Teorie šroubů - Screw theory

Teorie šroubů je algebraický výpočet dvojic vektorů, jako jsou síly a momenty nebo úhlová a lineární rychlost, které vznikají v kinematice a dynamice tuhých těles.[1][2] Matematický rámec vyvinul Sir Robert Stawell Ball v roce 1876 pro aplikaci v kinematika a statika z mechanismy (mechanika tuhých těles).[3]
Teorie šroubů poskytuje a matematický formulace pro geometrie linek, které jsou ústřední tuhá dynamika těla, kde čáry tvoří osy šroubů prostorového pohybu a linie působení sil. Dvojice vektorů, které tvoří Plückerovy souřadnice řádku definují jednotkový šroub a obecné šrouby se získají vynásobením dvojicí reálných čísel a přidáním vektory.[3]
Důležitým výsledkem teorie šroubů je, že geometrické výpočty pro body pomocí vektorů mají paralelní geometrické výpočty pro přímky získané nahrazením vektorů šrouby. Toto se nazývá princip přenosu.[4]
Teorie šroubů se stala důležitým nástrojem v robotické mechanice,[5][6] mechanické provedení, výpočetní geometrie a vícetělová dynamika. Důvodem je částečně vztah mezi šrouby a duální čtveřice které byly použity k interpolaci pohyby tuhého těla.[7] Na základě teorie šroubů byl také vyvinut efektivní přístup pro syntézu typů paralelních mechanismů (paralelní manipulátory nebo paralelní roboti).[8]
Mezi základní věty patří Poinsotova věta (Louis Poinsot, 1806) a Chaslesova věta (Michel Chasles, 1832). Felix Klein teorie pilových šroubů jako aplikace eliptická geometrie a jeho Program Erlangen.[9] Vypracoval také eliptickou geometrii a nový pohled na euklidovskou geometrii pomocí Cayley – Kleinová metrika. Použití a symetrická matice pro von Staudt kuželovitý a metrický, aplikovaný na šrouby, popsal Harvey Lipkin.[10] Mezi další významné přispěvatele patří Julius Plücker, W. K. Clifford, F. M. Dimentberg, Kenneth H. Hunt J. R. Phillips.[11]
Základní pojmy

Prostorové posunutí tuhého tělesa lze definovat rotací kolem čáry a posunem podél stejné čáry, který se nazývá šroubový posun. Toto je známé jako Chaslesova věta. Šest parametrů, které definují posunutí šroubu, jsou čtyři nezávislé složky Plückerova vektoru, který definuje osu šroubu, spolu s úhlem otáčení kolem a lineárním posunem podél této čáry a tvoří dvojici vektorů nazývaných šroub. Pro srovnání, šest parametrů, které definují prostorový posun, může být dáno také třemi Eulerovy úhly které definují rotaci a tři složky vektoru překladu.
Šroub
Šroub je šestrozměrný vektor konstruovaný z dvojice trojrozměrných vektorů, jako jsou síly a momenty a lineární a úhlová rychlost, které vznikají při studiu prostorového pohybu tuhého tělesa. Složky šroubu definují Plückerovy souřadnice čáry v prostoru a velikosti vektoru podél čáry a momentu kolem této čáry.
Klíč
Vektory síly a točivého momentu, které vznikají při aplikaci Newtonových zákonů na tuhé těleso, lze sestavit do šroubu zvaného a klíč. Síla má bod použití a směr působení, proto definuje Plückerovy souřadnice čáry v prostoru a má nulové hřiště. Na druhou stranu točivý moment je čistý moment, který není vázán na přímku v prostoru a je nekonečným šroubem. Poměr těchto dvou velikostí definuje stoupání šroubu.
Kroutit
A kroutit představuje rychlost tuhého tělesa jako úhlovou rychlost kolem osy a lineární rychlost podél této osy. Všechny body v těle mají stejnou složku rychlosti podél osy, avšak čím větší je vzdálenost od osy, tím větší je rychlost v rovině kolmé na tuto osu. Proto se helikoidní pole tvořené rychlostními vektory v pohybujícím se tuhém těle zplošťuje, čím dále jsou body radiálně od osy zkroucení.
Body v těle, které procházejí stálým šroubovým pohybem, sledují šroubovice v pevném rámu. Pokud má tento pohyb šroubu nulové stoupání, trajektorie sledují kruhy a pohyb je čistá rotace. Pokud má pohyb šroubu nekonečné stoupání, jsou trajektorie všechny přímky ve stejném směru.
