Racionální pohyb - Rational motion

v kinematika, pohyb a tuhé tělo je definována jako spojitá sada posunutí. Pohyby s jedním parametrem lze definovat jako kontinuální posunutí pohybujícího se objektu vzhledem k pevnému rámu v euklidovském tříprostoru (E³), kde posun závisí na jednom parametru, většinou identifikovaném jako čas.

Racionální pohyby jsou definovány racionální funkce (poměr dvou polynomiální funkce ) času. Produkují racionálně trajektorie, a proto se dobře integrují se stávajícími NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) založený průmyslový standard CAD / CAM systémy. Jsou snadno přizpůsobitelné aplikacím stávajících počítačem podporovaný geometrický design (CAGD) algoritmy. Kombinací kinematiky pohybů tuhého těla s geometrií NURBS křivky a povrchy, byly vyvinuty metody pro počítačem podporovaný design racionálních pohybů.

Tyto metody CAD pro návrh pohybu nacházejí uplatnění v animace v počítačové grafice (klíčový snímek interpolace ), plánování trajektorie v robotika (interpolace učené polohy), prostorová navigace v virtuální realita, počítačem podporovaný geometrický design pohybu pomocí interaktivní interpolace, CNC plánování dráhy nástroje a specifikace úkolu v syntéza mechanismů.

Pozadí

Tam bylo hodně výzkumu v použití principů počítačově podporovaného geometrického designu (CAGD) na problém počítačově podporovaného návrhu pohybu. V posledních letech se to dobře prokázalo racionální Bézier a racionální B-spline založené schémata reprezentace křivky lze kombinovat s duální čtveřice zastoupení ^[1] z prostorové posuny získat racionální Bézierovy a B-splinemotiony. Ge a Ravani,^[2]^[3] vyvinul nový rámec pro geometrické konstrukce prostorových pohybů kombinací konceptů z kinematiky a CAGD. Jejich práce byla postavena na seminární práci Shoemake,^[4] ve kterém použil koncept a čtveřice ^[5] pro otáčení interpolace. Podrobný seznam odkazů na toto téma najdete v ^[6] a.^[7]

Racionální Bézierovy a B-spline pohyby

Nechat ${displaystyle {hat {extbf {q}}} = {extbf {q}} + varepsilon {extbf {q}} ^ {0}}$ označují jednotný duální čtveřice. Homogenní dvojí čtveřice může být napsána jako dvojice čtveřic, ${displaystyle {hat {extbf {Q}}} = {extbf {Q}} + varepsilon {extbf {Q}} ^ {0}}$ ; kde ${displaystyle {extbf {Q}} = w {extbf {q}}, {extbf {Q}} ^ {0} = w {extbf {q}} ^ {0} + w ^ {0} {extbf {q} }}$ . Toho se dosáhne rozšířením ${displaystyle {hat {extbf {Q}}} = {hat {w}} {hat {extbf {q}}}}$ použitímdvojí číslo algebra (zde, ${displaystyle {hat {w}} = w + varepsilon w ^ {0}}$ ).

Pokud jde o dvojí čtveřice a homogenní souřadnice bodu ${displaystyle {extbf {P}} :( P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4})}$ objektu je transformační rovnice z hlediska čtveřice dána vztahem

${displaystyle {ilde {extbf {P}}} = {extbf {Q}} {extbf {P}} {extbf {Q}} ^ {ast} + P_ {4} [({extbf {Q}} ^ {0 }) {extbf {Q}} ^ {ast} - {extbf {Q}} ({extbf {Q}} ^ {0}) ^ {ast}],}$ kde ${displaystyle {extbf {Q}} ^ {ast}}$ a ${displaystyle ({extbf {Q}} ^ {0}) ^ {ast}}$ jsou konjugáty ${displaystyle {extbf {Q}}}$ a ${displaystyle {extbf {Q}} ^ {0}}$ , respektive a ${displaystyle {ilde {extbf {P}}}}$ označuje homogenní souřadnice bodu po posunutí.^[7]

Vzhledem k sadě jednotkových duálních čtveřic a dvojitých vah ${displaystyle {hat {extbf {q}}} _ {i}, {hat {w}} _ {i}; i = 0 ... n}$ následující představuje racionální Bézierovu křivku v prostoru dvojitých čtveřic.

${displaystyle {hat {extbf {Q}}} (t) = limity součtu _ {i = 0} ^ {n} {B_ {i} ^ {n} (t) {hat {extbf {Q}}} _ { i}} = limity součtu _ {i = 0} ^ {n} {B_ {i} ^ {n} (t) {hat {w}} _ {i} {hat {extbf {q}}} _ {i }}}$

kde ${displaystyle B_ {i} ^ {n} (t)}$ jsou Bernsteinovy polynomy. Bézierova křivka dvojí čtveřice daná výše uvedenou rovnicí definuje racionální Bézierův pohyb stupně ${displaystyle 2n}$ .

