Equidissection - Equidissection
v geometrie, an ekvidisekce je rozdělit a polygon do trojúhelníky stejného plocha. Studie ekvidisekcí začala na konci 60. let 20. století Monskyho věta, který uvádí, že a náměstí nelze rozdělit na lichý počet trojúhelníků.[1] Ve skutečnosti, většina polygony nelze vůbec stejně rozložit.[2]
Hodně z literatury je zaměřeno na zobecnění Monskyho věty na širší třídy polygonů. Obecná otázka zní: Které polygony lze rozdělit do stejných kusů? Zvláštní pozornost byla věnována lichoběžníky, draci, pravidelné mnohoúhelníky, centrálně symetrické polygony, polyominos, a hyperkrychle.[3]
Equidissections nemají mnoho přímých aplikací.[4] Jsou považovány za zajímavé, protože výsledky jsou zpočátku neintuitivní a pro geometrický problém s tak jednoduchou definicí vyžaduje teorie několik překvapivě sofistikovaných algebraických nástrojů. Mnoho výsledků závisí na rozšíření p-adické ocenění do reálná čísla a prodlužování Spernerovo lemma obecněji barevné grafy.[5]
Přehled
Definice
A pitva mnohoúhelníku P je konečná sada trojúhelníků, které se nepřekrývají a jejichž sjednocení je vše P. Pitva do n trojúhelníky se nazývá n- pitva a je klasifikována jako dokonce pitva nebo zvláštní pitva podle toho, zda n je sudý nebo lichý.[5]
An ekvidisekce je pitva, ve které má každý trojúhelník stejnou oblast. Pro mnohoúhelník Psoubor všech n pro které n-equidissection of P existuje se nazývá spektrum z P a označil S(P). Obecným teoretickým cílem je spočítat spektrum daného polygonu.[6]
Je nazývána pitva zjednodušený pokud se trojúhelníky setkávají pouze podél společných hran. Někteří autoři omezují svou pozornost na jednoduché pitvy, zejména v sekundární literatuře, protože se s nimi pracuje snáze. Například obvyklé tvrzení o Spernerově lematu platí pouze pro jednoduché pitvy. Často se nazývají zjednodušené pitvy triangulace, ačkoli vrcholy trojúhelníků nejsou omezeny na vrcholy nebo hrany mnohoúhelníku. Proto se také nazývají jednoduché ekvidissekce Rovnoměrné triangulace.[7]
Výrazy lze rozšířit na vyšší dimenzi polytopes: je nastavena ekvidisekce simplexes mít stejné n-objem.[8]
Předkola
Je snadné najít n-equidissection trojúhelníku pro všechny n. Výsledkem je, že pokud polygon má m-equidissection, pak to má také mn-tekutina pro všechny n. Ve skutečnosti se polygonové spektrum často skládá právě z násobků nějakého čísla m; v tomto případě se volá spektrum i polygon ředitel školy a spektrum je označeno .[2] Například spektrum trojúhelníku je . Jednoduchým příkladem ne-hlavního polygonu je čtyřúhelník s vrcholy (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); jeho spektrum zahrnuje 2 a 3, ale ne 1.[9]
Afinní transformace roviny jsou užitečné pro studium ekvidisekcí, včetně překlady jednotné a nejednotné škálování, odrazy, rotace, nůžky, a další podobnosti a lineární mapy. Protože afinní transformace zachovává rovné čáry a poměry oblastí, odesílá ekvidissekce do ekvidisekcí. To znamená, že člověk může libovolně použít jakoukoli afinní transformaci na mnohoúhelník, který mu může dát lépe zvládnutelnou formu. Například je běžné zvolit souřadnice tak, aby tři vrcholy mnohoúhelníku byly (0, 1), (0, 0) a (1, 0).[10]
Skutečnost, že afinní transformace zachovávají stejné rozdělení, také znamená, že určité výsledky lze snadno zobecnit. Všechny výsledky uvedené pro běžný mnohoúhelník platí také pro afinní pravidelné polygony; výsledky týkající se jednotkového čtverce platí zejména pro další rovnoběžníky, včetně obdélníky a kosočtverce. Všechny výsledky jsou uvedeny pro polygony s celé číslo souřadnice platí také pro polygony s Racionální souřadnice nebo polygony, jejichž vrcholy padají na jiné mříž.[11]
Nejlepší výsledky
Monskyho věta uvádí, že čtverec nemá žádné liché stejné rozdělení, takže jeho spektrum je .[1] Obecněji je známo, že centrálně symetrický mnohoúhelníky a polyominos nemají žádné zvláštní ekvidekce.[12] Domněnka od Sherman K. Stein navrhuje, aby č speciální mnohoúhelník má lichou ekvidisekci, kde speciální polygon je ten, jehož třídy ekvivalence z paralelní okraje každý součet k nulový vektor. Čtverce, centrálně symetrické polygony, polyominos, a polyhexy jsou všechny speciální polygony.[13]
Pro n > 4, spektrum pravidelného n-gon je .[14] Pro n > 1, spektrum an n-dimenzionální kostka je , kde n! je faktoriál z n.[15] a spektrum an n-dimenzionální křížový mnohostěn je . Následuje druhé mutatis mutandis z důkazu pro osmistěn v [2]
Nechat T(A) být a lichoběžník kde A je poměr délek paralelních stran. Li A je racionální číslo, pak T(A) je jistina. Ve skutečnosti, pokud r/s je tedy zlomek v nejnižším vyjádření .[16] Obecněji vše konvexní polygony s racionálními souřadnicemi lze ekvidisekovat,[17] i když ne všechny jsou hlavní; viz výše uvedený příklad draka s vrcholem v (3/2, 3/2).
