Singulární integrální operátory na uzavřených křivkách - Singular integral operators on closed curves

v matematika, singulární integrální operátory na uzavřených křivkách vznikají v problémech v analýza, zejména komplexní analýza a harmonická analýza. Dva hlavní singulární integrální operátory, Hilbertovu transformaci a Cauchyovu transformaci, lze definovat pro jakoukoli hladkou Jordanovu křivku v komplexní rovině a souvisí s jednoduchým algebraickým vzorcem. Ve zvláštním případě Fourierova řada pro kruh jednotek se operátoři stávají klasickými Cauchyova transformace, ortogonální projekce na Hardy prostor a Hilbertova transformace skutečný ortogonální lineární komplexní struktura. Obecně platí, že Cauchyova transformace není vlastní adjoint idempotentní a Hilbertova transformace není ortogonální složitá struktura. Rozsah Cauchyho transformace je Hardyho prostor ohraničené oblasti uzavřený Jordanovou křivkou. Teorii pro původní křivku lze odvodit z teorie jednotkové kružnice, kde jsou kvůli rotační symetrii oba operátory klasické singulární integrální operátory konvolučního typu. Hilbertova transformace uspokojuje skokové vztahy Plemelje a Sokhotského, které vyjadřují původní funkci jako rozdíl mezi hraničními hodnotami holomorfních funkcí v oblasti a jejím doplňkem. Singulární integrální operátory byly studovány na různých třídách funkcí, včetně Hőlderových prostorů, L^p mezery a Sobolevovy mezery. V případě L² mezery - případ podrobně zpracovaný níže - další operátory spojené s uzavřenou křivkou, například Szegőova projekce do Hardyho prostoru a Operátor Neumann – Poincaré, lze vyjádřit pomocí Cauchyho transformace a jejího adjointu.

Operátoři na kruhu jednotky

Li F je v L²(T), pak má rozšíření Fourierovy řady^[1][2]

${ displaystyle displaystyle {f ( theta) = součet _ {n v { mathbf {Z}}} a_ {n} e ^ {v theta}.}}$

Hardy prostor H²(T) sestává z funkcí, pro které mizí záporné koeficienty, A_n = 0 pro n <0. Jedná se přesně o čtvercově integrovatelné funkce, které vznikají jako hraniční hodnoty holomorfních funkcí na disku jednotky |z| <1. Opravdu, F je hraniční hodnota funkce

${ displaystyle displaystyle {F (z) = součet _ {n geq 0} a_ {n} z ^ {n},}}$

v tom smyslu, že funkce

${ displaystyle displaystyle {f_ {r} ( theta) = F (re ^ {i theta})},}$

definované omezením F do soustředných kruhů |z| = r, uspokojit

${ displaystyle displaystyle { | f_ {r} -f | _ {2} rightarrow 0.}}$

Ortogonální projekce P z L.²(T) na H²(T) se nazývá Szegőova projekce. Je to omezený operátor na L²(T) s norma operátora 1.

Podle Cauchyho věty

${ displaystyle displaystyle {F (z) = {1 nad 2 pi i} int _ {| zeta | = 1} {f ( zeta) nad zeta -z} , d zeta = {1 přes 2 pi} int _ {- pi} ^ { pi} {f ( theta) přes 1-e ^ {- i theta} z} , d theta.}}$

Tím pádem

${ displaystyle displaystyle {F (re ^ {i varphi}) = {1 nad 2 pi} int _ {- pi} ^ { pi} {f ( varphi - theta) nad 1 -re ^ {i theta}} , d theta.}}$

Když r se rovná 1, integrand na pravé straně má singularitu na θ = 0. The zkrácená Hilbertova transformace je definováno

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f ( varphi) = {i over pi} int _ { varepsilon leq | theta | leq pi} {f ( varphi - theta ) over 1-e ^ {i theta}} , d theta = {1 over pi} int _ {| zeta -e ^ {i varphi} | geq delta} {f ( zeta) over zeta -e ^ {i varphi}} , d zeta,}}$

kde δ = | 1 - E^iε|. Protože je definována jako konvoluce s omezenou funkcí, je to omezený operátor na L²(T). Nyní

