Grunskyova věta - Grunskys theorem - Wikipedia

v matematika, Grunského věta, kvůli německému matematikovi Helmut Grunsky, je výsledkem v komplexní analýza vztahující se k holomorfní univalentní funkce definované na jednotka disku v komplexní čísla. Věta říká, že univalentní funkce definovaná na disku jednotky, fixující bod 0, mapuje každý disk | z | < r na a hvězdná doména pro r ≤ tanh π / 4. Největší r pro které to platí, se nazývá poloměr hvězdnosti funkce.

Prohlášení

Nechat F být jednotnou holomorfní funkcí na disku jednotky D takhle F(0) = 0. Pak pro všechny r ≤ tanh π / 4, obraz disku | z | < r je hvězdný vzhledem k 0, tj. je invariantní při násobení reálnými čísly v (0,1).

Grunského nerovnost

Li F(z) je jednotné dne D s F(0) = 0, tedy

${ displaystyle left | log {zf ^ { prime} (z) over f (z)} right | leq log {1+ | z | nad 1 | z |}.}$

Vezmeme-li skutečnou a imaginární část logaritmu, znamená to dvě nerovnosti

${ displaystyle left | {zf ^ { prime} (z) nad f (z)} doprava | leq {1+ | z | nad 1 | z |}}$

a

${ displaystyle left | arg {zf ^ { prime} (z) over f (z)} right | leq log {1+ | z | nad 1 | z |}.}$

Pro pevné z, obou těchto rovností je dosaženo vhodným Funkce Koebe

${ displaystyle g_ {w} ( zeta) = { zeta over (1 - { overline {w}} zeta) ^ {2}},}$

kde | w | = 1.

Důkaz

Grunsky (1932) původně prokázal tyto nerovnosti na základě extremálních technik Ludwig Bieberbach. Následné důkazy uvedené v Goluzin (1939), spoléhal na Loewnerova rovnice. Další základní důkazy byly následně poskytnuty na základě Goluzinovy ​​nerovnosti, ekvivalentní forma Grunského nerovností (1939) pro Grunskyho matice.

Pro jednotnou funkci G v z > 1 s rozšířením

${ displaystyle g (z) = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots.}$

Goluzinova nerovnost to uvádí

${ displaystyle left | sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} lambda _ {i} lambda _ {j} log {g (z_ {i }) - g (z_ {j}) nad z_ {i} -z_ {j}} vpravo | leq sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n } lambda _ {i} { overline { lambda _ {j}}} log {z_ {i} { overline {z_ {j}}} over z_ {i} { overline {z_ {j} }} - 1},}$

Kde z_i jsou odlišné body s |z_i| > 1 a λ_i jsou libovolná komplexní čísla.

Brát n = 2. s λ₁ = - λ₂ = λ, znamená nerovnost

${ displaystyle left | log {g ^ { prime} ( zeta) g ^ { prime} ( eta) ( zeta - eta) ^ {2} over (g ( zeta) -g ( eta)) ^ {2}} doprava | leq log {| 1- zeta { overline { eta}} | ^ {2} over (| zeta | ^ {2} -1) (| eta | ^ {2} -1)}.}$

Li G je lichá funkce a η = - ζ, tím se získá

${ displaystyle left | log { zeta g ^ { prime} ( zeta) over g ( zeta)} right | leq {| zeta | ^ {2} +1 over | zeta | ^ {2} -1}.}$

Nakonec pokud F je libovolná normalizovaná univalentní funkce v D, požadovaná nerovnost pro F následuje braním

${ displaystyle g ( zeta) = f ( zeta ^ {- 2}) ^ {- {1 nad 2}}}$

s ${ displaystyle z = zeta ^ {- 2}.}$

Důkaz věty

Nechat F být univalentní funkcí na D s F(0) = 0. Podle Kritérium Nevanlinny, F je jako hvězda | z | < r kdyby a jen kdyby

${ displaystyle Re {zf ^ { prime} (z) nad f (z)} geq 0}$

pro | z | < r. Ekvivalentně

${ displaystyle left | arg {zf ^ { prime} (z) over f (z)} right | leq { pi over 2}.}$

Na druhou stranu nerovnost Grunského výše,

${ displaystyle left | arg {zf ^ { prime} (z) over f (z)} right | leq log {1+ | z | nad 1 | z |}.}$

Tedy pokud

${ displaystyle log {1+ | z | nad 1 | z |} leq { pi nad 2},}$

nerovnost se drží z. Tato podmínka je ekvivalentní k

${ displaystyle | z | leq tanh { pi nad 4}}$

a tudíž F je hvězdný na jakémkoli disku | z | < r s r ≤ tanh π / 4.

Reference

• Duren, P. L. (1983), Univalentní funkceGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, str. 95–98, ISBN  0-387-90795-5
• Goluzin, G.M. (1939), „Vnitřní problémy teorie univalentních funkcí“, Uspekhi Mat. Nauk, 6: 26–89 (v Rusku)
• Goluzin, G. M. (1969), Geometrická teorie funkcí komplexní proměnnéPřeklady matematických monografií, 26, Americká matematická společnost
• Goodman, A.W. (1983), Univalentní funkce, Já, Mariner Publishing Co., ISBN  0-936166-10-X
• Goodman, A.W. (1983), Univalentní funkce, II, Mariner Publishing Co., ISBN  0-936166-11-8
• Grunsky, H. (1932), „Neue Abschätzungen zur konformen Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Bereiche (inaugurační disertační práce)“, Schr. Matematika. Inst. U. Inst. Angew. Matematika. Univ. Berlín, 1: 95–140, archivovány od originál dne 11.02.2015, vyvoláno 2011-12-07 (v němčině)
• Grunsky, H. (1934), „Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung“, Jber. Deutsch. Math.-Verein., 43: 140–143 (v němčině)
• Hayman, W. K. (1994), Multivalentní funkce„Cambridge Tracts in Mathematics“, 110 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-46026-3
• Nevanlinna, R. (1921), „Über die konforme Abbildung von Sterngebieten“, Övers. Finska Vet. Soc. Forh., 53: 1–21
• Pommerenke, C. (1975), Univalentní funkce s kapitolou o kvadratických diferenciálech od Gerda Jensena, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht