Littlewood domněnka - Littlewood conjecture
v matematika, Littlewood domněnka je otevřený problém (od roku 2016[Aktualizace]) v Diophantine aproximace, navrhl John Edensor Littlewood kolem roku 1930. Uvádí se, že pro dva reálná čísla α a β,
kde je zde vzdálenost k nejbližšímu celému číslu.
Formulace a vysvětlení
To znamená následující: vezměte bod (α, β) v rovině a poté zvažte posloupnost bodů
- (2α, 2β), (3α, 3β), ....
Pro každou z nich vynásobte vzdálenost k nejbližšímu řádku s celočíselnou souřadnicí x vzdáleností k nejbližšímu řádku s celočíselnou souřadnicí y. Tento produkt bude určitě maximálně 1/4. Domněnka neposkytuje žádné prohlášení o tom, zda tato posloupnost hodnot bude konvergovat; ve skutečnosti to obvykle není. Domněnka říká něco o limit horší, a říká, že existuje subsekvence, pro kterou se vzdálenosti rozpadají rychleji než reciproční, tj.
- o (1 /n)
v malý-o zápis.
Spojení s dalšími domněnkami
Je známo, že by to vyplývalo z výsledku v geometrie čísel, o minimu na nenulové mříž bod součinu tří lineárních forem ve třech reálných proměnných: implikaci v roce 1955 ukázal J. W. S. Cassels a Swinnerton-Dyer.[1] To lze formulovat jiným způsobem, ve skupinové teoretické rovině. Nyní existuje další domněnka, o které se očekává, že bude platit n ≥ 3: uvádí se ve smyslu G = SLn(R), Γ = SLn(Z) a podskupinu D z diagonální matice v G.
Dohad: pro všechny G v G/ Γ takový, že Dg je relativně kompaktní (v G/ Γ) Dg je zavřený.
Toto je zase zvláštní případ obecné domněnky Margulis na Lež skupiny.
Částečné výsledky
Borel v roce 1909 ukázal, že výjimečná sada skutečných párů (α, β), které porušují tvrzení domněnky, je Lebesgueovo opatření nula.[2] Manfred Einsiedler, Anatole Katok a Elon Lindenstrauss ukázat[3] že to musí mít Hausdorffova dimenze nula;[4] a ve skutečnosti je to unie nespočetně mnoha kompaktní sady z rozměr počítání krabic nula. Výsledek byl prokázán použitím věty o klasifikaci míry pro diagonalizovatelné akce skupin vyššího řádu a an věta o izolaci prokázali Lindenstrauss a Barak Weiss.
Tyto výsledky naznačují, že existují netriviální páry splňující domněnku: skutečně, vzhledem k reálnému počtu α takovým , je možné sestrojit explicitní β tak, aby (α, β) splňovalo domněnku.[5]
Viz také
Reference
- ^ J.W.S. Cassels; H.P.F. Swinnerton-Dyer (1955-06-23). "Na součin tří homogenních lineárních forem a neurčitých ternárních kvadratických forem". Filozofické transakce královské společnosti A. 248 (940): 73–96. Bibcode:1955RSPTA.248 ... 73C. doi:10.1098 / rsta.1955.0010. JSTOR 91633. PAN 0070653. Zbl 0065.27905.
- ^ Adamczewski & Bugeaud (2010), s. 444
- ^ M. Einsiedler; A. Katok; E. Lindenstrauss (01.09.2006). "Invariantní opatření a soubor výjimek z domněnky Littlewooda". Annals of Mathematics. 164 (2): 513–560. arXiv:math.DS / 0612721. doi:10.4007 / annals.2006.164.513. PAN 2247967. Zbl 1109.22004.
- ^ Adamczewski & Bugeaud (2010), s. 445
- ^ Adamczewski & Bugeaud (2010), s. 466
- Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2010). „8. Transcendence a diofantická aproximace“. v Berthé, Valérie; Rigo, Michael (eds.). Kombinatorika, automaty a teorie čísel. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 135. Cambridge: Cambridge University Press. 410–451. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1271.11073.
Další čtení
- Akshay Venkatesh (2007-10-29). „Práce Einsiedlera, Katoka a Lindenstrausse na domněnce o Littlewoodu“ (PDF). Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 45 (1): 117–134. doi:10.1090 / S0273-0979-07-01194-9. PAN 2358379. Zbl 1194.11075. Archivovány od originál (PDF) dne 2011-05-20. Citováno 2011-03-27.