Grunskyho matice - Grunsky matrix - Wikipedia

Matematická analýza → Složitá analýza
Složitá analýza
Složitá čísla
Reálné číslo Imaginární číslo Složité letadlo Složitý konjugát Komplexní číslo jednotky
Složité funkce
Funkce s komplexní hodnotou Analytická funkce Holomorfní funkce Cauchy – Riemannovy rovnice Formální výkonová řada
Základní teorie
Nuly a póly Cauchyho integrální věta Místní primitiv Cauchyho integrální vzorec Vinutí číslo Laurentova řada Izolovaná singularita Věta o zbytku Konformní mapa Schwarzovo lema Harmonická funkce Laplaceova rovnice
Teorie geometrických funkcí
Lidé
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Matematický portál

v komplexní analýza a teorie geometrických funkcí, Grunsky maticenebo Grunsky operátoři, jsou nekonečné matice zavedené v roce 1939 Helmut Grunsky. Matice odpovídají buď jedné holomorfní funkce na jednotka disku nebo dvojice holomorfních funkcí na disku jednotky a jeho doplňku. The Grunského nerovnosti vyjadřují vlastnosti omezenosti těchto matic, které obecně jsou operátory kontrakce nebo v důležitých zvláštních případech nečleněné operátory. Jak ukázal Grunsky, tyto nerovnosti platí tehdy a jen tehdy, je-li holomorfní funkce jednomocný. Nerovnosti jsou ekvivalentní nerovnostem Goluzina, objeveným v roce 1947. Zhruba řečeno, Grunského nerovnosti poskytují informace o koeficientech logaritmu univalentní funkce; pozdější zobecnění Milin, počínaje od Nerovnost Lebedev – Milin, uspěl v umocnění nerovností k získání nerovností pro koeficienty samotné univalentní funkce. Grunskyho matice a její přidružené nerovnosti byly původně formulovány v obecnějším nastavení univalentních funkcí mezi oblastí ohraničenou konečně mnoha dostatečně hladkými Jordan křivky a jeho doplněk: výsledky Grunského, Goluzina a Milina se zobecňují na tento případ.

Historicky byly nerovnosti disku použity k prokázání zvláštních případů Bieberbach dohad až do šestého koeficientu; umocněné nerovnosti Milin byly použity de Branges v konečném řešení. Podrobnou expozici pomocí těchto metod najdete v Hayman (1994). Grunsky operátoři a jejich Fredholmské determinanty souvisí také se spektrálními vlastnostmi ohraničených domén v složité letadlo. Provozovatelé mají další aplikace v konformní mapování, Teichmüllerova teorie a teorie konformního pole.

Grunsky Matrix

Li F(z) je holomorfní univalentní funkce na disku jednotky, normalizovaná tak F(0) = 0 a F'(0) = 1, funkce

${ displaystyle g (z) = f (z ^ {- 1}) ^ {- 1}}$

je nezanikající univalentní funkce na |z| > 1 mající jednoduchý pól na ∞ se zbytkem 1:

${ displaystyle g (z) = z + b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

Stejný vzorec inverze použitý pro G dává zpět F a zavádí jednotnou korespondenci mezi těmito dvěma třídami funkcí.

The Grunskyho matice (C_nm) z G je definována rovnicí

${ displaystyle log { frac {g (z) -g ( zeta)} {z- zeta}} = - součet _ {m, n> 0} c_ {nm} z ^ {- m} zeta ^ {- n}}$

Je to symetrická matice. Jeho položky se nazývají Grunskyho koeficienty z G.

Všimněte si, že

${ displaystyle log {g (z ^ {- 1}) - g ( zeta ^ {- 1}) nad z ^ {- 1} - zeta ^ {- 1}} = log {f (z ) -f ( zeta) nad z- zeta} - log {f (z) nad z} - log {f ( zeta) nad zeta},}$

takže koeficienty lze vyjádřit přímo pomocí F. Opravdu, pokud

${ displaystyle log {f (z) -f ( zeta) nad z- zeta} = - součet _ {m, n geq 0} d_ {mn} z ^ {n} zeta ^ {n },}$

pak pro m, n > 0

${ displaystyle d_ {mn} = c_ {mn}}$

a d_0n = d_n0 darováno

${ displaystyle log { frac {f (z)} {z}} = součet _ {n> 0} d_ {0n} z ^ {n}}$

s

${ displaystyle d_ {00} = 0.}$

Grunského nerovnosti

Li F je holomorfní funkce na disku jednotky s Grunskyho maticí (C_nm), Grunského nerovnosti uveďte to

${ displaystyle left | sum _ {1 leq m, n leq N} c_ {mn} lambda _ {m} lambda _ {n} vpravo | leq sum _ {1 leq n leq N} { frac {| lambda _ {n} | ^ {2}} {n}}}$

pro jakoukoli konečnou posloupnost komplexních čísel λ₁, ..., λ_N.