Podobně křivka B-spline dual quaternion, která definuje NURBSmotion stupně 2str, darováno,

{displaystyle {hat {extbf {Q}}} (t) = limity součtu _ {i = 0} ^ {n} {N_ {i, p} (t) {hat {extbf {Q}}} _ {i} } = limity součtu _ {i = 0} ^ {n} {N_ {i, p} (t) {hat {w}} _ {i} {hat {extbf {q}}} _ {i}}}

kde ${displaystyle N_ {i, p} (t)}$ jsou strzákladní funkce B-spline th-stupně.

Reprezentaci racionálního Bézierova pohybu a racionálního pohybu B-spline v kartézském prostoru lze získat nahrazením některého z výše uvedených dvou výrazů za ${displaystyle {hat {extbf {Q}}} (t)}$ v rovnici pro bodovou transformaci. V následujícím textu se budeme zabývat případem racionálního Bézierova pohybu. Trajektorie bodu procházejícího racionálním Bézierovým pohybem je dána vztahem,

{displaystyle {ilde {extbf {P}}} ^ {2n} (t) = [H ^ {2n} (t)] {extbf {P}},}

{displaystyle H ^ {2n} (t)] = limity součtu _ {k = 0} ^ {2n} {B_ {k} ^ {2n} (t) [H_ {k}]},}

kde ${displaystyle [H ^ {2n} (t)]}$ je maticová reprezentace racionálního Bézierova pohybu stupně ${displaystyle 2n}$ v karteziánském prostoru. Následující matice ${displaystyle [H_ {k}]}$ (označované také jako Bézier ControlMatrices) definují struktura afinní kontroly pohybu:

{displaystyle [H_ {k}] = {frac {1} {C_ {k} ^ {2n}}} součet limitů _ {i + j = k} {C_ {i} ^ {n} C_ {j} ^ { n} w_ {i} w_ {j} [H_ {ij} ^ {ast}]},}

kde ${displaystyle [H_ {ij} ^ {ast}] = [H_ {i} ^ {+}] [H_ {j} ^ {-}] + [H_ {j} ^ {-}] [H_ {i} ^ {0 +}] - [H_ {i} ^ {+}] [H_ {j} ^ {0 -}] + (alpha _ {i} -alpha _ {j}) [H_ {j} ^ {-} ] [Q_ {i} ^ {+}]}$ .

Ve výše uvedených rovnicích ${displaystyle C_ {i} ^ {n}}$ a ${displaystyle C_ {j} ^ {n}}$ jsou binomické koeficienty a ${displaystyle alpha _ {i} = w_ {i} ^ {0} / w_ {i}, alpha _ {j} = w_ {j} ^ {0} / w_ {j}}$ jsou hmotnostní poměry a

{displaystyle [H_ {j} ^ {-}] = left [{egin {array} {rrrr} q_ {j, 4} & - q_ {j, 3} & q_ {j, 2} & - q_ {j, 1 } q_ {j, 3} & q_ {j, 4} & - q_ {j, 1} & - q_ {j, 2} - q_ {j, 2} & q_ {j, 1} & q_ {j, 4} & -q_ {j, 3} q_ {j, 1} & q_ {j, 2} & q_ {j, 3} & q_ {j, 4} end {array}} ight],}

{displaystyle [Q_ {i} ^ {+}] = left [{egin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 1} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 2} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 3} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 4} end {array}} ight],}

{displaystyle [H_ {i} ^ {0 +}] = left [{egin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 1} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 2} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 3} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 4} ^ {0} end {array}} ight],}

{displaystyle [H_ {j} ^ {0 -}] = left [{egin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & -q_ {j, 1} ^ {0} 0 & 0 & 0 & -q_ {j, 2} ^ {0} 0 & 0 & 0 & -q_ {j, 3} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {j, 4} ^ {0} end {array}} ight],}

{displaystyle [H_ {i} ^ {+}] = vlevo [{egin {array} {rrrr} q_ {i, 4} & - q_ {i, 3} & q_ {i, 2} & q_ {i, 1} q_ {i, 3} & q_ {i, 4} & - q_ {i, 1} & q_ {i, 2} - q_ {i, 2} & q_ {i, 1} & q_ {i, 4} & q_ {i, 3} - q_ {i, 1} & - q_ {i, 2} & - q_ {i, 3} & q_ {i, 4} end {array}} ight].}

Ve výše uvedených maticích ${displaystyle (q_ {i, 1}, q_ {i, 2}, q_ {i, 3}, q_ {i, 4})}$ jsou čtyři komponenty skutečné části ${displaystyle ({extbf {q}} _ {i})}$ a ${displaystyle (q_ {i, 1} ^ {0}, q_ {i, 2} ^ {0}, q_ {i, 3} ^ {0}, q_ {i, 4} ^ {0})}$ jsou čtyři součásti dvojí části ${displaystyle ({extbf {q}} _ {i} ^ {0})}$ unitárního čtveřice ${displaystyle ({hat {extbf {q}}} _ {i})}$ .