Na druhém konci, pokud A je transcendentní číslo, pak T(A) nemá ekvidisekci. Obecněji řečeno, žádný polygon, jehož vrcholné souřadnice jsou algebraicky nezávislý má ekvidisekci.[18] Tohle znamená tamto téměř všechny polygony s více než třemi stranami nelze stejně rozložit. Ačkoli většinu polygonů nelze rozřezat na trojúhelníky o stejné ploše, všechny polygony lze rozřezat na čtyřboké plošky o stejné ploše.[19]
Li A je algebraický iracionální číslo, pak T(A) je složitější případ. Li A je algebraický stupeň 2 nebo 3 (kvadratický nebo kubický) a jeho konjugáty všichni mají pozitivní skutečné části, pak S(T(A)) obsahuje všechny dostatečně velké n takhle n/(1 + A) je algebraické celé číslo.[20] Předpokládá se, že podobný stav zahrnuje stabilní polynomy může určit, zda je spektrum prázdné pro algebraická čísla A všech stupňů.[21]
Dějiny
Myšlenka ekvidisekce se jeví jako druh elementárního geometrického konceptu, který by měl být docela starý. Aigner & Ziegler (2010) poznámka Monskyho věty, „dalo se tušit, že odpověď musí být jistě známa již dlouho (ne-li pro Řeky).“[22] Studium ekvidisekcí však začalo až v roce 1965, kdy Fred Richman připravoval a magisterský titul zkouška v Státní univerzita v Novém Mexiku.
Monskyho věta
Richman chtěl do zkoušky zahrnout otázku týkající se geometrie a všiml si, že je obtížné najít (nyní se tomu říká) podivnou ekvidisekci čtverce. Richman sám sobě dokázal, že je nemožné pro 3 nebo 5, že existence n-equidissection znamená existenci (n + 2)-disekce a že určité čtyřúhelníky libovolně blízké čtvercům mají lichá stejná rozdělení.[23] Obecný problém lichých stejných řezů čtverců však nevyřešil a zkoušku nechal. Richmanův přítel John Thomas se o problém začal zajímat; v jeho vzpomínce,
- „Každý, komu byl problém předložen (včetně mě), řekl něco jako„ to není moje oblast, ale otázka určitě musela být zvážena a odpověď je pravděpodobně dobře známá “. Někteří si mysleli, že to viděli, ale nepamatovali si kde. Zajímalo mě to, protože mi to připomínalo Spernerova lemma v topologie, který má chytrý lichý-sudý důkaz. “[24]
Thomas dokázal, že lichá ekvidisekce je nemožná, pokud jsou souřadnice vrcholů racionální čísla s lichými jmenovateli. Tento důkaz předložil Matematický časopis, ale bylo přidrženo:
- „Reakce rozhodčího byla předvídatelná. Myslel si, že problém může být docela snadný (i když to nedokázal vyřešit) a byl možná dobře známý (i když na něj nenašel žádný odkaz).“[25]
Otázka byla místo toho uvedena jako pokročilý problém v Americký matematický měsíčník (Richman & Thomas 1967 ). Když nikdo jiný nepředložil řešení, byl důkaz zveřejněn v Matematický časopis (Thomas 1968 ), tři roky poté, co byla napsána. Monsky (1970) pak stavěl na Thomasově argumentu, aby dokázal, že neexistují žádné zvláštní ekvidissekce čtverce, bez jakýchkoli racionálních předpokladů.[25]
Monskyho důkaz se opírá o dva pilíře: a kombinační výsledek, který zobecňuje Spernerovo lemma a an algebraický výsledek, existence a 2-adic ocenění na reálných číslech. Chytrý zbarvení roviny pak znamená, že ve všech disekcích čtverce má alespoň jeden trojúhelník plochu, která se rovná sudému jmenovateli, a proto musí být všechny ekvidisekce sudé. Podstata argumentu se nachází již v Thomas (1968), ale Monsky (1970) jako první použil 2-adické ocenění k pokrytí disekcí libovolnými souřadnicemi.[26]
Zobecnění
První zobecnění Monskyho věty bylo Medovina (1979), který dokázal, že spektrum an n-rozměrná kostka je . Důkaz je znovu navštíven Bekker & Netsvetaev (1998).