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} {1} = {i over pi} int _ { varepsilon} ^ { pi} 2 Re (1-e ^ {i theta}) ^ {-1} , d theta = {i over pi} int _ { varepsilon} ^ { pi} 1 , d theta = i- {i varepsilon over pi}.}}$

Li F je polynom v z pak

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f (z) - {i (1- varepsilon) over pi} f (z) = {1 over pi i} int _ {| zeta -z | geq delta} {f ( zeta) -f (z) nad zeta -z} , d zeta.}}$

Podle Cauchyho věty má pravá strana sklon k 0 rovnoměrně jako ε, a tedy δ, má sklon k 0. Takže

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow pokud}}$

rovnoměrně pro polynomy. Na druhou stranu, pokud u(z) = z je to okamžité

${ displaystyle displaystyle {{ overline {H ^ { varepsilon} f}} = - u ^ {- 1} H ^ { varepsilon} (u { overline {f}}).}}$

Tedy pokud F je polynom v z⁻¹ bez stálého funkčního období

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow -if}}$ jednotně.

Definujte Hilbertova transformace na kruhu od

${ displaystyle displaystyle {H = já (2P-I).}}$

Tedy pokud F je trigonometrický polynom

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow Hf}}$ jednotně.

Z toho vyplývá, že pokud F je jakýkoli L² funkce

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow Hf}}$ v L² norma.

To je důsledek výsledku pro trigonometrické polynomy, protože H_ε jsou rovnoměrně ohraničeny norma operátora: jejich Fourierovy koeficienty jsou skutečně jednotně ohraničené.

Z toho také vyplývá, že pro spojitou funkci F na kruhu, H_εF konverguje jednotně k Hf, tedy zejména bodově. Bodový limit je a Hodnota Cauchyho jistiny, psaný

${ displaystyle displaystyle {Hf = mathrm {PV} , {1 přes pi} int {f ( zeta) přes zeta -e ^ {i varphi}} , d zeta.} }$

Hilbertova transformace má přirozenou kompatibilitu s difeomorfismy kruhu zachovávajícími orientaci.^[3] Tedy pokud H je difeomorfismus kruhu s

${ displaystyle displaystyle {H (e ^ {i theta}) = e ^ {ih ( theta)}, , , , h ( theta +2 pi) = h ( theta) +2 pi,}}$

pak operátoři

${ displaystyle displaystyle {H_ {h} ^ { varepsilon} f (e ^ {i varphi}) = {1 over pi} int _ {| e ^ {ih ( theta)} - e ^ {ih ( varphi)} | geq varepsilon} {f (e ^ {i theta}) přes e ^ {i theta} -e ^ {i varphi}} e ^ {i theta } , d theta,}}$

jsou rovnoměrně ohraničené a mají tendenci v silné topologii operátora k H. Navíc pokud VF(z) = F(H(z)), pak VHV⁻¹ – H je operátor s hladkým jádrem, takže a Operátor Hilbert – Schmidt.

Odolné prostory

Hardyho prostor na jednotkové kružnici lze zobecnit na jakoukoli vícenásobně spojenou ohraničenou doménu Ω s hladkou hranicí ∂Ω. Hardyho prostor H²(∂Ω) lze definovat mnoha ekvivalentními způsoby. Nejjednodušší způsob, jak to definovat, je uzavření v L²(∂Ω) prostoru holomorfních funkcí na Ω, které se kontinuálně rozšiřují na hladké funkce při uzavření Ω. Tak jako Walsh ve výsledku, který byl předchůdcem Mergelyanova věta, jakoukoli holomorfní funkci na Ω, která se rozprostírá nepřetržitě až k uzávěru, lze aproximovat v jednotné normě racionální funkcí s póly v komplementární oblasti Ω^C. Pokud je Ω jednoduše připojeno, pak lze racionální funkci považovat za polynom. Na hranici existuje protějšek této věty, Hartogs – Rosenthal věta, který uvádí, že jakoukoli spojitou funkci ∂Ω lze aproximovat v jednotné normě racionálními funkcemi s póly v doplňku ∂Ω. Z toho vyplývá, že pro jednoduše připojenou doménu, když ∂Ω je jednoduchá uzavřená křivka, H²(∂Ω) je pouze uzavření polynomů; obecně se jedná o uzavření prostoru racionálních funkcí póly ležící mimo ∂Ω.^[4]