Faberovy polynomy

Grunského koeficienty normalizované univalentní funkce v |z| > 1

${ displaystyle g (z) = z + b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

jsou polynomy v koeficientech b_i které lze rekurzivně vypočítat z hlediska Faberovy polynomy Φ_n, monický polynom stupně n záleží na G.

Převzetí derivátu v z definujícího vztahu Grunských koeficientů a vynásobením z dává

${ displaystyle { frac {zg '(z)} {g (z) -g ( zeta)}} - { frac {z} {z- zeta}} = součet _ {m, n> 0 } mc_ {mn} z ^ {- m} zeta ^ {- n}.}$

Faberovy polynomy jsou definovány vztahem

${ displaystyle { frac {zg '(z)} {g (z) -w}} = součet _ {n geq 0} Phi _ {n} (w) z ^ {- n}.}$

Dělení tohoto vztahu z a integraci mezi z a ∞ dává

${ displaystyle log { frac {g (z) -w} {z}} = - součet _ {n geq 1} {1 nad n} Phi _ {n} (w) z ^ {- n}.}$

To dává relace opakování pro n > 0

${ displaystyle Phi _ {n} (w) = (w-b_ {0}) Phi _ {n-1} (w) -nb_ {n} - součet _ {0 leq i leq n- 1} b_ {ni} Phi _ {i} (w)}$

s

${ displaystyle Phi _ {0} (w) ekv. 1.}$

Tím pádem

${ displaystyle sum _ {n geq 0} Phi _ {n} (g (z)) zeta ^ {- n} = 1 + sum _ {n geq 1} vlevo (z ^ {n } + sum _ {m geq 1} c_ {nm} z ^ {- m} vpravo) zeta ^ {- n},}$

tak pro n ≥ 1

${ displaystyle Phi _ {n} (g (z)) = z ^ {n} + součet _ {m geq 1} c_ {nm} z ^ {- m}.}$

Druhá vlastnost jednoznačně určuje Faberův polynom G.

Milinova věta o oblasti

Nechat G(z) být univalentní funkcí na |z| > 1 normalizováno tak, že

${ displaystyle g (z) = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

a nechte F(z) být nekonstantní holomorfní funkce na C.

Li

${ displaystyle f (g (z)) = součet _ {- infty} ^ { infty} c_ {n} z ^ {n}}$

je Laurentova expanze na z > 1 tedy

${ displaystyle sum _ {n> 0} n | c_ {n} | ^ {2} leq sum _ {n> 0} n | c _ {- n} | ^ {2}.}$

Důkaz

Pokud je Ω ohraničená otevřená oblast s hladkou hranicí ∂Ω a h je diferencovatelná funkce na Ω rozšiřující se na spojitou funkci na uzávěru, tedy o Stokesova věta aplikován na diferenciální 1-forma ${ displaystyle omega = h (z) dz,}$

${ displaystyle int _ { částečné Omega} h (z) , dz = int _ { částečné Omega} omega = iint _ { Omega} d omega = iint _ { Omega} (i částečné _ {x} - částečné _ {y}) h , dx , dy = 2i iint _ { Omega} částečné _ { overline {z}} h , dx , dy. }$

Pro r > 1, nechť Ω_r být doplňkem obrazu |z|> r pod G(z), ohraničená doména. Poté podle výše uvedené identity s h = F', oblast F(Ω_r) darováno

${ displaystyle A (r) = iint _ { Omega _ {r}} | f '(z) | ^ {2} , dx , dy = {1 nad 2i} int _ { částečné Omega _ {r}} { overline {f (z)}} f '(z) , dz = {1 over 2i} int _ {| w | = r} { overline {f (g (w )))}} f '(g (w)) g' (w) , dw.}$

Proto

${ displaystyle A (r) = pi sum _ {n} n | c _ {- n} | ^ {2} r ^ {2n}.}$

Protože oblast není negativní

${ displaystyle sum _ {n> 0} n | c_ {n} | ^ {2} r ^ {- 2n} leq sum _ {n> 0} n | c _ {- n} | ^ {2} r ^ {2n}.}$

Výsledek následuje necháním r snížit na 1.

