Univalentní funkce - Univalent function

v matematika, v oboru komplexní analýza, a holomorfní funkce na otevřená podmnožina z složité letadlo je nazýván jednomocný Pokud to je injekční.^[1]

Příklady

Zvažte aplikaci ${ displaystyle phi _ {a}}$ mapování otevřeného prostoru jednotka disku sama sobě taková

${ displaystyle phi _ {a} (z) = { frac {z-a} {1 - { bar {a}} z}}.}$

To máme ${ displaystyle phi _ {a}}$ je univalentní, když ${ displaystyle | a | <1}$.

Základní vlastnosti

Dá se dokázat, že pokud ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle Omega}$ jsou dva otevřené připojeno množiny v komplexní rovině a

${ displaystyle f: G to Omega}$

je jednotná funkce taková, že ${ displaystyle f (G) = Omega}$ (to znamená, ${ displaystyle f}$ je surjektivní ), pak derivát ${ displaystyle f}$ není nikdy nula, ${ displaystyle f}$ je invertibilní a jeho inverzní ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ je také holomorfní. Více, jeden má řetězové pravidlo

${ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = { frac {1} {f' (z)}}}$

pro všechny ${ displaystyle z}$ v ${ displaystyle G.}$

Srovnání se skutečnými funkcemi

Pro nemovitý analytické funkce, na rozdíl od komplexních analytických (tj. holomorfních) funkcí, tyto příkazy selžou. Zvažte například funkci

${ Displaystyle f: (- 1,1) až (-1,1) ,}$

dána ƒ(X) = X³. Tato funkce je jasně injektivní, ale její derivace je 0 at X = 0 a jeho inverze není analytická nebo dokonce diferencovatelná v celém intervalu (−1, 1). Pokud tedy doménu zvětšíme na otevřenou podmnožinu G složité roviny musí být injektivní; a to je tento případ, protože (například) F(εω) = F(ε) (kde ω je a primitivní krychle kořen jednoty a ε je kladné reálné číslo menší než poloměr G jako sousedství 0).

Viz také

• Schlichtova funkce

Reference

Tento článek obsahuje materiál z univalentní analytické funkce PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.