Na jednotkové kružnici L² funkce F s expanzí Fourierovy řady

${ displaystyle displaystyle {f (e ^ {i theta}) = součet a_ {n} e ^ {v theta}}}$

má jedinečné rozšíření harmonické funkce v jednotkovém disku dané Poissonovým integrálem

${ displaystyle displaystyle {f (re ^ {i theta}) = P_ {r} f (e ^ {i theta}) = součet a_ {n} r ^ {| n |} e ^ {v theta}.}}$

Zejména

${ displaystyle displaystyle { | P_ {r} f | ^ {2} = součet | a_ {n} | ^ {2} r ^ {2 | n |},}}$

aby se normy zvýšily na hodnotu v r = 1, norma F. Podobný doplněk disku jednotky, kde je harmonická přípona dána

${ displaystyle displaystyle {F_ {R} (e ^ {i theta}) = F (Re ^ {i theta}) = součet a_ {n} R ^ {- | n |} a_ {n} e ^ {in theta}.}}$

V tomto případě se normy zvyšují od hodnoty v R = ∞ podle normy F, hodnota na R = 1.

Podobný výsledek platí pro harmonickou funkci F na jednoduše spojené oblasti s hladkou hranicí za předpokladu, že L² normy jsou převzaty nad křivkami úrovně v trubicovém sousedství hranice.^[5] Použití vektorové notace proti(t) = (X(t), y(t)) pro parametrizaci hraniční křivky podle délky oblouku platí následující klasické vzorce:

${ displaystyle displaystyle {{ dot { mathbf {v}}} cdot { dot { mathbf {v}}} = 1, , , , { ddot { mathbf {v}}} cdot { dot { mathbf {v}}} = 0.}}$

Tedy jednotkový tangensový vektor t(t) na t a orientovaný normální vektor n(t) jsou dány

${ displaystyle displaystyle { mathbf {t} = { dot { mathbf {v}}}, , , , , , , mathbf {n} = (- { dot {y} }, { dot {x}}).}}$

Konstanta vztahující se k vektoru zrychlení k normálnímu vektoru je zakřivení křivky:

${ displaystyle displaystyle {{ ddot { mathbf {v}}} = kappa (t) , mathbf {n} (t), , , , , , kappa (t) = { ddot { mathbf {v}}} cdot mathbf {n} = { ddot {y}} { dot {x}} - { ddot {x}} { dot {y}}.} }$

Existují dva další vzorce Frenet:

${ displaystyle displaystyle {{ dot { mathbf {n}}} = - kappa mathbf {t}, , , , { ddot { mathbf {n}}} = { dot { kappa}} mathbf {n} - kappa ^ {2} mathbf {t}.}}$

Trubkovité okolí hranice je dáno vztahem

${ displaystyle displaystyle { mathbf {v} _ {s} (t) = mathbf {v} (t) + s mathbf {n} (t),}}$

tak, aby úrovňové křivky ∂Ω_s s s konstantní vázané domény Ω_s. navíc^[6]

${ displaystyle displaystyle {{ dot { mathbf {v}}} _ {s} (t) = (1-s kappa) mathbf {t}, , , , , částečné _ { s} | { dot { mathbf {v}}} _ {s} | = - kappa.}}$

Proto diferenciace integrálních prostředků s ohledem na s, derivace ve směru vnitřní ukazuje normální, dává