Milinův důkaz Grunského nerovností

Li

${ displaystyle p (w) = součet _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- 1} lambda _ {n} Phi _ {n} (w),}$

pak

${ Displaystyle p (g (z)) = left ( sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- 1} lambda _ {n} z ^ {n} right) + left ( sum _ {m = 1} ^ { infty} sum _ {n = 1} ^ {N} lambda _ {n} c_ {nm} z ^ {- m} right).}$

Aplikování Milinovy ​​věty o oblasti,

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ { infty} m left | sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {n} right | ^ {2} leq sum _ {n = 1} ^ {N} {1 over n} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

(Rovnost zde platí tehdy a jen tehdy, pokud doplněk obrazu G má Lebesgueovo opatření nula.)

Tak tím spíše

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ {N} m vlevo | sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {n} vpravo | ^ {2} leq sum _ {n = 1} ^ {N} {1 nad n} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

Odtud tedy symetrická matice

${ displaystyle a_ {mn} = { sqrt {mn}} c_ {mn},}$

považováno za provozovatele dne C^N se svým standardním vnitřním produktem vyhovuje

${ displaystyle | Axe | | leq | x |.}$

Takže Cauchy – Schwarzova nerovnost

${ displaystyle | (Axe, y) | leq | x | cdot | y |.}$

S

${ displaystyle x_ {n} = { frac { lambda _ {n}} { sqrt {n}}} = { overline {y_ {n}}},}$

to dává Grunského nerovnost:

${ displaystyle left | sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {m} lambda _ {n} vpravo | ^ {2} leq sum _ {n = 1} ^ {N} {1 nad n} | lambda _ {n} | ^ {2},}$

Kritérium univalence

Nechat G(z) být holomorfní funkcí na z > 1 s

${ displaystyle g (z) = z + b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

Pak G je univalentní právě tehdy, pokud Grunskyho koeficienty G uspokojit Grunského nerovnosti pro všechny N.

Podmínky se již ukázaly jako nezbytné. Chcete-li vidět dostatečnost, nezapomeňte, že

${ displaystyle log {g (z) -g ( zeta) nad z- zeta} = - součet _ {m, n geq 1} c_ {mn} z ^ {- m} zeta ^ { -n}}$

dává smysl, když |z| a | ζ | jsou velké a tudíž i koeficienty C_mn jsou definovány. Pokud jsou Grunského nerovnosti uspokojeny, pak je snadné vidět, že |C_mn| jsou rovnoměrně ohraničeny, a proto expanze na levé straně konverguje pro |z| > 1 a | ζ | > 1. Exponování obou stran z toho vyplývá G je univalentní.

Dvojice univalentních funkcí

Nechat ${ displaystyle F (z)}$ a ${ displaystyle g ( zeta)}$ být univalentní holomorfní funkce na |z| <1 a | ζ | > 1, takže jejich obrázky jsou disjunktní C. Předpokládejme, že jsou tyto funkce normalizovány

${ displaystyle g ( zeta) = zeta + a_ {0} + b_ {1} zeta ^ {- 1} + b_ {2} zeta ^ {- 2} + cdots}$

a

${ displaystyle F (z) = af (z)}$

s A ≠ 0 a

${ displaystyle f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots.}$

The Grunskyho matice (C_mn) této dvojice funkcí je definován pro všechny nenulové m a n podle vzorců:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} log {g ( zeta) -g ( eta) over zeta - eta} & = - sum _ {m, n geq 1} c_ {mn} zeta ^ {- m} eta ^ {- n} log {g ( zeta) -f (z) over zeta} - log {g ( zeta) over zeta} & = - sum _ {m, n geq 1} c _ {- m, n} z ^ {m} zeta ^ {- n} log {f (z) -f (w) over zw} - log {f (z) over z} - log {f (w) over w} & = - sum _ {m, n geq 1} c _ {- m, -n} z ^ {m} w ^ {n} end {zarovnáno}}}$

s

${ displaystyle c_ {m, -n} = c _ {- n, m}, qquad m, n geq 1,}$

aby (C_mn) je symetrická matice.

V roce 1972 americký matematik James Hummel rozšířil Grunského nerovnosti na tuto matici, což dokazuje, že pro každou posloupnost komplexních čísel λ_±1, ..., λ_±N

${ displaystyle left | sum _ {n, m neq 0} c_ {mn} lambda _ {m} lambda _ {n} doprava | leq sum _ {n neq 0} { frac {1} {| n |}} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

Důkaz probíhá výpočtem oblasti obrazu doplňku obrazů |z| < r <1 pod F a | ζ | > R > 1 pod G pod vhodným Laurentovým polynomem h(w).

Nechat ${ displaystyle phi _ {n}}$ a ${ displaystyle phi _ {- n}}$ označují Faberovy polynomy z G a ${ displaystyle f (z ^ {- 1}) ^ {- 1}}$ a nastavit

${ displaystyle h (w) = součet _ {n geq 1} { frac { lambda _ {n}} {n}} Phi _ {n} (w) + sum _ {n geq 1 } { frac { lambda _ {- n}} {n}} Phi _ {- n} left ({ frac {a} {w}} right).}$

Pak:

${ displaystyle { begin {aligned} h (F (z)) & = sum _ {n geq 1} { frac { lambda _ {- n}} {n}} z ^ {- n} + alpha + sum _ {n geq 1} alpha _ {n} z ^ {n}, && | z | <1, alpha _ {n} = sum _ {m} c _ {- n, m } lambda _ {m} h (g ( zeta)) & = sum _ {n geq 1} { frac { lambda _ {n}} {n}} zeta ^ {n} + beta + sum _ {n geq 1} beta _ {n} zeta ^ {- n}, && | zeta |> 1, beta _ {n} = sum _ {m} c_ {nm } lambda _ {m} end {zarovnáno}}}$

Plocha se rovná

${ displaystyle int | h '(z) | ^ {2} , dx , dy = { frac {1} {2i}} int _ {C_ {1}} { overline {h}} ( z) h '(z) , dz - { frac {1} {2i}} int _ {C_ {2}} { overline {h}} (z) h' (z) , dz,}$

kde C₁ je obraz kruhu | ζ | = R pod G a C₂ je obraz kruhu |z| = r pod F.

Proto

${ displaystyle { frac {1} { pi}} iint | h '| ^ {2} , dx , dy = left [ sum _ {n geq 1} { frac {1} { n}} | lambda _ {- n} | ^ {2} - sum _ {n geq 1} | alpha _ {n} | ^ {2} r ^ {2n} right] + left [ sum _ {n geq 1} {1 over n} | lambda _ {n} | ^ {2} - sum _ {n geq 1} | beta _ {n} | ^ {2} R ^ {- 2n} vpravo].}$

Jelikož je oblast pozitivní, musí být pozitivní také pravá strana. Pronájem r zvýšit na 1 a R snížit na 1, z toho vyplývá, že

${ displaystyle sum _ {m neq 0} | m | left | sum _ {n neq 0} c_ {mn} lambda _ {n} right | ^ {2} leq sum _ { m neq 0} {1 nad | m |} | lambda _ {m} | ^ {2}}$

s rovností právě tehdy, má-li doplněk obrázků Lebesgueovo opatření nula.

Jako v případě jediné funkce G, z toho vyplývá požadovaná nerovnost.

Jednotnost

Matice

${ displaystyle a_ {mn} = { sqrt {| mn |}} cdot c_ {mn}}$

jedné funkce G nebo pár funkcí F, G je jednotný, právě když doplněk obrazu G nebo spojení obrazů F a G má Lebesgueovo opatření nula. Zhruba řečeno, v případě jedné funkce je obrazem oblast štěrbiny v komplexní rovině; a v případě dvou funkcí jsou obě oblasti odděleny uzavřenou Jordanovou křivkou.

Ve skutečnosti nekonečná matice A působící na Hilbertův prostor čtvercových součtových sekvencí vyhovuje

${ displaystyle A ^ {*} A = já,}$

Ale pokud J označuje komplexní konjugaci sekvence

${ displaystyle JAJ = A ^ {*}, quad JA ^ {*} J = A}$

od té doby A je symetrický. Proto

${ displaystyle AA ^ {*} = JA ^ {*} AJ = I}$

aby A je unitární.

Ekvivalentní formy Grunského nerovností

Goluzinové nerovnosti

Li G(z) je normalizovaná univalentní funkce v |z| > 1, z₁, ..., z_N jsou odlišné body s |z_n| > 1 a α₁, ..., α_N jsou komplexní čísla, nerovnosti goluzinů, které v roce 1947 prokázal ruský matematik Gennadi Michajlovič Goluzin (1906-1953), uvádějí, že

${ displaystyle left | sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {m} alpha _ {n} log {g (z_ {m }) - g (z_ {n}) nad z_ {m} -z_ {n}} vpravo | ^ {2} leq sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1 } ^ {N} alpha _ {m} { overline { alpha _ {n}}} log {1 over 1- (z_ {m} { overline {z_ {n}}}) ^ {- 1}}.}$

Abych je odvodil z Grunských nerovností, dovolte

${ displaystyle lambda _ {k} = součet _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {n} z_ {n} ^ {- k}.}$

pro k > 0.

Naopak Grunského nerovnosti vyplývají z Goluzinových nerovností tím, že bereme

${ displaystyle alpha _ {m} = {1 nad N} součet _ {n = 1} ^ {N} lambda _ {n} z_ {n} ^ {m}.}$

kde

${ displaystyle z_ {n} = re ^ {2 pi in over N}}$

s r > 1, směřující k ∞.

Bergman – Schifferovy nerovnosti

Bergman & Schiffer (1951) dal další odvození Grunských nerovností pomocí reprodukci jader a singulární integrální operátory v teorie geometrických funkcí; novější související přístup lze nalézt v Baranov a Hedenmalm (2008).

Nechat F(z) být normalizovanou jednotnou funkcí v |z| <1, nech z₁, ..., z_N být odlišné body s |z_n| <1 a nechť α₁, ..., α_N být komplexní čísla. Tvrdí to Bergman-Schifferova nerovnost

${ displaystyle left | sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {m} alpha _ {n} left [{ frac {f '(z_ {m}) f' (z_ {n})} {(f (z_ {m}) - f (z_ {n})) ^ {2}}} - { frac {1} {(z_ {m} -z_ {n}) ^ {2}}} doprava] doprava | leq sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {m} { overline { alpha _ {n}}} { frac {1} {(1-z_ {m} { overline {z_ {n}}}) ^ {2}}}.}$

Chcete-li tyto nerovnosti odvodit z Grunských nerovností, nastavte

${ displaystyle lambda _ {k} = k sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {n} z_ {n} ^ {k}.}$

pro k > 0.

Naopak Grunského nerovnosti vyplývají z Bergman-Schifferových nerovností tím, že se

${ displaystyle alpha _ {m} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {n}} lambda _ {n} z_ { n} ^ {m}.}$

kde

${ displaystyle z_ {n} = re ^ { frac {2 pi in} {N}}}$

s r <1, má tendenci k 0.

Aplikace

Grunského nerovnosti znamenají mnoho nerovností pro univalentní funkce. Byly také použity Schifferem a Charzynským v roce 1960, aby poskytly zcela základní důkaz o Bieberbach dohad pro čtvrtý koeficient; mnohem komplikovanější důkaz dříve našli Schiffer a Garabedian v roce 1955. V roce 1968 Pedersen a Ozawa nezávisle použili Grunského nerovnosti k prokázání domněnky o šestém koeficientu.^[1][2]

V důkazu Schiffera a Charzynského, pokud

${ displaystyle f (x) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + a_ {4} z ^ {4} + cdots}$

je normalizovaná univalentní funkce v |z| <1, tedy

${ displaystyle g (z) = f (z ^ {2}) ^ {- 1/2} = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {3} z ^ {- 3} + cdots }$

je lichá univalentní funkce v |z| > 1.

Kombinování Gronwallův teorém o oblasti pro F s Grunskyho nerovnostmi pro první 2 x 2 mol Grunského matice G vede k hranici pro |A₄| z hlediska jednoduché funkce A₂ a parametr volného komplexu. Volný parametr lze zvolit tak, aby se vazba stala funkcí poloviny modulu A₂ a pak lze přímo zkontrolovat, že tato funkce není větší než 4 v rozsahu [0,1].

Jak ukázal Milin, lze Grunského nerovnosti umocnit. Nejjednodušší případ probíhá psaním

${ displaystyle log {g (z) -g ( zeta) nad z- zeta} = - součet _ {n geq 1} a_ {n} ( zeta ^ {- 1}) z ^ { -n}.}$

s A_n(w) holomorfní v |w| < 1.

Grunskyho nerovnosti s λ_n = wⁿ naznačují to

${ displaystyle sum _ {n geq 1} n | a_ {n} (w) | ^ {2} leq - log (1- | w | ^ {2}).}$

Na druhou stranu, pokud

${ displaystyle sum _ {m geq 0} b_ {m} t ^ {m} = exp sum _ {n geq 1} a_ {n} t ^ {n}}$

jako formální mocenské řady, pak první z Nerovnosti Lebedev – Milin (1965) to uvádí^[3][4]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} | b_ {n} | ^ {2} leq exp sum _ {n geq 1} n | a_ {n} | ^ {2}.}$

Rovnocennost stejně uvádí, že pokud G(z) je polynom s G(0) = 0, tedy

${ displaystyle {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} | e ^ {g} | ^ {2} , d theta leq e ^ {A},}$

kde A je oblast G(D),

Chcete-li dokázat nerovnost, všimněte si, že koeficienty jsou určeny rekurzivním vzorcem

${ displaystyle b_ {n} = {1 nad n} součet _ {m = 1} ^ {n} ma_ {m} b_ {n-m}}$

tak, že Cauchy – Schwarzova nerovnost

${ displaystyle | b_ {n} | ^ {2} leq {1 over n} sum m ^ {2} | a_ {m} | ^ {2} | b_ {n-m} | ^ {2}.}$

Množství C_n získané zavedením rovnosti zde:

${ displaystyle c_ {n} = {1 nad n} součet m ^ {2} | a_ {m} | ^ {2} c_ {n-m}}$

uspokojit ${ displaystyle | b_ {n} | ^ {2} leq c_ {n}}$ a tedy obrácení kroků,

${ displaystyle sum | b_ {n} | ^ {2} leq sum c_ {n} = exp sum _ {m geq 1} m | a_ {m} | ^ {2}.}$

Zejména definování b_n(w) podle totožnosti

${ displaystyle sum b_ {n} ( zeta ^ {- 1}) z ^ {- n} = exp sum a_ {m} ( zeta ^ {- 1}) z ^ {- m} = { g (z) -g ( zeta) nad z- zeta},}$

následující nerovnost musí platit pro |w| < 1

${ displaystyle sum _ {n geq 0} | b_ {n} (w) | ^ {2} leq (1- | w | ^ {2}) ^ {- 1}.}$

Beurlingova transformace

The Beurlingova transformace (nazývané také Beurling-Ahlforsova transformace a Hilbertova transformace v komplexní rovině) poskytuje jednu z nejpřímějších metod dokazování Grunských nerovností Bergman & Schiffer (1951) a Baranov a Hedenmalm (2008).

Beurlingova transformace je definována na L²(C) jako operace násobení pomocí ${ displaystyle z / { overline {z}}}$ na Fourierovy transformace. Definuje tak jednotného operátora. Lze jej také definovat přímo jako a integrální hodnota jistiny^[5]

${ displaystyle (Th) (w) = lim _ { varepsilon až 0} - {1 over pi} iint _ {| zw | geq varepsilon} {h (z) over (zw) ^ {2}} , dx , dy.}$

Pro jakoukoli ohraničenou otevřenou oblast Ω v C definuje ohraničený operátor T_Ω z konjugátu Bergmanův prostor Ω na Bergmanův prostor Ω: čtvercová integrovatelná holomorfní funkce je rozšířena na 0 off Ω, aby se vytvořila funkce v L²(C) ke kterému T je aplikován a výsledek omezen na Ω, kde je holomorfní. Li F je holomorfní univalentní mapa z disku jednotky D na Ω pak Bergmanův prostor Ω a jeho konjugát lze identifikovat s prostorem z D a T_Ω se stává jednotným integrálním operátorem s jádrem

${ displaystyle K_ {f} (z, w) = { frac {f '(z) f' (w)} {(f (z) -f (w)) ^ {2}}}.}$

Definuje a kontrakce. Na druhou stranu to lze zkontrolovat T_D = 0 výpočtem přímo na mocninách ${ displaystyle { overline {z}} ^ {n}}$ pomocí Stokesovy věty k přenosu integrálu na hranici.

Z toho vyplývá, že operátor s jádrem

${ displaystyle {f '(z) f' (w) nad (f (z) -f (w)) ^ {2}} - {1 nad (zw) ^ {2}} = { částečné ^ {2} nad částečné z částečné w} log {f (z) -f (w) nad zw} = - součet _ {m, n geq 1} mnc_ {mn} z ^ {m- 1} w ^ {n-1}}$

působí jako kontrakce na konjugát Bergmanova prostoru D. Proto, pokud

${ displaystyle p (z) = lambda _ {1} + lambda _ {2} { overline {z}} + lambda _ {3} { overline {z}} ^ {2} + cdots + lambda _ {N} { overline {z}} ^ {N-1},}$

pak

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ {N} vlevo | sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {n} vpravo | ^ {2} = | (T_ {f} -T_ {z}) p | ^ {2} = | T_ {f} p | ^ {2} leq | p | ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ {N} {1 nad n} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

Grunsky operátor a Fredholmův determinant

Pokud Ω je ohraničená doména v C s hladkou hranicí, operátor T_Ω lze považovat za omezenou antilineární smluvní operátor v Bergmanově prostoru H = A²(Ω). Je to dáno vzorcem

${ displaystyle (T _ { Omega} u) (z) = lim _ { varepsilon až 0} {1 over pi} iint _ {| zw | geq varepsilon} {{ overline {u (z)}} nad (zw) ^ {2}} , , dx , dy}$

pro u v Hilbertově prostoru H= A²(Ω). T_Ω se nazývá Grunsky operátor Ω (nebo F). Jeho realizace dne D pomocí univalentní funkce F mapování D na Ω a skutečnost, že T_D = 0 ukazuje, že je to dáno omezením jádra

${ displaystyle { frac {f '(z) f' (w)} {(f (z) -f (w)) ^ {2}}} - { frac {1} {(zw) ^ {2 }}},}$

a je tedy a Operátor Hilbert – Schmidt.

