur Cayley považoval počet rovnic mezi základními vektory za nezbytný k určení jedinečného systému. Široký zájem, který čtveřice vzbudil po celém světě, vyústil v Quaternion Society. V současné matematice je dělící prsten příkladů čtveřic algebra nad polem.
Hlavní publikace
- 1853 Přednášky o čtveřicích[8]
- 1866 Prvky čtveřic[9]
- 1873 Základní pojednání podle Peter Guthrie Tait[10]
- 1874 Jules Hoüel: Éléments de la Théorie des Quaternions[11]
- 1878 Abbott Lawrence Lowell: Kvadrics: Harvardská disertační práce:[12]
- 1882 Tait a Philip Kelland: Úvod s příklady[13]
- 1885 Arthur Buchheim: Biquaternions[14]
- 1887 Valentin Balbin: (španělsky) Elementy de Calculo de los Cuaterniones, Buenos Aires[15]
- 1899 Charles Jasper Joly: Elementy sv. 1, sv. 2 1901[16]
- 1901 Vektorová analýza podle Willard Gibbs a Edwin Bidwell Wilson (čtveřice nápady bez čtveřice)
- 1904 Cargill Gilston Knott: třetí vydání učebnice Kellanda a Taita[17]
- 1904 Bibliografie připraven na Quaternion Society podle Alexander Macfarlane[18]
- 1905 C.J. Joly's Manuál pro čtveřice[19]
- 1940 Julian Coolidge v Historie geometrických metod, strana 261, používá bezkoordinátové metody Hamiltonových operátorů a uvádí práci A. L. Lawrencea na Harvardu. Coolidge tyto operátory používá duální čtveřice popsat posunutí šroubu v kinematika.
Octonions
Octonions byly vyvinuty nezávisle uživatelem Arthur Cayley v roce 1845 [20] a John T. Graves, Hamiltonův přítel. Graves se zajímal o Hamiltona v algebře a na jeho objev čtveřic reagoval slovy: „Pokud pomocí své alchymie můžete vydělat tři libry zlata [tři imaginární jednotky], proč byste se měli zastavit právě tam?“[21]
Dva měsíce po Hamiltonově objevu čtveřic napsal Graves Hamiltona 26. prosince 1843 a představil jakýsi dvojitý čtveřice[22] který se nazývá octonion, a ukázal, že jsou tím, čemu nyní říkáme a normovaný divize algebra[Citace je zapotřebí ]; Graves jim zavolal oktávy. Hamilton potřeboval způsob, jak rozlišit dva různé typy dvojitých čtveřic, asociativní biquaternions a oktávy. Mluvil o nich s Royal Irish Society a připsal svému příteli Gravesovi objev druhého typu dvojitého čtveřice.[23][24] v odpovědi poznamenal, že tomu tak není asociativní, což mohl být vynález tohoto konceptu. Také slíbil, že Gravesovo dílo zveřejní, ale udělal s tím málo; Cayley, pracující nezávisle na Gravesovi, ale inspirovaný Hamiltonovou publikací jeho vlastní práce, publikovanou na octonions v březnu 1845 - jako příloha k článku o jiném tématu. Hamilton byl zasažen protestem proti Gravesově prioritě v objevování, ne-li publikaci; přesto jsou octoniony známé pod jménem, které jim dal Cayley - nebo jako Cayleyova čísla.
Hlavní dedukce z existence octonionů byla věta o osmi čtvercích, který vyplývá přímo z pravidla produktu z oktonionů, byl také dříve objeven jako čistě algebraická identita, Carl Ferdinand Degen v roce 1818.[25] Tato identita čtverců je charakteristická pro složení algebra, rys komplexních čísel, čtveřic a oktonionů.
Matematické použití
Quaternions byly i nadále dobře studované matematický struktura ve dvacátém století, jako třetí termín v EU Cayley – Dicksonova konstrukce z číslo hyperkomplexu systémy nad realitami, následované octonions a sedimenty; jsou také užitečným nástrojem v teorie čísel, zejména při studiu reprezentace čísel jako součtu čtverců. Skupina osmi čtverců základních jednotek, kladných a záporných, čtveřice skupina, je také nejjednodušší nekomutativní Skupina Sylow.
Studium integrální čtveřice začal s Rudolf Lipschitz v roce 1886, jehož systém byl později zjednodušen Leonard Eugene Dickson; ale moderní systém publikoval Adolf Hurwitz v roce 1919. Rozdíl mezi nimi spočívá v tom, které čtveřice jsou považovány za integrální: Lipschitz zahrnul pouze ty čtveřice s integrálními souřadnicemi, ale Hurwitz tyto čtveřice přidal všichni čtyři jejichž souřadnice jsou napůl celá čísla. Oba systémy jsou uzavřeny odečtením a násobením, a proto jsou prsteny, ale Lipschitzův systém neumožňuje jedinečnou faktorizaci, zatímco Hurwitzův.[26]
Quaternions jako rotace
Quaternions jsou stručnou metodou reprezentace automorfismy trojrozměrných a čtyřrozměrných prostorů. Mají tu technickou výhodu jednotkové čtveřice tvoří jednoduše připojeno kryt prostoru trojrozměrných rotací.[3]:ch 2
Z tohoto důvodu se čtveřice používají v počítačová grafika,[27] teorie řízení, robotika,[28] zpracování signálu, ovládání postoje, fyzika, bioinformatika, a orbitální mechanika. Například je běžné, že systémům řízení polohy kosmických lodí se velí ve smyslu čtveřic. Tomb Raider (1996) je často uváděn jako první počítačová hra na masovém trhu, která k dosažení plynulé 3D rotace použila čtveřice.[29] Quaternions obdrželi další podporu od teorie čísel kvůli jejich vztahu k kvadratické formy.