${ displaystyle displaystyle { částečné _ {s} int _ { částečné Omega _ {s}} | f | ^ {2} = - int _ { částečné Omega _ {s}} ( částečné _ {n} f { overline {f}} + f { overline { částečné _ {n} f}}) - int _ { částečné Omega _ {s}} kappa (1- kappa s ) ^ {- 1} | f | ^ {2} = - 2 iint _ { Omega _ {s}} | nabla f | ^ {2} - int _ { částečné Omega _ {s}} kappa (1- kappa s) ^ {- 1} | f | ^ {2},}}$

použitím Greenova věta. Tak pro s malý

${ displaystyle displaystyle { částečné _ {s} | f | _ { částečné Omega _ {s}} | ^ {2} leq M | f | _ { částečné Omega _ {s} } | ^ {2},}}$

pro nějakou konstantu M nezávislý na F. To z toho vyplývá

${ displaystyle displaystyle { částečné _ {s} e ^ {- Ms} | f | _ { částečné Omega _ {s}} | ^ {2} leq 0,}}$

takže při integraci této nerovnosti jsou normy ohraničeny blízko hranice:

${ displaystyle displaystyle { | f | _ { částečné Omega _ {s}} | leq e ^ {Ms / 2} | f | _ { částečné Omega} |.}}$

Tato nerovnost ukazuje, že funkce v L² Hardy prostor H²(Ω) vede přes Cauchyův integrální operátor C, na holomorfní funkci na Ω splňující klasickou podmínku, kterou integrál znamená

${ displaystyle displaystyle { int _ { částečné Omega _ {s}} | f | ^ {2}}}$

jsou ohraničené. Dále omezení F_s z F na ∂Ω_s, které lze přirozeně identifikovat s ∂Ω, mají tendenci k L² k původní funkci v Hardyho prostoru.^[7] Ve skutečnosti H²(Ω) byl definován jako uzávěr v L²(Ω) racionálních funkcí (které lze považovat za polynomy, pokud je Ω jednoduše spojeno). Jakákoli racionální funkce s póly pouze v Ω^C lze získat uvnitř Ω z jeho hraniční hodnoty G Cauchyho integrálním vzorcem

${ displaystyle displaystyle {Cg (a) = {1 nad 2 pi i} int _ { částečné Omega} {g (z) nad z-a} , dz.}}$

Odhady výše ukazují, že funkce Cg|_∂Ωs neustále záviset na Cg|_∂Ω. Kromě toho v tomto případě mají funkce tendenci rovnoměrně k hraniční hodnotě, a tedy také v L²pomocí přirozené identifikace prostorů L²(∂Ω_s) s L.²(∂Ω). Od té doby Ch lze definovat pro jakoukoli L² funguje jako holomorfní funkce na Ω od h je integrovatelný na ∂Ω. Od té doby h je limit v L² racionálních funkcí G, stejné výsledky platí pro h a Ch, se stejnými nerovnostmi pro integrální prostředky. Stejně dobře h je limit v L²(∂Ω) funkcí Ch|_∂Ωs.

Odhady výše pro integrální prostředky blízko hranice to ukazují Srov leží v L²(Ω) a že jeho L² normu lze omezit, pokud jde o F. Od té doby Srov je také holomorfní, leží v Bergmanův prostor A²(Ω) z Ω. Tedy Cauchyův integrální operátor C definuje přirozené mapování z Hardyho prostoru hranice do Bergmanova prostoru interiéru.^[8]

Hardyho prostor H²(Ω) má přirozeného partnera, jmenovitě uzavření v L²(∂Ω) hraničních hodnot racionálních funkcí mizející v ∞ s póly pouze v Ω. Označení tohoto podprostoru H²₊(∂Ω), aby se odlišil od původního Hardyho prostoru, který také označuje H²₋(∂Ω), lze použít stejnou argumentaci jako výše. Při použití na funkci h v H²₊(∂Ω), Cauchyův integrální operátor definuje holomorfní funkci F v Ω^C mizející v ∞ tak, že v blízkosti hranice omezení F ke křivkám úrovně, z nichž každá je označena hranicí, mají sklon v L² na h. Na rozdíl od případu kruhu, H²₋(∂Ω) a H²₊(∂Ω) nejsou ortogonální prostory. Podle Hartogsovy-Rosenthalovy věty je jejich součet v L hustý²(∂Ω). Jak je ukázáno níže, jedná se o ± i vlastní prostory Hilbertovy transformace na ∂Ω, takže jejich součet je ve skutečnosti přímý a celá L²(∂Ω).

