Minkowská druhá věta - Minkowskis second theorem - Wikipedia

V matematice Minkowského druhá věta je výsledkem v geometrie čísel o hodnotách přijatých a norma na mřížce a objemu její základní buňky.

Nastavení

Nechat K. být Zavřeno konvexní centrálně symetrický tělo pozitivního konečného objemu v n-dimenzionální Euklidovský prostor ℝⁿ. The měřidlo^[1] nebo vzdálenost^[2][3] Minkowski funkční G připojený k K. je definováno

${ displaystyle g (x) = inf left { lambda in mathbb {R}: x in lambda K right }.}$

Naopak, vzhledem k normě G na ℝⁿ definujeme K. být

${ textstyle K = left {x in mathbb {R} ^ {n}: g (x) leq 1 right }.}$

Nechat Γ být mříž v ℝⁿ. The postupná minima z K. nebo G na Γ jsou definovány nastavením kpo sobě jdoucí minimum λ_k být infimum čísel λ takhle λK obsahuje k lineárně nezávislé vektory Γ. My máme 0 < λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λ_n < ∞.

Prohlášení

Postupná minima uspokojí^[4][5][6]

${ displaystyle { frac {2 ^ {n}} {n!}} operatorname {vol} left ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma right) leq lambda _ {1} lambda _ {2} cdots lambda _ {n} operatorname {vol} (K) leq 2 ^ {n} operatorname {vol} left ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma right ).}$

Důkaz

Základ lineárně nezávislých mřížových vektorů b₁ , b₂ , ... b_n lze definovat pomocí g (nar_j) = λ_j .

Dolní mez je prokázána zvážením konvexní polytop 2n s vrcholy v ± b_j/ λ_j, který má interiér ohraničený K. a svazek, který je 2ⁿ/ n! λ₁ λ₂... λ_n krát celočíselný násobek a primitivní buňka mřížky (jak je vidět při změně měřítka polytopu o λ_j podél každého základního vektoru získat 2ⁿ n-jednoduchosti s vektory mřížových bodů).

Chcete-li dokázat horní mez, zvažte funkce F_j(X) zasílání bodů X v ${ textstyle K}$ na těžiště podmnožiny bodů v ${ textstyle K}$ které lze zapsat jako ${ textstyle x + sum _ {i = 1} ^ {j-1} a_ {i} b_ {i}}$ pro některá reálná čísla ${ textstyle a_ {i}}$. Pak transformace souřadnic ${ textstyle x '= h (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} ( lambda _ {i} - lambda _ {i-1}) f_ {i} (x) / 2}$ má jakobiánský determinant ${ textstyle J = lambda _ {1} lambda _ {2} ldots lambda _ {n} / 2 ^ {n}}$. Li ${ textový styl}$ a ${ textstyle q}$ jsou v interiér z ${ textstyle K}$ a ${ textstyle p-q = součet _ {i = 1} ^ {k} a_ {i} b_ {i}}$(s ${ textstyle a_ {k} neq 0}$) pak ${ textstyle (h (p) -h (q)) = součet _ {i = 0} ^ {k} c_ {i} b_ {i} v lambda _ {k} K}$ s ${ textstyle c_ {k} = lambda _ {k} a_ {k} / 2}$ , kde zařazení do ${ textstyle lambda _ {k} K}$ (konkrétně interiér ${ textstyle lambda _ {k} K}$) je důsledkem konvexity a symetrie. Ale mřížové body ve vnitřku ${ textstyle lambda _ {k} K}$ jsou, podle definice ${ textstyle lambda _ {k}}$, vždy vyjádřitelný jako lineární kombinace ${ textstyle b_ {1}, b_ {2}, ldots b_ {k-1}}$, takže jakékoli dva odlišné body ${ textstyle K '= h (K) = lbrace x' | h (x) = x ' rbrace}$ nelze oddělit mřížkovým vektorem. Proto, ${ textstyle K '}$ musí být uzavřen v primitivní buňce mřížky (která má objem ${ textstyle { text {vol}} ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma)}$) , a následně ${ textstyle { text {vol}} (K) / J = { text {vol}} (K ') leq { text {vol}} ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma) }$.

Reference

• Cassels, J. W. S. (1957). Úvod do diofantické aproximace. Cambridge trakty v matematice a matematické fyzice. 45. Cambridge University Press. Zbl  0077.04801.
• Cassels, J. W. S. (1997). Úvod do geometrie čísel. Classics in Mathematics (dotisk z roku 1971 ed.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-61788-4.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teorie aditivních čísel: Inverzní problémy a geometrie součtů. Postgraduální texty z matematiky. 165. Springer-Verlag. str. 180–185. ISBN  0-387-94655-1. Zbl  0859.11003.
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine aproximace a Diophantine rovnice. Přednášky z matematiky. 1467 (2. vyd.). Springer-Verlag. str. 6. ISBN  3-540-54058-X. Zbl  0754.11020.
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Komaravolu S. Chandrasekharan (vyd.). Přednášky o geometrii čísel. Springer-Verlag. ISBN  3-540-50629-2. Zbl  0691.10021.