Antilineární operátor T = T_Ω uspokojuje vztah sebeurčení

${ displaystyle (Tu, v) = (Tv, u)}$

pro u, proti v H.

Tím pádem A = T² je kompaktní samonastavitelný lineární operátor H s

${ displaystyle (Au, u) = (Tu, Tu) = | Tu | ^ {2} geq 0,}$

aby A je pozitivní operátor. Spektrální věta pro kompaktní samoadjungující operátory má ortonormální základ u_n z H skládající se z vlastních vektorů A:

${ displaystyle Au_ {n} = mu _ {n} u_ {n},}$

kde μ_n není negativní podle pozitivity A. Proto

${ displaystyle mu _ {n} = lambda _ {n} ^ {2}}$

s λ_n ≥ 0. Od té doby T dojíždí s A, ponechává svůj vlastní prostor neměnný. Pozitivní vztah ukazuje, že působí triviálně na nulový vlastní prostor. Ostatní nenulové vlastní prostory jsou konečně-rozměrné a vzájemně kolmé. Na každém vlastním prostoru lze tedy zvolit ortonormální základ tak, aby:

${ displaystyle Tu_ {n} = lambda _ {n} u_ {n}.}$

(Všimněte si, že ${ displaystyle T (iu_ {n}) = - lambda _ {n} iu_ {n}}$ antilinearitou T.)

Nenulová λ_n (nebo někdy jejich reciproční) se nazývají Fredholmova vlastní čísla Ω:

${ displaystyle 0 leq lambda _ {n} leq | T | leq 1.}$

Pokud je Ω ohraničená doména, která není diskem, Ahlfors to ukázal

${ displaystyle | T _ { Omega} | <1.}$

The Fredholmský determinant pro doménu Ω je definována^[6][7]

${ displaystyle Delta _ { Omega} = det (I-T _ { Omega} ^ {2}) = prod (1- lambda _ {n} ^ {2}).}$

Všimněte si, že to dává smysl, protože A = T² je operátor trasovací třídy.

Schiffer & Hawley (1962) ukázal, že pokud ${ displaystyle 0 in Omega}$ a F opraví tedy 0^[8][9]

${ displaystyle Delta _ { Omega} = - { frac {1} {12 pi}} vlevo [ | částečný _ {z} log f ' | _ {D} ^ {2} + | částečné _ {z} log g ' | _ {D ^ {c}} ^ {2} -2 left | částečné _ {z} log { frac {f (z)} { z}} vpravo | _ {D} ^ {2} -2 vlevo | částečné _ {z} log { frac {g (z)} {z}} vpravo | _ {D ^ {c}} ^ {2} vpravo].}$

Zde jsou normy v Bergmanově prostoru D a jeho doplněk D^C a G je jednotná mapa z D^C na Ω^C upevnění ∞.

Podobný vzorec platí v případě dvojice univalentních funkcí (viz níže).

Singulární integrální operátory na uzavřené křivce

Nechť Ω je ohraničená jednoduše připojená doména C s hladkou hranicí C = ∂Ω. Existuje tedy jednotná holomorfní mapa F z disku jednotky D na Ω rozšiřující se na hladkou mapu mezi hranicemi S¹ a C.

