Cauchyho prostor - Cauchy space

v obecná topologie a analýza, a Cauchyho prostor je zobecněním metrické prostory a jednotné prostory pro které pojem Cauchyho konvergence stále dává smysl. Cauchyovy prostory představil H. H. Keller v roce 1968 jako axiomatický nástroj odvozený z myšlenky a Cauchyho filtr, abych mohl studovat úplnost v topologické prostory. The kategorie Cauchyho prostor a Cauchyovy spojité mapy je kartézský zavřený a obsahuje kategorii blízké prostory.

Cauchyho prostor je množina X a sbírka C z správný filtr v napájecí sada P(X) takové, že

1. pro každého X v X, ultrafiltr na X, U(X), je v C.
2. -li F je v C, G je správný filtr a F je podmnožinou G, pak G je v C.
3. -li F a G jsou v C a každý člen skupiny F protíná každého člena G, pak F ∩ G je v C.

Prvek C se nazývá a Cauchyho filtra mapa F mezi Cauchyho prostory (X, C) a (Y, D) je Cauchy kontinuální -li ${ displaystyle uparrow}$F(C) ⊆ D; tj. obraz každého Cauchyova filtru X je základna filtru Cauchy v Y.

Vlastnosti a definice

Jakýkoli Cauchyho prostor je také a konvergenční prostor, kde je filtr F konverguje k X -li F ∩ U(X) je Cauchy. Zejména Cauchyho prostor nese přirozené topologie.

Příklady

• Žádný jednotný prostor (tedy jakýkoli metrický prostor, topologický vektorový prostor nebo topologická skupina ) je Cauchyův prostor; vidět Cauchyho filtr pro definice.
• A mřížkově uspořádaná skupina nese přirozenou Cauchyovu strukturu.
• Žádný řízená sada A může být vytvořen do Cauchyho prostoru deklarováním filtru F být Cauchy, pokud dané žádné živel n z A, tady je prvek U z F takhle U je buď a jedináček nebo a podmnožina ocasu {m | m ≥ n}. Poté dostal další Cauchyho prostor X, Cauchy-spojité funkce z A na X jsou stejné jako Cauchyovy sítě v X indexováno podle A. Li X je kompletní, pak může být taková funkce rozšířena až do dokončení A, které mohou být psány A ∪ {∞}; hodnota rozšíření na ∞ bude limitem sítě. V případě, že A je množina {1, 2, 3,…} z přirozená čísla (tak, aby Cauchyova síť indexována o A je stejný jako a Cauchyova posloupnost ), pak A přijímá stejnou Cauchyovu strukturu jako metrický prostor {1, 1/2, 1/3,…}.

Kategorie Cauchyových prostorů

Přirozená představa morfismus mezi Cauchyovými prostory je to a Cauchyova spojitá funkce, koncept, který byl dříve studován pro jednotné prostory.

Reference

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Třídy funkcí Cauchyho spojitých map. Dekker, New York, 1989.