Hilbertova transformace na uzavřené křivce

Pro ohraničenou jednoduše připojenou doménu Ω v komplexní rovině s hladkou hranicí ∂Ω lze teorii Hilbertovy transformace odvodit přímým porovnáním s Hilbertovou transformací pro kruh jednotek.^[9]

Definovat Hilbertovu transformaci H_∂Ω na L²(∂Ω), vezměte ∂Ω k parametrizaci pomocí arclength a tedy funkce z(t). Hilbertova transformace je definována jako limit v silná topologie operátora zkrácených operátorů H_∂Ω^ε definován

${ displaystyle displaystyle {H _ { částečné Omega} ^ { varepsilon} f (s) = {1 over pi i} int _ {| st | geq varepsilon} , , , , {f (t) nad z (t) -z (s)} , { dot {z}} (t) , dt.}}$

Chcete-li provést srovnání, bude vhodné použít změnu měřítka C takže délka ∂Ω je 2π. (Tím se výše uvedené operátory změní pouze o pevný kladný faktor.) Existuje tedy kanonický jednotný izomorfismus L²(∂Ω) na L²(T), takže lze tyto dva mezery identifikovat. Zkrácené operátory H_∂Ω^ε lze porovnat přímo se zkrácenou Hilbertovou transformacíH^ε:

${ displaystyle displaystyle {H _ { částečné Omega} ^ { varepsilon} g (s) -H ^ { varepsilon} g (s) = {1 over pi i} int _ {| ts | geq varepsilon} K (s, t) cdot g (t) , dt,}}$

kde

${ displaystyle displaystyle {K (u, v) = {{ dot {z}} (t) nad z (t) -z (s)} - {ie ^ {it} nad e ^ {it} -e ^ {is}} = částečný _ {t} log vlevo ({z (t) -z (s) přes e ^ {it} -e ^ {is}} vpravo).}}$

Jádro K. je tedy hladký T × T, takže výše uvedený rozdíl má tendenci v silné topologii k operátoru Hilbert – Schmidt definovanému jádrem. Z toho vyplývá, že zkrácené operátory H_∂Ω^ε jsou jednotně ohraničeny normou a mají limit v topologii silného operátoru H_∂Ω a zavolal Hilbertova transformace na ∂Ω.

${ displaystyle displaystyle {H _ { částečné Omega} g = lim _ { varepsilon rightarrow 0} H _ { částečné Omega} ^ { varepsilon} g.}}$

Nechání ε má tendenci k 0 nad výnosy

${ displaystyle displaystyle {H _ { částečné Omega} g (s) -Hg (s) = {1 nad pi i} int _ {0} ^ {2 pi} K (s, t) cdot g (t) , dt.}}$

Od té doby H je zešikmený a H_∂Ω se liší od H z toho vyplývá, že operátor Hilbert – Schmidt s hladkým jádrem H_∂Ω + H_∂Ω* je operátor Hilbert-Schmidt s hladkým jádrem. Jádro lze také explicitně vypočítat pomocí zkrácených Hilbertových transformací pro ∂Ω:

${ displaystyle displaystyle {C (s, t) = {1 nad pi i} vlevo ({{ dot {z}} (t) nad z (t) -z (s)} - {{ overline {{ dot {z}} (s)}} over { overline {z (t)}} - { overline {z (s)}}} right),}}$

a lze přímo ověřit, že se jedná o hladkou funkci T × T.^[10]

