Analýza chyb (matematika) - Error analysis (mathematics)

V matematice analýza chyb je studium druhu a množství chyba nebo nejistota, která může být přítomna v řešení problému. Tato otázka je obzvláště prominentní v aplikovaných oblastech, jako je numerická analýza a statistika.

Analýza chyb v numerickém modelování

V numerické simulaci nebo modelování reálných systémů se analýza chyb zabývá změnami ve výstupu modelu jako parametrů modelu lišit se o a znamenat.

Například v systému modelovaném jako funkce dvou proměnných ${ displaystyle scriptstyle z , = , f (x, y)}$ . Analýza chyb se zabývá šířením číselné chyby v ${ displaystyle scriptstyle x}$ a ${ displaystyle scriptstyle y}$ (kolem průměrných hodnot ${ displaystyle scriptstyle { bar {x}}}$ a ${ displaystyle scriptstyle { bar {y}}}$ ) k chybě v ${ displaystyle scriptstyle z}$ (asi průměr ${ displaystyle scriptstyle { bar {z}}}$ ).^[1]

V numerické analýze zahrnuje chybová analýza obojí dopředná analýza chyb a zpětná analýza chyb.

Analýza chyb dopředu

Analýza dopředných chyb zahrnuje analýzu funkce ${ displaystyle scriptstyle z '= f' (a_ {0}, , a_ {1}, , tečky, , a_ {n})}$ což je aproximace (obvykle konečný polynom) funkce ${ displaystyle scriptstyle z , = , f (a_ {0}, a_ {1}, tečky, a_ {n})}$ určit hranice chyby v aproximaci; tj. najít ${ displaystyle scriptstyle epsilon}$ takhle ${ displaystyle scriptstyle 0 , leq , | z-z '| , leq , epsilon}$ . Vyhodnocení dopředných chyb je požadováno v ověřené číselné údaje.^[2]

Zpětná analýza chyb

Zpětná analýza chyb zahrnuje analýzu aproximační funkce ${ displaystyle scriptstyle z ', = , f' (a_ {0}, , a_ {1}, , tečky, , a_ {n})}$ , k určení hranic parametrů ${ displaystyle scriptstyle a_ {i} , = , { bar {a_ {i}}} , pm , epsilon _ {i}}$ takový, že výsledek ${ displaystyle scriptstyle z ', = , z}$ .^[3]

Zpětná analýza chyb, jejíž teorie byla vyvinuta a popularizována James H. Wilkinson, lze použít k určení, že algoritmus implementující numerickou funkci je numericky stabilní.^[4] Základním přístupem je ukázat, že ačkoli vypočítaný výsledek nebude kvůli chybám zaokrouhlení přesně správný, jedná se o přesné řešení blízkého problému s mírně narušenými vstupními daty. Pokud je požadovaná odchylka malá, v řádu nejistoty ve vstupních datech, pak jsou výsledky v jistém smyslu tak přesné, jak si data „zaslouží“. Algoritmus je poté definován jako dozadu stabilní. Stabilita je míra citlivosti daného numerického postupu na chyby zaokrouhlování; naopak číslo podmínky funkce pro daný problém označuje inherentní citlivost funkce na malé poruchy ve svém vstupu a je nezávislá na implementaci použité k řešení problému.^[5]

Aplikace

Globální Polohovací Systém

The analýza chyb vypočítaná pomocí Globální Polohovací Systém je důležité pro pochopení toho, jak funguje GPS, a pro znalost, jaké chyby velikosti lze očekávat. Globální poziční systém opravuje chyby hodin přijímače a další efekty, ale stále existují zbytkové chyby, které nejsou opraveny. Globální poziční systém (GPS) byl vytvořen Ministerstvem obrany USA (DOD) v 70. letech. Stal se široce používán pro navigaci jak americkou armádou, tak širokou veřejností.

Simulace molekulární dynamiky

v molekulární dynamika (MD) simulace, existují chyby způsobené nedostatečným vzorkováním fázového prostoru nebo zřídka se vyskytujícími událostmi, které vedou ke statistické chybě v důsledku náhodného kolísání měření.