Zobecnění na pravidelné polygony dorazilo v roce 1985, během semináře o geometrii, který vedl G. D. Chakerian v UC Davis. Elaine Kasimatis, postgraduální studentka, „hledala nějaké algebraické téma, do kterého by mohla vklouznout“, seminář.[6] Sherman Stein navrhl pitvy náměstí a krychle: „téma, které Chakerian neochotně připustil, bylo geometrické.“[6] Po jejím proslovu se Stein zeptala na pravidelné pětiúhelníky. Kasimatis odpověděl Kasimatis (1989), což dokazuje, že pro n > 5, spektrum pravidelného n-gon je . Její důkaz navazuje na Monskyho důkaz a rozšiřuje p-adické ocenění ke komplexním číslům pro každého hlavního dělitele n a uplatnění některých elementárních výsledků z teorie cyklotomická pole. Je to také první důkaz explicitního použití afinní transformace k nastavení pohodlného souřadnicového systému.[27] Kasimatis & Stein (1990) poté formuloval problém nalezení spektra obecného polygonu a zavedl termíny spektrum a ředitel školy.[6] Dokázali, že téměř u všech polygonů chybí ekvidisekce a že ne všechny polygony jsou hlavní.[2]
Kasimatis & Stein (1990) zahájil studium spekter dvou zvláštních zobecnění čtverců: lichoběžníků a draků. Lichoběžníky byly dále studovány Jepsen (1996), Monsky (1996), a Jepsen & Monsky (2008). Draci byly dále studovány Jepsen, Sedberry & Hoyer (2009). Obecné čtyřúhelníky byly studovány v Su & Ding (2003). Bylo publikováno několik článků Normální univerzita v Hebei, hlavně profesorem Dingem Renem a jeho studenty Du Yatao a Su Zhanjun.[28]
Pokus o zobecnění výsledků pro pravidelné n-gony pro rovnoměrné n, Stein (1989) domníval se, že žádný centrálně symetrický polygon nemá zvláštní ekvidisekci, a dokázal n = 6 a n = 8 případů. Plnou domněnku prokázal Monsky (1990). O deset let později udělal Stein to, co popisuje jako „překvapivý průlom“, přičemž se domníval, že žádný polyomino nemá zvláštní ekvidisekci. Dokázal výsledek polyomina s lichým počtem čtverců Stein (1999). Plná domněnka byla prokázána, když Praton (2002) ošetřil sudý případ.
Téma stejných řezů bylo v poslední době popularizováno léčbou v Matematický zpravodaj (Stein 2004 ), objem Matematické monografie Carus (Stein & Szabó 2008 ) a čtvrté vydání Důkazy z KNIHY (Aigner & Ziegler 2010 ).
Související problémy
Sakai, Nara a Urrutia (2005) zvažte variantu problému: Vzhledem k konvexnímu polygonu K., kolik jeho plochy lze pokrýt n nepřekrývající se trojúhelníky o stejné ploše uvnitř K.? Poměr oblasti nejlepšího možného pokrytí k ploše K. je označen tn(K.). Li K. má n- tedy tekutá pitva tn(K.) = 1; jinak je menší než 1. Autoři ukazují, že pro čtyřúhelník K., tn(K.) ≥ 4n/(4n + 1), s t2(K.) = 8/9 právě tehdy K. je afinně shodný s lichoběžníkem T(2/3). Pro pětiúhelník t2(K.) ≥ 2/3, t3(K.) ≥ 3/4 a tn(K.) ≥ 2n/(2n + 1) pro n ≥ 5.