Vztah Plemelj – Sokhotski

Nechat C₋ a C₊ být Cauchyovy integrální operátory pro Ω a Ω^C. Pak

${ displaystyle displaystyle {C _ { pm} circ H = pm iC _ { pm}.}}$

Protože operátoři C₋, C₊ a H jsou ohraničené, stačí to zkontrolovat na racionálních funkcích F s póly vypnutými ∂Ω a mizejícími na ∞ Hartogs-Rosenthalovou větou. Racionální funkci lze zapsat jako součet funkcí F = F₋ + F₊ kde F₋ má póly pouze v Ω^C a F₊ má póly pouze v Let F, F_± být omezeními F, F_± na ∂Ω. Podle Cauchyho integrální vzorec

${ displaystyle displaystyle {C _ { pm} f _ { pm} = F _ { pm}, , , , C _ { pm} f _ { mp} = 0.}}$

Na druhou stranu je snadné to zkontrolovat^[11]

${ displaystyle displaystyle {Hf _ { pm} = pm, pokud _ { pm}.}}$

Podle Cauchyho věty od té doby F₋ je holomorfní v Ω,

${ displaystyle displaystyle { int _ { částečné Omega, , , | zw | geq varepsilon} {f _ {-} (z) nad zw} , dz = - int _ {| zw | = varepsilon, , , z in Omega} {F _ {-} (z) přes zw} , dz.}}$

Protože ε má sklon k 0, druhý integrál má sklon k πi F₋(w) podle zbytkový počet. Podobný argument platí i pro F₊, přičemž kruhový obrys vpravo uvnitř Ω^C.^[12]

Z toho plyne kontinuita H funguje jako násobení i na H²₋ a jako násobení -i na H²₊. Jelikož jsou tyto prostory uzavřené a jejich součet hustý, vyplývá z toho

${ displaystyle displaystyle {H ^ {2} = - já.}}$

Navíc, H²₋ a H²₊ musí být ±i vlastní prostory H, takže jejich součet je celá L²(∂Ω). The Vztah Plemelj – Sokhotski pro F v L.²(∂Ω) je vztah

${ displaystyle displaystyle {-iHf = C _ {-} f | _ { částečné Omega} -C _ {+} f | _ { částečné Omega}.}}$

Bylo ověřeno pro F v Hardyho prostorech H²_±(∂Ω), takže platí i pro jejich součet. The Cauchy idempotentní E je definováno

${ displaystyle displaystyle {H = já (2E-I).}}$

Rozsah E je tedy H²₋(∂Ω) a to Já − E je H²₊(∂Ω). Z výše uvedeného^[13]

${ displaystyle displaystyle {Ef = C _ {-} f | _ { částečné Omega}, , , , , (IE) f = C _ {+} f | _ { částečné Omega}.} }$

Operátoři na uzavřené křivce

Dva další operátory definované na uzavřené křivce ∂Ω lze vyjádřit pomocí Hilbertovy a Cauchyovy transformace H a E.^[14]

The Szegőova projekce P je definována jako ortogonální projekce na Hardyho prostor H²(∂Ω). Od té doby E je idempotent s rozsahem H²(∂Ω), P je dán Kerzman – Steinův vzorec:

${ displaystyle displaystyle {P = E (I + E-E ^ {*}) ^ {- 1}.}}$

Opravdu, protože E − E* je zkreslený, jeho spektrum je čistě imaginární, takže operátor Já + E − E* je invertibilní.^[15] Je to okamžité

${ displaystyle displaystyle {EP = P, , , , PE = E.}}$

Proto PE* = P. Tak

${ displaystyle displaystyle {P (I + E-E ^ {*}) = P + E-P = E.}}$

Protože provozovatel H + H* je Operátor Hilbert – Schmidt wirh smooth kernel, totéž platí pro E − E*.^[16]

Navíc pokud J je lineární operátor konjugátu komplexní konjugace a U operátor násobení jednotkovým tečným vektorem:

${ displaystyle displaystyle {Jf (t) = { overline {f (t)}}, , , , Uf (t) = { dot {z}} (t) cdot f (t). }}$

potom vzorec pro zkrácenou Hilbertovu transformaci na ∂Ω okamžitě získá následující identitu pro sousední

${ displaystyle displaystyle {(H ^ { varepsilon}) ^ {*} = JUH ^ { varepsilon} U ^ {*} J.}}$

Nechat ε inklinovat k 0, z toho vyplývá

${ displaystyle displaystyle {H ^ {*} = JUHU ^ {*} J}}$

a tudíž

${ displaystyle displaystyle {I-E ^ {*} = JUEU ^ {*} J.}}$

Srovnání s Hilbertovou transformací pro kruh ukazuje, že komutátory H a E s difeomorfismy kruhu jsou operátory Hilbert – Schmidt. Podobné jejich komutátory s operátorem násobení odpovídajícím hladké funkci F v kruhu jsou také operátoři Hilbert – Schmidt. Až do konstanty jádro komutátoru s H je dána funkcí smooth

${ displaystyle displaystyle {A (s, t) = {f (s) -f (t) nad z (s) -z (t)}.}}$

The Operátor Neumann – Poincaré T je definován na skutečných funkcích F tak jako

${ displaystyle displaystyle {Tf (w) = {1 nad 2 pi} int _ { částečné Omega} částečné _ {n} ( log | zw |) f (z) = {1 nad 2} Re (Hf) (w).}}$

Psaní h = F + ig,^[17]

${ displaystyle displaystyle {2Th = Re (Hf) + i Re (Hg) = {1 nad 2} (Hf + JHf + iHg + iJHg) = {1 nad 2} (H + JHJ) h} }$

aby

${ displaystyle displaystyle {T = {1 nad 4} (H + JHJ) = {1 nad 4} (H + UH ^ {*} U ^ {*}),}}$

operátor Hilbert – Schmidt.

Klasická definice Hardyho prostoru

Klasická definice Hardyho prostoru je jako prostor holomorfních funkcí F na Ω, pro které funkce F_s = F|_∂Ωs mají omezenou normu v L²(∂Ω). Argument založený na Věta o jádru Carathéodory ukazuje, že tato podmínka je splněna, kdykoli existuje skupina Jordanových křivek v Ω, případně obsahující jakoukoli kompaktní podmnožinu v jejich vnitřku, na které jsou integrální prostředky F jsou ohraničené.^[18]

Dokázat, že klasická definice Hardyho prostoru dává prostoru H²(∂Ω), vezměte F jak je uvedeno výše. Nějaká posloupnost h_n = F_sn slabě konverguje v L²(∂Ω) do h říci. Z toho vyplývá, že Ch = F v Ω. Ve skutečnosti, pokud C_n je Cauchyův integrální operátor odpovídající Ω_sn, pak^[19]

${ displaystyle displaystyle {Ch (a) -F (a) = Ch (a) -C_ {n} h_ {n} (a) = C (h-h_ {n}) (a) + [(C- C_ {n}) h_ {n}] (a).}}$

Protože první člen na pravé straně je definován párováním h − h_n s pevným L² funkce, má tendenci k nule. Li z_n(t) je komplexní číslo odpovídající proti_sn, pak

${ displaystyle displaystyle {[(C-C_ {n}) h_ {n}] (a) = {1 nad 2 pi i} int h_ {n} (t) left ({{ dot { z}} (t) nad z (t) -a} - {{ dot {z}} _ {n} (t) nad z_ {n} (t) -a} vpravo) , dt. }}$

Tento integrál má sklon k nule, protože L² normy h_n jsou rovnoměrně ohraničené, zatímco hranatý výraz v celočíselném řetězci má tendenci k 0 rovnoměrně, a tedy v L².