Pamětní
Od roku 1989 Katedra matematiky Univerzity Karlovy v Praze Irská národní univerzita, Maynooth uspořádal pouť, kde se konají vědci (včetně fyziků) Murray Gell-Mann v roce 2002, Steven Weinberg v roce 2005, Frank Wilczek v roce 2007 a matematik Andrew Wiles v roce 2003) se projít Dunsink Observatory k mostu Royal Canal, kde bohužel nezůstala žádná stopa po Hamiltonově řezbářství.[30]
Reference
- Baez, John C. (2002), „Octonions“, Bulletin of the American Mathematical SocietyNová řada, 39 (2): 145–205, arXiv:matematika / 0105155, doi:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X, PAN 1886087
- G. H. Hardy a E. M. Wright, Úvod do teorie čísel. Mnoho vydání.
- Johannes C. Familton (2015) Quaternions: Historie komplexních nekomutativních rotačních skupin v teoretické fyzice, Ph.D. práce v Columbia University Katedra pedagogiky matematiky.
Poznámky
- ^ Simon L. Altmann (1989). „Hamilton, Rodrigues a skandál čtveřice“. Matematický časopis. Sv. 62 č. 5. str. 291–308. doi:10.2307/2689481. JSTOR 2689481.
- ^ W.R. Hamilton (1844 až 1850) Na čtveřicích nebo na novém systému imaginářů v algebře, Filozofický časopis, odkaz na kolekci Davida R. Wilkinse v Trinity College, Dublin
- ^ A b John H. Conway & Derek A. Smith (2003) O čtveřicích a oktonionech: jejich geometrie, aritmetika a symetrie, K Peters, ISBN 1-56881-134-9
- ^ Giusto Bellavitis ( 1858) Calcolo dei Quaternioni di W.R. Hamilton a další Relazione col Metodo delle Equipollenze, odkaz od HathiTrust
- ^ Charles Laisant (1881) Úvod a la Méthode des Quaternions, odkaz od Knihy Google
- ^ A. Macfarlane (1894) Články o vesmírné analýze, B. Westerman, New York, webový odkaz z archive.org
- ^ Michael J. Crowe (1967) Historie vektorové analýzy, University of Notre Dame Press
- ^ Přednášky o čtveřicích, Royal Irish Academy, webový odkaz z Cornell University Historické matematické monografie
- ^ Prvky čtveřic, University of Dublin Lis. Upraveno uživatelem William Edwin Hamilton, syn zesnulého autora
- ^ Základní pojednání o čtveřicích
- ^ J. Hoüel (1874) Éléments de la Théorie des Quaternions, Vydavatel Gauthier-Villars, odkaz od Knihy Google
- ^ Abbott Lawrence Lowell (1878) Povrchy druhého řádu, jak jsou ošetřeny čtveřicemi, Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 13: 222–50, od Knihovna kulturního dědictví
- ^ Úvod do čtveřic s mnoha příklady
- ^ „Memoir on biquaternions“, American Journal of Mathematics 7 (4): 293 až 326 z Jstor raný obsah
- ^ Gustav Plarr (1887) Recenze Valentina Balbina Elementy de Calculo de los Cuaterniones v Příroda
- ^ Hamilton (1899) Prvky čtveřic svazek I, (1901) svazek II. Upraveno uživatelem Charles Jasper Joly; publikováno Longmans, Green & Co., nyní v Internetový archiv
- ^ C. G. Knott (editor) (1904) Úvod do čtveřic, 3. vydání přes Hathi Trust
- ^ Alexander Macfarlane (1904) Bibliografie čtveřic a příbuzných matematických systémů, webový odkaz z Cornell University Historické matematické monografie
- ^ Charles Jasper Joly (1905) Manuál pro čtveřice (1905), původně publikoval Vydavatelé Macmillan, nyní z historických matematických monografií Cornell University
- ^ Penrose 2004 str. 202
- ^ Baez 2002, str. 146.
- ^ Viz Penrose Road to Reality str. 202 „Graves zjistil, že existuje jakýsi dvojitý čtveřice ...“
- ^ Hamilton 1853 str. 740 Viz tištěná verze Přednášek o čtveřicích, dodatek B, v online vydání byla oříznuta polovina slova s rozděleným slovem dvojitý čtveřice
- ^ Podívejte se na Hamiltonův rozhovor s Royal Irish Academy na toto téma
- ^ Baez 2002, str. 146-7.
- ^ Hardy a Wright, Úvod do teorie čísel, §20.6-10n (str. 315–316, ed. 1968)
- ^ Ken Shoemake (1985), Animace rotace s křivkami Quaternion, Počítačová grafika, 19(3), 245–254. Prezentováno v SIGGRAPH '85.
- ^ J. M. McCarthy, 1990, Úvod do teoretické kinematiky, MIT Stiskněte
- ^ Nick Bobick (únor 1998) "Otáčení objektů pomocí čtveřic ", Game Developer (časopis)
- ^ Hamilton chůze na Irská národní univerzita, Maynooth.