Günter M. Ziegler zeptal se konverzního problému v roce 2003: Vzhledem k pitvě celého polygonu do n trojúhelníky, jak blízko se mohou rovnat oblasti trojúhelníků? Zejména, jaký je nejmenší možný rozdíl mezi oblastmi nejmenšího a největšího trojúhelníku? Nechť je nejmenší rozdíl M(n) pro čtverec a M(A, n) pro lichoběžník T(A). Pak M(n) je 0 pro sudé n a větší než 0 pro liché n. Mansow (2003) dal asymptotickou horní hranici M(n) = O (1 /n2) (viz Velká O notace ).[29] Schulze (2011) zlepšuje vázané na M(n) = O (1 /n3) s lepší pitvou a dokazuje, že existují hodnoty A pro který M(A, n) klesá libovolně rychle. Labbé, Rote & Ziegler (2018) získat superpolynomiální horní mez odvozenou z explicitní konstrukce, která používá Sekvence Thue – Morse.
Reference
- ^ A b Monsky 1970.
- ^ A b C d Kasimatis & Stein 1990.
- ^ Stein 2004.
- ^ Stein & Szabó 2008, s. 108–109.
- ^ A b Stein 2004, str. 17.
- ^ A b C d Stein & Szabó 2008, str. 120.
- ^ Schulze 2011.
- ^ Medovina 1979, str. 302.
- ^ Stein & Szabó 2008, str. 126.
- ^ Stein & Szabó 2008 121, 128, 131.
- ^ Stein 2004, s. 12–20.
- ^ Monsky 1990; Praton 2002
- ^ Stein 2004, str. 20.
- ^ Kasimatis 1989.
- ^ Medovina 1979.
- ^ Stein & Szabó 2008, str. 122.
- ^ Su & Ding 2003.
- ^ Vidět Su & Ding (2003) pro přesnější vyjádření tohoto principu.
- ^ Hales & Straus 1982, str. 42.
- ^ Jepsen & Monsky 2008.
- ^ Stein 2004, str. 21; Jepsen & Monsky 2008, str. 3
- ^ Aigner & Ziegler 2010, str. 131.
- ^ Thomas 1968, str. 187.
- ^ Stein & Szabó 2008, str. 107.
- ^ A b Stein & Szabó 2008, str. 108.
- ^ Monsky 1970, str. 251; Bekker & Netsvetaev 1998, str. 3492
- ^ Stein 2004, str. 18.
- ^ Su & Ding 2003; Du & Ding 2005
- ^ Schulze 2011, str. 2.
Bibliografie
- Sekundární zdroje
- Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2010), „Jeden čtverec a lichý počet trojúhelníků“, Důkazy z KNIHY (4. vydání), s. 131–138, doi:10.1007/978-3-642-00856-6_20, ISBN 978-3-642-00855-9, Zbl 1185.00001
- Barker, William H .; Howe, Roger (2007), Kontinuální symetrie: Od Euklida po Kleina, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3900-3
- Klee, Víctor; Wagon, Stan (1991), Staré a nové nevyřešené problémy v rovinné geometrii a teorii čísel, Dolciani Mathematical Expositions, 11, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-315-3
- Stein, Sherman K. (Březen 2004), „Řezání mnohoúhelníku do trojúhelníků se stejnými oblastmi“, Matematický zpravodaj, 26 (1): 17–21, doi:10.1007 / BF02985395, Zbl 1186.52015
- Stein, Sherman K.; Szabó, Sándor (2008), „Obklady trojúhelníky stejných oblastí“, Algebra a obklady: Homomorfismy ve službě geometrie, Matematické monografie Carus, 25, Mathematical Association of America, str. 107–134, ISBN 978-0-88385-041-1, Zbl 0930.52003
- Sury, Balasubramanian (2012), „Skupinová teorie a problémy s obklady“ (PDF), v Inder Bir S. Passi (ed.), Symetrie: Multidisciplinární perspektivaPřednášky k matematické společnosti Ramanujan, 16, International Press, s. 97–117, ISBN 978-1-57146-247-3[trvalý mrtvý odkaz ]
- Primární zdroje
- Bekker, B. M .; Netsvetaev, N. Yu. (Říjen 1998), „Zobecněné Spernerovo lemma a členění na zjednodušení se stejným objemem“, Journal of Mathematical Sciences, 91 (6): 3492–3498, doi:10.1007 / BF02434927, Zbl 0891.51013