Pro sérii M měření fluktuující vlastnosti A, střední hodnota je:

{ displaystyle langle A rangle = { frac {1} {M}} sum _ { mu = 1} ^ {M} A _ { mu}.}

Když tyto M měření jsou nezávislá, rozptyl průměru <A> je:

{ displaystyle sigma ^ {2} ( langle A rangle) = { frac {1} {M}} sigma ^ {2} (A),}

ale ve většině simulací MD existuje korelace mezi kvantitou A v různé době, takže rozptyl průměru <A> bude podhodnocen, protože efektivní počet nezávislých měření je ve skutečnosti menší než M. V takových situacích přepíšeme rozptyl takto:

{ displaystyle sigma ^ {2} ( langle A rangle) = { frac {1} {M}} sigma ^ {2} A left [1 + 2 sum _ { mu} left ( 1 - { frac { mu} {M}} vpravo) phi _ { mu} vpravo],}

kde ${ displaystyle phi _ { mu}}$ je funkce autokorelace definován

{ displaystyle phi _ { mu} = { frac { langle A _ { mu} A_ {0} rangle - langle A rangle ^ {2}} { langle A ^ {2} rangle - langle A rangle ^ {2}}}.}

Potom můžeme použít funkci automatické korelace k odhadu chybová lišta. Naštěstí máme mnohem jednodušší metodu založenou na průměrování bloku.^[6]

Ověření vědeckých údajů

Měření mají obvykle malou míru chyb a opakovaná měření stejné položky obecně povedou k mírným rozdílům ve čtení. Tyto rozdíly lze analyzovat a sledovat určité známé matematické a statistické vlastnosti. Pokud se zdá, že soubor údajů je příliš věrný hypotéze, tj. Neobjeví se množství chyb, které by za normálních okolností byly v takových měřeních, lze vyvodit závěr, že data mohla být zfalšována. Samotná analýza chyb obvykle nestačí k prokázání, že údaje byly zfalšovány nebo vytvořeny, ale může poskytnout podpůrné důkazy nezbytné k potvrzení podezření ze zneužití.

Viz také

Reference

^ James W. Haefner (1996). Modelování biologických systémů: principy a aplikace. Springer. 186–189. ISBN 0412042010.
^ Tucker, W. (2011). Validovaná numerika: krátký úvod do pečlivých výpočtů. Princeton University Press.
^ Francis J. Scheid (1988). Schaumův náčrt teorie a problémů numerické analýzy. McGraw-Hill Professional. str.11. ISBN 0070552215.
^ James H. Wilkinson; Anthony Ralston (vyd.); Edwin D. Reilly (ed); David Hemmendinger (vyd.) (8. září 2003). „Analýza chyb“ v Encyclopedia of Computer Science. 669–674. Wiley. ISBN 978-0-470-86412-8. Citováno 14. května 2013.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)
^ Bo Einarsson (2005). Přesnost a spolehlivost vědeckých výpočtů. SIAM. str. 50–. ISBN 978-0-89871-815-7. Citováno 14. května 2013.
^ D. C. Rapaport, Umění simulace molekulární dynamiky, Cambridge University Press.

externí odkazy

[1] Vše o analýze chyb.

[1] James W. Haefner (1996). Modelování biologických systémů: principy a aplikace. Springer. 186–189. ISBN 0412042010.

[2] Tucker, W. (2011). Validovaná numerika: krátký úvod do pečlivých výpočtů. Princeton University Press.

[3] Francis J. Scheid (1988). Schaumův náčrt teorie a problémů numerické analýzy. McGraw-Hill Professional. str.11. ISBN 0070552215.

[RalstonReilly2003-4] James H. Wilkinson; Anthony Ralston (vyd.); Edwin D. Reilly (ed); David Hemmendinger (vyd.) (8. září 2003). „Analýza chyb“ v Encyclopedia of Computer Science. 669–674. Wiley. ISBN 978-0-470-86412-8. Citováno 14. května 2013.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)

[Einarsson2005-5] Bo Einarsson (2005). Přesnost a spolehlivost vědeckých výpočtů. SIAM. str. 50–. ISBN 978-0-89871-815-7. Citováno 14. května 2013.

[6] D. C. Rapaport, Umění simulace molekulární dynamiky, Cambridge University Press.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]