Stabilní polynom - Stable polynomial

V kontextu charakteristický polynom a diferenciální rovnice nebo rozdílová rovnice, a polynomiální se říká, že je stabilní pokud buď:

• všechny jeho kořeny leží v otevřeno vlevo, odjet polorovina nebo
• všechny jeho kořeny leží v otevřeno jednotka disku.

První podmínka poskytuje stabilita pro nepřetržitý čas lineární systémy a druhý případ se týká stability diskrétní čas lineární systémy. Polynom s první vlastností se nazývá občas a Hurwitzův polynom a s druhou vlastností a Schurův polynom. Stabilní polynomy vznikají v teorie řízení a v matematické teorii diferenciálních a diferenčních rovnic. Lineární, časově invariantní systém (vidět Teorie systému LTI ) se říká, že je BIBO stabilní pokud každý ohraničený vstup produkuje ohraničený výstup. Lineární systém je stabilní BIBO, pokud je stabilní jeho charakteristický polynom. Jmenovatel musí být stabilní Hurwitz, pokud je systém v nepřetržitém čase, a Schur stabilní, pokud je v diskrétním čase. V praxi se stabilita určuje použitím kteréhokoli z několika kritéria stability.

Vlastnosti

• The Routh – Hurwitzova věta poskytuje algoritmus pro určení, zda je daný polynom stabilní v Hurwitz, který je implementován v Routh – Hurwitz a Liénard – Chipart testy.
• Vyzkoušet, zda daný polynom P (stupně d) je Schurův stabilní, stačí použít tuto větu na transformovaný polynom

${ displaystyle Q (z) = (z-1) ^ {d} P vlevo ({{z + 1} nad {z-1}} doprava)}$

získané po Möbiova transformace ${ displaystyle z mapsto {{z + 1} nad {z-1}}}$ který mapuje levou polorovinu na otevřený disk jednotky: P je Schur stabilní právě tehdy Q je Hurwitz stabilní a ${ displaystyle P (1) neq 0}$. U polynomů vyššího stupně lze zvláštním výpočtům zahrnutým do tohoto mapování zabránit testováním Schurovy stability Schur-Cohnovým testem, Test poroty nebo Bistritzův test.

• Nutná podmínka: Hurwitzův stabilní polynom (se skutečnými koeficienty) má koeficienty stejného znaménka (buď všechny kladné, nebo všechny záporné).
• Dostatečná podmínka: polynom ${ displaystyle f (z) = a_ {0} + a_ {1} z + cdots + a_ {n} z ^ {n}}$ s (skutečnými) koeficienty, které:

${ displaystyle a_ {n}> a_ {n-1}> cdots> a_ {0}> 0,}$

je Schur stabilní.

• Pravidlo produktu: Dva polynomy F a G jsou stabilní (stejného typu) právě tehdy, pokud se jedná o produkt fg je stabilní.
• Hadamardův produkt: Hadamardův (koeficientově) produkt dvou Hurwitzových stabilních polynomů je opět Hurwitzův stabilní.^[1]

Příklady

• ${ displaystyle 4z ^ {3} + 3z ^ {2} + 2z + 1}$ je Schur stabilní, protože splňuje dostatečné podmínky;
• ${ displaystyle z ^ {10}}$ je Schur stabilní (protože všechny jeho kořeny se rovnají 0), ale nesplňuje dostatečnou podmínku;
• ${ displaystyle z ^ {2} -z-2}$ není stabilní Hurwitz (její kořeny jsou -1,2), protože porušuje nezbytnou podmínku;
• ${ displaystyle z ^ {2} + 3z + 2}$ je stabilní Hurwitz (jeho kořeny jsou -1, -2).
• Polynom ${ displaystyle z ^ {4} + z ^ {3} + z ^ {2} + z + 1}$ (s kladnými koeficienty) není stabilní ani Hurwitz, ani Schur. Jeho kořeny jsou čtyři primitivní pátý kořeny jednoty

${ displaystyle z_ {k} = cos left ({{2 pi k} přes 5} right) + i sin left ({{2 pi k} přes 5} right), , k = 1, ldots, 4 .}$

Všimněte si zde, že

${ displaystyle cos ({{2 pi} / 5}) = {{{ sqrt {5}} - 1} přes 4}> 0.}$

Je to „hraniční případ“ Schurovy stability, protože její kořeny leží na jednotkovém kruhu. Příklad také ukazuje, že výše uvedené nezbytné (pozitivistické) podmínky pro Hurwitzovu stabilitu nejsou dostatečné.

Viz také

• Kritérium stability
• Poloměr stability

Reference

externí odkazy

• Stránka Mathworld