- Du, Yatao (květen 2003), „多边形 的 等 积 三角 剖分 (Další výsledky o Odd Equidissection)“, Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition), 27 (3): 220–222, Zbl 1036.52019
- Du, Yatao; Ding, Ren (březen 2005), „Více o dělení mnohoúhelníku na trojúhelníky se stejnými oblastmi“ (PDF), Journal of Applied Mathematics and Computing, 17 (1–2): 259–267, doi:10.1007 / BF02936053, Zbl 1066.52017, archivovány z originál (PDF) dne 02.04.2015, vyvoláno 2012-08-06
- Hales, A. W.; Straus, E. G. (březen 1982), „Projektivní barviva“, Pacific Journal of Mathematics, 99 (2): 31–43, doi:10,2140 / pjm.1982,99,31, PAN 0651484, Zbl 0451.51010
- Jepsen, Charles H. (červen – červenec 1996), „Equidissekce lichoběžníků“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 103 (6): 498–500, doi:10.2307/2974717, JSTOR 2974717, Zbl 0856.51007
- Jepsen, Charles H .; Monsky, Paul (6. prosince 2008), „Konstrukce equidissekcí pro určité třídy lichoběžníků“ (PDF), Diskrétní matematika, 308 (23): 5672–5681, doi:10.1016 / j.disc.2007.10.031, Zbl 1156.51304
- Jepsen, Charles H .; Sedberry, Trevor; Hoyer, Rolf (18. března 2009), "Equidissections z drakovitých čtyřúhelníků" (PDF), Zapojte se, 2 (1): 89–93, doi:10.2140 / zahrnovat 2009.2.89, Zbl 1176.52003
- Kasimatis, Elaine A. (prosinec 1989), "Členění pravidelných polygonů na trojúhelníky se stejnými oblastmi", Diskrétní a výpočetní geometrie, 4 (1): 375–381, doi:10.1007 / BF02187738, Zbl 0675.52005
- Kasimatis, Elaine A .; Stein, Sherman K. (1. prosince 1990), „Equidissections of polygons“, Diskrétní matematika, 85 (3): 281–294, doi:10.1016 / 0012-365X (90) 90384-T, Zbl 0736.05028
- Labbé, Jean-Philippe; Rote, Günter; Ziegler, Günter M. (2018), „Area Difference Bounds for Dissections of a Square into an Odd Number of Triangles“, Experimentální matematika: 1–23, arXiv:1708.02891, doi:10.1080/10586458.2018.1459961
- Mansow, K. (2003), Ungerade Triangulierungen eines Quadrats von kleiner Diskrepanz (Diplomarbeit)
| formát =
vyžaduje| url =
(Pomoc), Německo: TU Berlin - Mead, David G. (září 1979), „Pitva hyperkrychle do simplexů“, Proceedings of the American Mathematical Society, 76 (2): 302–304, doi:10.1090 / S0002-9939-1979-0537093-6, Zbl 0423.51012
- Monsky, Paul (Únor 1970), „O rozdělení čtverce na trojúhelníky“, Americký matematický měsíčník, 77 (2): 161–164, doi:10.2307/2317329, JSTOR 2317329, Zbl 0187.19701 Přetištěno jako Monsky, Paul (Červenec 1977), „O rozdělení náměstí na trojúhelníky“, Vybrané příspěvky o algebře Raymond W. Brink vybrané matematické práce, 3, Mathematical Association of America, str.249–251, ISBN 978-0-88385-203-3
- Monsky, Paul (Září 1990), „Domněnka o Steinovi o rovinných pitvách“, Mathematische Zeitschrift, 205 (1): 583–592, doi:10.1007 / BF02571264, Zbl 0693.51008
- Monsky, Paul (Červen – červenec 1996), „Výpočet lichoběžníkového spektra“, Americký matematický měsíčník, 103 (6): 500–501, doi:10.2307/2974718, JSTOR 2974718, Zbl 0856.51008
- Praton, Iwan (listopad 2002), „Řezání Polyominos na trojúhelníky se stejnou oblastí“, Americký matematický měsíčník, 109 (9): 818–826, doi:10.2307/3072370, JSTOR 3072370, Zbl 1026.05027
- Richman, Fred; Thomas, John (březen 1967), „Problém 5471“, Americký matematický měsíčník, 74 (3): 328–329, doi:10.2307/2316055, JSTOR 2316055
- Rudenko, Daniil (2012), Na ekvidisekci vyvážených polygonů, arXiv:1206.4591, Bibcode:2012arXiv1206.4591R
