Vzorec Darbouxs - Darbouxs formula - Wikipedia
v matematická analýza, Darbouxův vzorec je vzorec zavedený Gaston Darboux (1876 ) pro sčítání nekonečná řada používáním integrály nebo vyhodnocování integrálů pomocí nekonečných řad. Je to zobecnění na složité letadlo z Souhrnný vzorec Euler – Maclaurin, který se používá pro podobné účely a odvozuje se podobným způsobem (opakováním integrace po částech konkrétní volby integrand ). Darbouxův vzorec lze také použít k odvození Taylor série z počet.
Prohlášení
Li φ(t) je polynom stupně n a F analytická funkce
![{ displaystyle { begin {aligned} & sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} (za) ^ {m} left [ varphi ^ {(nm)} (1 ) f ^ {(m)} (z) - varphi ^ {(nm)} (0) f ^ {(m)} (a) vpravo] = {} & (- 1) ^ {n} (za) ^ {n + 1} int _ {0} ^ {1} varphi (t) f ^ {(n + 1)} left [a + t (za) right] , dt. konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f04ed7553d043805c21d03f660dc6425c34886c)
Vzorec lze dokázat opakováním integrace po částech.
Speciální případy
Brát φ být a Bernoulliho polynom ve vzorci Darboux dává Souhrnný vzorec Euler – Maclaurin. Brát φ být (t − 1)n dává vzorec pro a Taylor série.
Reference
- Darboux (1876), „Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 3 (II): 291–312
- Whittaker, E. T. a Watson, G. N. „Vzorec založený na Darboux.“ §7.1 v Kurz moderní analýzy, 4. vyd. Cambridge, Anglie: Cambridge University Press, str. 125, 1990. [1]