Tím pádem F = Ch. Na druhou stranu, pokud E je Cauchyův idempotent s rozsahem H²(∂Ω) C ∘ E = C. Proto F =Ch = C (Eh). Jak již bylo uvedeno F_s má sklony k Ch v L²(∂Ω). Ale subsekvence má tendenci slabě h. Proto Ch = h a proto jsou obě definice rovnocenné.^[20]

Zobecnění

Teorie pro vícenásobně spojené ohraničené domény s plynulým ohraničením snadno vyplývá z jednoduše připojeného případu.^[21] Existují analogie operátorů H, E a P. Na dané složce hranice singulární příspěvky k H a E pocházejí ze singulárního integrálu na této hraniční složce, takže technické části teorie jsou přímými důsledky jednoduše spojeného případu.

Singulární integrální operátory na prostorech Hölder kontinuální funkce jsou popsány v Gakhov (1992) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFGakhov1992 (Pomoc). Jejich akce na L^p a Sobolevovy prostory jsou diskutovány v Mikhlin & Prössdorf (1986).

Poznámky

Reference

• Bell, S.R. (1992), Cauchyova transformace, teorie potenciálu a konformní mapování„Studium pokročilé matematiky, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-X
• Bell, S.R. (2016), Cauchyova transformace, teorie potenciálu a konformní mapování, Studies in Advanced Mathematics (2. vyd.), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Conway, John B. (1995), Funkce jedné komplexní proměnné II, Postgraduální texty z matematiky, 159, Springer, str. 197, ISBN  0387944605
• Conway, John B. (2000), Kurz teorie operátorů, Postgraduální studium matematiky, 21, Americká matematická společnost, str. 175–176, ISBN  0821820656
• David, Guy (1984), „Opérateurs intégraux singuliers sur certaines courbes du plan complexe“, Ann. Sci. École Norm. Sup., 17: 157–189
• Duren, Peter L. (1970), Teorie H^p mezeryČistá a aplikovaná matematika, 38, Academic Press
• Gakhov, F. D. (1990), Problémy s hraničními hodnotami. Dotisk překladu z roku 1966Publikace Dover, ISBN  0-486-66275-6
• Gamelin, Theodore W. (2005), Jednotné algebry (2. vyd.), Americká matematická společnost, str. 46–47, ISBN  0821840495
• Garnett, J. B. (2007), Ohraničené analytické funkce, Postgraduální texty z matematiky, 236Springer, ISBN  978-0-387-33621-3
• Gohberg, Izrael; Krupnik, Naum (1992), Jednorozměrné lineární singulární integrální rovnice. I. Úvod, Teorie operátora: Pokroky a aplikace, 53, Birkhäuser, ISBN  3-7643-2584-4
• Goluzin, G. M. (1969), Geometrická teorie funkcí komplexní proměnnéPřeklady matematických monografií, 26, Americká matematická společnost
• Katznelson, Yitzhak (2004), Úvod do harmonické analýzy, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54359-0
• Kerzman, N .; Stein, E. M. (1978), „Cauchyovo jádro, jádro Szegö a Riemannova mapovací funkce“, Matematika. Ann., 236: 85–93, doi:10.1007 / bf01420257
• Muskhelishvili, N. I. (1992), Singulární integrální rovnice. Hraniční problémy teorie funkcí a jejich aplikace na matematickou fyzikuDover, ISBN  0-486-66893-2
• Mikhlin, Solomon G.; Prössdorf, Siegfried (1986), Singulární integrální operátory, Springer-Verlag, ISBN  3-540-15967-3
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Skupiny smyček, Oxford University Press, ISBN  0-19-853535-X
• Segal, Graeme (1981), „Jednotné reprezentace některých nekonečně dimenzionálních skupin“, Comm. Matematika. Phys., 80: 301–342, doi:10.1007 / bf01208274
• Shapiro, H. S. (1992), Schwarzova funkce a její zobecnění do vyšších dimenzí, University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences, 9, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-57127-X
• Torchinsky, Alberto (2004), Reálné proměnné metody v harmonické analýzeDover, ISBN  0-486-43508-3