- Sakai, T .; Nara, C .; Urrutia, J. (2005), „Rovnoměrné polygony v konvexních tělesech“ (PDF), v Jin Akiyama; Edy Tri Baskoro; Mikio Kano (eds.), Kombinatorická geometrie a teorie grafů: Indonésko-japonská společná konference, IJCCGGT 2003, Bandung, Indonésie, 13. – 16. Září 2003, revidované vybrané příspěvky, Přednášky v informatice, 3330, Springer, str. 146–158, doi:10.1007/978-3-540-30540-8_17, ISBN 978-3-540-24401-1, Zbl 1117.52010
- Schulze, Bernd (1. července 2011), „O plošném rozporu triangulací čtverců a lichoběžníků“, Electronic Journal of Combinatorics, 18 (1): # P137, Zbl 1222.52017
- Stein, Sherman K. (Červen 1989), „Equidissekce centrálně symetrických osmiúhelníků“, Aequationes Mathematicae, 37 (2–3): 313–318, doi:10.1007 / BF01836454, Zbl 0681.52008
- Stein, Sherman K. (Březen 1999), „Řezání Polyomina na trojúhelníky se stejnými oblastmi“, Americký matematický měsíčník, 106 (3): 255–257, doi:10.2307/2589681, JSTOR 2589681
- Stein, Sherman K. (Prosinec 2000), „Zobecněná domněnka o řezání mnohoúhelníku do trojúhelníků se stejnými oblastmi“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 24 (1): 141–145, doi:10.1007 / s004540010021, Zbl 0968.52011
- Su, Zhanjun (listopad 2002), „关于 Stein 猜想 的 局部 证明 (místní důkaz o Steinových dohadech)“, Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition) (v čínštině), 26 (6): 559–560, Zbl 1038.52002
- Su, Zhanjun (2004), „关于 一 类 特殊 梯形 的 等 面积 三角形 划分 (O řezání rodiny zvláštních lichoběžníků do trojúhelníků se stejnými oblastmi)“, Matematika v praxi a teorie (v čínštině), 34 (1): 145–149
- Su, Zhanjun; Wang, Xinke; Tian, Huizhu (červenec 2002), „关于 Stein 猜想 的 研究 (studie o Steinově domněnce)“, Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition) (v čínštině), 26 (4): 341–342, Zbl 1024.52002
- Su, Zhanjun; Wang, Xinke (listopad 2002), „关于 多边形 三角 划分 中 的 一个 逼近 问题 (problém s přiblížením k řezání mnohoúhelníků do trojúhelníků)“, Journal of Hebei Normal University (Natural Science) (v čínštině), 30 (4): 95–97, Zbl 1040.52002
- Su, Zhanjun; Wei, Xianglin; Liu, Fuyi (květen 2003), „关于 Stein 猜想 的 推广 (Zevšeobecnění o domněnce o Steinovi)“, Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition) (v čínštině), 27 (3): 223–224, Zbl 1036.52020
- Su, Zhanjun; Ding, Ren (září 2003), "Rozdělení polygonů na trojúhelníky se stejnými oblastmi", Journal of Applied Mathematics and Computing, 13 (1–2): 29–36, doi:10.1007 / BF02936072, Zbl 1048.52011, archivovány z originál dne 18. 1. 2005
- Su, Zhanjun; Ding, Ren (20. září 2004), „Rozdělení hyperpolyomina na Simplexes“, Jihovýchodní Asie Bulletin matematiky, 28 (3): 573–576, Zbl 1067.52017
- Su, Zhanjun; Ding, Ren (2005), „四边形 的 等 积 三角 剖分 (pitvy čtyřúhelníků do trojúhelníků se stejnými oblastmi)“, Acta Mathematica Scientia (v čínštině), 25 (5): 718–721, Zbl 1098.52004, archivovány z originál dne 02.04.2015
- Thomas, John (září 1968), „Pitevní problém“, Matematický časopis, 41 (4): 187–190, doi:10.2307/2689143, JSTOR 2689143, Zbl 0164.51502
externí odkazy
- Spernerovo lemma, Brouwerova věta o pevném bodě a dělení čtverců do trojúhelníků - Poznámky Akhila Mathewa
- Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche - Poznámky Moritze W. Schmitta (německý jazyk)
- Obklady mnohoúhelníků trojúhelníky stejné oblasti - Poznámky od AlexGhitzy
- Rozdělení lichoběžníků na trojúhelníky stejné oblasti - MathOverflow