Algebra šroubů
Nechť a šroub být objednaným párem
kde S a PROTI jsou trojrozměrné reálné vektory. Součet a rozdíl těchto uspořádaných párů se počítá po částech. Šrouby se často nazývají duální vektory.
Nyní představte uspořádanou dvojici reálných čísel â = (A, b) volal a duální skalární. Nechte sčítání a odčítání těchto čísel být po částech a definujte násobení jako
Násobení šroubu S = (S, PROTI) duálním skalárem â = (A, b) se počítá po částech,
Nakonec představte tečné a křížové produkty šroubů podle vzorců:
což je dvojitý skalár a
což je šroub. Tečkovaný a křížový součin šroubů uspokojuje identitu vektorové algebry a umožňuje výpočty, které přímo paralelní výpočty v algebře vektorů.
Nechť duální skalární ẑ = (φ, d) definujte a dvojitý úhel, pak nekonečné řady definic sinu a kosinu poskytnou vztahy
což jsou také duální skaláry. Obecně je funkce duální proměnné definována jako F(ẑ) = (F(φ), df′(φ)), kde F′(φ) je derivátF(φ).
Tyto definice umožňují následující výsledky:
- Šrouby jednotky jsou Plückerovy souřadnice řádku a uspokojit vztah
- Nechť ẑ = (φ, d) být dvojitý úhel, kde φ je úhel mezi osami S a T kolem jejich běžného normálu a d je tedy vzdálenost mezi těmito osami podél běžné normály
- Nechť N je jednotkový šroub, který definuje společnou normálu k osám S a Ta ẑ = (φ, d) je tedy dvojitý úhel mezi těmito osami
Klíč
Běžným příkladem šroubu je klíč spojené se silou působící na tuhé těleso. Nechat P být místem působení síly F a nechte P být vektor lokalizující tento bod v pevném rámci. Klíč Ž = (F, P×F) je šroub. Výsledná síla a moment získaný ze všech sil Fi, i = 1,...,n, působící na tuhé tělo je jednoduše součet jednotlivých klíčů Ži, to je
Všimněte si, že případ dvou stejných, ale opačných sil F a -F jednající v bodech A a B respektive získá výslednice
To ukazuje, že šrouby formuláře
lze interpretovat jako čisté momenty.
Kroutit
Aby bylo možné definovat kroutit tuhého tělesa musíme vzít v úvahu jeho pohyb definovaný parametrizovanou sadou prostorových posunů, D (t) = ([A (t)],d(t)), kde [A] je rotační matice a d je překladový vektor. To způsobí bod str který je fixován v pohybujících se souřadnicích těla pro sledování křivky P(t) v pevném rámu daném vztahem,
Rychlost P je
kde proti je rychlost počátku pohybujícího se rámu, tj. dd/ dt. Nyní nahradit str = [AT](P − d) do této rovnice získat,
kde [Ω] = [dA/ dt][AT] je matice úhlové rychlosti a ω je vektor úhlové rychlosti.
Šroub
je kroutit pohybujícího se těla. Vektor PROTI = proti + d × ω je rychlost bodu v těle, která odpovídá počátku pevného rámu.
Existují dva důležité zvláštní případy: (i) kdy d je konstantní, to je proti = 0, pak je twist čistá rotace kolem čáry, pak je twist
a (ii) když [Ω] = 0, tj. tělo se neotáčí, ale pouze se posouvá ve směru proti, pak je twist čistý snímek daný
Revolute klouby
Pro otočný kloub, nechte osu otáčení projít bodem q a být směrován podél vektoru ω, pak je obrat kloubu dán vztahem,
Prizmatické klouby
Pro hranolový spoj, nechme vektor proti polohování definuje směr snímku, potom je obrat kloubu dán vztahem,
Transformace souřadnic šroubů
Transformace souřadnic šroubů lze snadno pochopit začátkem transformací souřadnic Plückerova vektoru přímky, které se zase získají z transformací souřadnic bodů na přímce.
Nechť je posunutí těla definováno pomocí D = ([A], d), kde [A] je rotační matice a d je překladový vektor. Zvažte přímku v těle definovanou dvěma body str a q, který má Plückerovy souřadnice,
pak v pevném rámci máme souřadnice transformovaných bodů P = [A]str + d a Q = [A]q + d, které poskytují.
Prostorový posun tedy definuje transformaci pro Plückerovy souřadnice čar daných
Matice [D] je zkosená symetrická matice, která provádí operaci křížového produktu, tj. [D]y = d × y.