Poznámky

Reference

• Ahlfors, Lars V. (1952), „Poznámky k Neumannově-Poincarého integrální rovnici“, Pacific J. Math., 2 (3): 271–280, doi:10.2140 / pjm.1952.2.271
• Ahlfors, Lars V. (1966), Přednášky o kvazikonformních mapováních, Van Nostrand
• Ahlfors, Lars V. (2010), Konformní invarianty. Témata v teorii geometrických funkcí. Dotisk originálu z roku 1973. S předmluvou Petera Durena, F. W. Gehringa a Brada Osgooda, AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-5270-5
• Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2009), Eliptické parciální diferenciální rovnice a kvazikonformní zobrazení v roviněPrincetonova matematická řada, 48, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-13777-3
• Baranov, A .; Hedenmalm, H. (2008), „Hraniční vlastnosti zelených funkcí v rovině“, Vévoda Math. J., 145: 1–24, arXiv:matematika / 0608493, doi:10.1215/00127094-2008-044
• Bell, S.R. (1992), Cauchyova transformace, teorie potenciálu a konformní mapování„Studium pokročilé matematiky, CRC Press, ISBN  978-0-8493-8270-3
• Bell, S.R. (2016), Cauchyova transformace, teorie potenciálu a konformní mapování„Studies in Advanced Mathematics (2. vyd.), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Bergman, S .; Schiffer, M. (1951), "Funkce jádra a konformní mapování", Compositio Mathematica, 8: 205–249
• Duren, P. L. (1983), Univalentní funkceGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90795-6
• Gakhov, F. D. (1990), Problémy s hraničními hodnotami. Dotisk překladu z roku 1966Publikace Dover, ISBN  978-0-486-66275-6
• Garnett, J. B. (2007), Ohraničené analytické funkce, Postgraduální texty z matematiky, 236Springer, ISBN  978-0-387-33621-3
• Goluzin, G. M. (1969), Geometrická teorie funkcí komplexní proměnnéPřeklady matematických monografií, 26, Americká matematická společnost
• Gong, Sheng (1999), Bieberbachova domněnka, AMS / IP Studies in Advanced Mathematics, 12Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0655-5
• Grinshpan, A. Z. (1999), „Bieberbachova domněnka a Milinovi funkcionáři“, Americký matematický měsíčník, 106 (3): 203–214, doi:10.2307/2589676, JSTOR  2589676, PAN  1682341
• Grinshpan, Arcadii Z. (2002), „Logarithmic Geometry, Exponentiation, and Coefficient Bound in the Theory of Univalent Functions and Nonoverlapping Domains“, v Kuhnau, Reiner (ed.), Teorie geometrických funkcíPříručka komplexní analýzy, svazek 1, Amsterdam: Severní Holandsko, str. 273–332, ISBN  978-0-444-82845-3, PAN  1966197, Zbl  1083.30017.
• Grunsky, Helmut (1939), „Koeffizientenbedingungen für schlicht abbildende meromorphe Funktionen“, Mathematische Zeitschrift, 45 (1): 29–61, doi:10.1007 / BF01580272, ISSN  0025-5874
• Grunsky, Helmut (1978), Přednášky o teorii funkcí ve více propojených doménách, Studia Mathematica, 4, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN  978-3-525-40142-2
• Hayman, W. K. (1994), „De Brangesova věta“, Multivalentní funkce„Cambridge Tracts in Mathematics“, 110 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  0521460263
• Khavinson, D .; Putinar, M .; Shapiro, H. S. (2007), „Poincarého variační problém v teorii potenciálu“, Oblouk. Příděl. Mech. Anální., 185 (1): 143–184, Bibcode:2007ArRMA.185..143K, CiteSeerX  10.1.1.569.7145, doi:10.1007 / s00205-006-0045-1
• Koepf, W. (2007), „Bieberbachova domněnka, funkce de Branges a Weinstein a nerovnost Askey-Gaspera“ (PDF), Deník Ramanujan, 13 (1–3): 103–129, doi:10.1007 / s11139-006-0244-2
• Milin, I. M. (1977), Univalentní funkce a ortonormální systémyPřeklady matematických monografií, 49, Americká matematická společnost
• Neretin, Y. A. (1996), Kategorie symetrií a nekonečně dimenzionálních skupinMonografie London Mathematical Society, 16, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-851186-1
• Nikolski, N. K. (2002), Operátoři, funkce a systémy: snadné čtení, sv. 1: Hardy, Hankel a ToeplitzMatematické průzkumy a monografie 92Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1083-5
• Pommerenke, C. (1975), Univalentní funkce s kapitolou o kvadratických diferenciálech od Gerda Jensena, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht
• Schiffer, M. (1948), „Faberovy polynomy v teorii univalentních funkcí“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 54: 503–517
• Schiffer, M. (1957), „Fredholmova vlastní čísla rovinných domén“, Pacific J. Math., 7 (2): 1187–1225, doi:10.2140 / pjm.1957.7.1187
• Schiffer, M. (1959), „Fredholmova vlastní čísla více propojených domén“, Pacific J. Math., 9: 211–269, doi:10.2140 / pjm.1959.9.211
• Schiffer, M .; Hawley, N. S. (1962), „Připojení a konformní mapování“, Acta Math., 107 (3–4): 175–274, doi:10.1007 / bf02545790
• Schiffer, M. (1981), „Fredholmova vlastní čísla a Grunského matice“, Ann. Polon. Matematika., 39: 149–164, doi:10,4064 / ap-39-1-149-164
• Schur, I. (1945), „On Faber polynomials“, Amer. J. Math., 67: 33–41
• Shapiro, H. S. (1992), Schwarzova funkce a její zobecnění do vyšších dimenzí, University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences, 9, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-57127-8
• Takhtajan, Leon A.; Teo, Lee-Peng (2006), „Weil – Peterssonova metrika o univerzálním Teichmüllerově prostoru“, Mem. Amer. Matematika. Soc., 183
• Widom, H. (1988), „O nerovnosti Osgooda, Phillipse a Sarnaka“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 102 (3): 773–774, doi:10.1090 / s0002-9939-1988-0929019-3