Duffin – Schaefferova domněnka - Duffin–Schaeffer conjecture
The Duffin – Schaefferova domněnka je důležitá domněnka v matematice, konkrétně teorie metrických čísel navrhl R. J. Duffin a A. C. Schaeffer v roce 1941.[1] Uvádí se v něm, že pokud je funkce se skutečnou hodnotou, která přebírá kladné hodnoty, pak pro téměř všechny (s ohledem na Lebesgueovo opatření ), nerovnost
má nekonečně mnoho řešení v co-prime celá čísla s kdyby a jen kdyby
kde je Funkce Euler totient.
Vyšší dimenzionální analog tohoto domněnky vyřešili Vaughan a Pollington v roce 1990.[2][3][4]
Pokrok
Důsledek z existence racionálních aproximací na divergenci řady vyplývá z Lemma Borel – Cantelli.[5] Konverzní implikace je jádrem domněnky.[2]Dosud bylo založeno mnoho dílčích výsledků Duffin-Schaefferova domněnky. Paul Erdős založena v roce 1970, že domněnka platí, pokud existuje konstanta tak, že pro každé celé číslo máme buď nebo .[2][6] To v roce 1978 k případu posílil Jeffrey Vaaler .[7][8] V poslední době to bylo posíleno, aby byla domněnka pravdivá, kdykoli nějaké existují takové, že série
- . To provedli Haynes, Pollington a Velani.[9]
V roce 2006 Beresnevich a Velani dokázali, že a Hausdorffovo opatření analog Duffin-Schaefferova domněnky je ekvivalentní původní domněnce Duffin-Schaeffer, která je a priori slabší. Tento výsledek je zveřejněn v Annals of Mathematics.[10]
V červenci 2019 Dimitris Koukoulopoulos a James Maynard oznámil důkaz domněnky.[11][12][13]
Poznámky
- ^ Duffin, R. J .; Schaeffer, A. C. (1941). „Khintchinův problém v metrické diofantické aproximaci“. Vévoda Math. J. 8 (2): 243–255. doi:10.1215 / S0012-7094-41-00818-9. JFM 67.0145.03. Zbl 0025.11002.
- ^ A b C Montgomery, Hugh L. (1994). Deset přednášek o rozhraní mezi teorií analytických čísel a harmonickou analýzou. Regionální konferenční seriál z matematiky. 84. Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 204. ISBN 978-0-8218-0737-8. Zbl 0814.11001.
- ^ Pollington, A.D .; Vaughan, R.C. (1990). „The k dimenzionální Duffin – Schaefferova domněnka “. Mathematika. 37 (2): 190–200. doi:10.1112 / s0025579300012900. ISSN 0025-5793. Zbl 0715.11036.
- ^ Harman (2002) str. 69
- ^ Harman (2002) str. 68
- ^ Harman (1998) str. 27
- ^ „Duffin-Schaefferova domněnka“ (PDF). Katedra matematiky na Ohio State University. 2010-08-09. Citováno 2019-09-19.
- ^ Harman (1998) str. 28
- ^ A. Haynes, A. Pollington a S. Velani, Duffin-Schaefferova domněnka s extra divergencí, arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234
- ^ Beresnevich, Victor; Velani, Sanju (2006). „Princip hromadného přenosu a Duffin-Schaefferova domněnka pro Hausdorffova opatření“. Annals of Mathematics. Druhá série. 164 (3): 971–992. arXiv:matematika / 0412141. doi:10.4007 / annals.2006.164.971. ISSN 0003-486X. Zbl 1148.11033.
- ^ Koukoulopoulos, D .; Maynard, J. (2019). „O domněnce Duffin – Schaeffer“. arXiv:1907.04593. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Sloman, Leila (2019). „Nový důkaz řeší 80 let starý problém s iracionálním číslem“. Scientific American.
- ^ https://www.youtube.com/watch?v=1LoSV1sjZFI
Reference
- Harman, Glyn (1998). Teorie metrických čísel. Monografie London Mathematical Society. Nová řada. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
- Harman, Glyn (2002). "Sto let normálních čísel". In Bennett, M. A .; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G .; Hildebrand, A.J .; Philipp, W. (eds.). Průzkumy v teorii čísel: Příspěvky z tisícileté konference o teorii čísel. Natick, MA: A K Peters. str. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.