Matice 6 × 6 získaná z prostorového posunutí D = ([A], d) lze sestavit do duální matice
který pracuje na šroubu s = (s.proti) získat,
Duální matice [A] = ([A], [DA]) má determinant 1 a nazývá se a duální ortogonální matice.
Zvraty jako prvky Lieovy algebry
Zvažte pohyb tuhého těla definovaného parametrizovanou homogenní transformací 4x4,
Tento zápis nerozlišuje mezi P = (X, Y, Z, 1) a P = (X, Y, Z), což je snad v kontextu jasné.
Rychlost tohoto pohybu je definována výpočtem rychlosti trajektorií bodů v těle,
Tečka označuje derivaci s ohledem na čas a protože str je konstantní, jeho derivace je nula.
Nahraďte inverzní transformaci str do rovnice rychlosti pro získání rychlosti P působením na jeho trajektorii P(t), to je
kde
Připomeňme, že [Ω] je matice úhlové rychlosti. Matice [S] je prvek Lieovy algebry se (3) skupiny Lie SE (3) homogenních transformací. Součásti [S] jsou součásti otočného šroubu, az tohoto důvodu [S] se také často nazývá zvrat.
Z definice matice [S], můžeme formulovat obyčejnou diferenciální rovnici,
a požádat o pohyb [T(t)], která má konstantní zkroucenou matici [S]. Řešením je maticový exponenciál
Tuto formulaci lze zobecnit tak, že je dána počáteční konfigurace G(0) v SE (n) a twist ξ samy o sobě (n) lze pomocí vzorce vypočítat homogenní transformaci do nového umístění a orientace,
kde θ představuje parametry transformace.
Šrouby odrazem
v transformační geometrie, elementární koncept transformace je reflexe (matematika). V rovinných transformacích se translace získá odrazem v rovnoběžných čarách a rotace se získá odrazem v dvojici protínajících se čar. K vytvoření šroubové transformace z podobných konceptů je nutné použít roviny prostor: rovnoběžné roviny musí být kolmé k osa šroubu, což je průsečík protínajících se rovin, které generují rotaci šroubu. Čtyři odrazy v rovinách tedy ovlivňují šroubovou transformaci. Tradice inverzní geometrie půjčí si některé z myšlenek projektivní geometrie a poskytuje jazyk transformace, na kterém nezávisí analytická geometrie.
Homografie
Kombinace posunu s rotací způsobenou posunutím šroubu lze ilustrovat pomocí exponenciální mapování. Tato myšlenka v transformační geometrii byla vyvinuta uživatelem Sophus Lie před více než stoletím. Ještě dříve, William Rowan Hamilton zobrazil versor forma čtverců jednotek jako exp (a r) = cos A + r hřích A. Myšlenka je také v Eulerův vzorec parametrizující jednotkový kruh v složité letadlo.
Od té doby ε2 = 0 pro duální čísla, exp (aε) = 1 + aε, všechny ostatní členy exponenciální řady mizí.
Nechat F = {1 + εr : r ∈ H}, ε2 = 0. Všimněte si toho F je stabilní pod otáčení q → str −1 qp a pod překladem (1 + εr)(1 + εs) = 1 + ε (r + s) pro všechny vektorové čtveřice r a s.F je 3-byt v osmirozměrném prostoru duální čtveřice. Tento 3-byt F představuje prostor a homografie postavena, omezený na F, je šroubový posun prostoru.
Nechat A být polovina úhlu požadovaného otočení kolem osy r, a br poloviční výtlak na osa šroubu. Pak vytvořte z = exp ((A + bε)r ) a z * = exp ((A − bε)r). Nyní je homografie
Inverzní pro z* je
homografie tedy pošle q na
Nyní pro jakýkoli vektor čtveřice str, str* = −str, nechť q = 1 + pε ∈ F kde se provádí požadovaná rotace a překlad.
William Kingdon Clifford zahájil používání duálních čtveřic pro kinematika, následován Aleksandr Kotelnikov, Eduardova studie (Geometrie der Dynamen), a Wilhelm Blaschke. Úhel pohledu Sophuse Lie se však opakoval.[12]V roce 1940 Julian Coolidge popsal použití duálních čtveřic pro posunutí šroubů na straně 261 z Historie geometrických metod. Bere na vědomí příspěvek z roku 1885 Arthur Buchheim.[13] Coolidge založil svůj popis jednoduše na nástrojích, které Hamilton použil pro skutečné čtveřice.
Evidentně skupina jednotek z prsten dvojích čtveřic je a Lež skupina. Podskupina má Lež algebra generované parametry a r a b s, kde A, b ∈ R, a r, s ∈ H. Těchto šest parametrů generuje podskupinu jednotek, jednotkovou sféru. Samozřejmě to zahrnuje F a 3 koule z versors.
Práce sil působících na tuhé těleso
Zvažte množinu sil F1, F2 ... Fn jednat podle bodů X1, X2 ... Xn v tuhém těle. Trajektorie Xi, i = 1,...,n jsou definovány pohybem tuhého tělesa s rotací [A(t)] a překlad d(t) referenčního bodu v těle, daný
kde Xi jsou souřadnice v pohybujícím se těle.
Rychlost každého bodu Xi je
kde ω je vektor úhlové rychlosti a proti je derivát d(t).
Práce silami na posunutí δri=protiiδt každého bodu je dáno
Definujte rychlosti každého bodu z hlediska kroucení pohybujícího se tělesa, které chcete získat
Rozšiřte tuto rovnici a sbírejte koeficienty ω a proti získat
Představte kroucení pohybujícího se těla a klíč na něj působící daný daným
pak má práce podobu
Matice 6 × 6 [Π] se používá ke zjednodušení výpočtu práce pomocí šroubů
kde
a [I] je matice identity 3 × 3.
Vzájemné šrouby
Pokud je virtuální práce klíče na zákrutu nulová, pak síly a točivý moment klíče jsou omezující síly vzhledem ke zákrutu. Klíč a kroucení se říká, že jsou reciproční, to je pokud
potom šrouby Ž a T jsou vzájemné.
Zvraty v robotice
Při studiu robotických systémů se komponenty kroucení často transponují, aby se při výpočtu práce eliminovala potřeba matice 6 × 6 [Π].[4] V tomto případě je zkroucení definováno jako
takže výpočet práce má podobu
V tomto případě, pokud
pak klíč Ž je vzájemný k obratu T.
Viz také
- Osa šroubu
- Newton – Eulerovy rovnice používá šrouby k popisu tuhých pohybů těla a zatížení.
- Twist (matematika)
- Twist (racionální trigonometrie)
Reference
- ^ Dimentberg, F. M. (1965) Šroubový počet a jeho aplikace v mechanice, Překlad divize zahraničních technologií FTD-HT-23-1632-67
- ^ Yang, A.T. (1974) "Počet šroubů" v Základní otázky teorie designu, William R. Spillers (ed.), Elsevier, str. 266–281.
- ^ A b Ball, R. S. (1876). Teorie šroubů: Studie dynamiky tuhého tělesa. Hodgesi, Fostere.
- ^ A b McCarthy, J. Michael; Soh, Gim Song (2010). Geometrický design vazeb. Springer. ISBN 978-1-4419-7892-9.
- ^ Featherstone, Roy (1987). Algoritmy dynamiky robotů. Kluwer Academic Pub. ISBN 978-0-89838-230-3.
- ^ Featherstone, Roy (2008). Algoritmy dynamiky robotů. Springer. ISBN 978-0-387-74315-8.
- ^ Selig, J. M. (2011) „Rational Interpolation of Rigid Body Motion“, Advances in the Theory of Control, Signals and Systems with Physical Modeling, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Volume 407/2011 213–224, doi:10.1007/978-3-642-16135-3_18 Springer.
- ^ Kong, Xianwen; Gosselin, Clément (2007). Syntéza typů paralelních mechanismů. Springer. ISBN 978-3-540-71990-8.
- ^ Felix Klein (1902) (překladatel D.H. Delphenich) Na teorii šroubů sira Roberta Balla
- ^ Harvey Lipkin (1983) Metrická geometrie Archivováno 2016-03-05 na Wayback Machine z Georgia Tech University
- ^ Clifford, William Kingdon (1873), „Preliminary Sketch of Biquaternions“, Paper XX, Matematické papíry, str. 381.
- ^ Xiangke Wang, Dapeng Han, Changbin Yu a Zhiqiang Zheng (2012) „Geometrická struktura jednotkových duálních čtveřic s využitím při kinematickém řízení“, Journal of Mathematical Analysis and Applications 389 (2): 1352 až 64
- ^ Buchheim, Arthur (1885). „Memoir on biquaternions“. American Journal of Mathematics. 7 (4): 293–326. doi:10.2307/2369176. JSTOR 2369176.
externí odkazy
- Joe Rooney William Kingdon Clifford, Katedra designu a inovací, Open University, Londýn.
- Ravi Banavar bere na vědomí Robotika, geometrie a řízení