Vektorová pole ve válcových a sférických souřadnicích - Vector fields in cylindrical and spherical coordinates

Sférické souřadnice (r, θ, φ) jak se běžně používá v fyzika: radiální vzdálenost r, polární úhel θ (theta ) a azimutální úhel φ (phi ). Symbol ρ (rho ) se často používá místo r.

Poznámka: Tato stránka používá běžnou fyzikální notaci pro sférické souřadnice, ve kterých ${ displaystyle theta}$ je úhel mezi z osa a poloměr vektor spojující počátek s dotyčným bodem, zatímco ${ displaystyle phi}$ je úhel mezi projekcí vektoru poloměru na x-y letadlo a X osa. Používá se několik dalších definic, a proto je třeba při porovnávání různých zdrojů postupovat opatrně.^[1]

Válcový souřadnicový systém

Vektorová pole

Vektory jsou definovány v válcové souřadnice od (ρ, φ, z), kde

• ρ je délka vektoru promítaného na xy-letadlo,
• φ je úhel mezi projekcí vektoru na xy- letadlo (tj. ρ) a pozitivní X-osa (0 ≤ φ <2π),
• z je pravidelný z-koordinovat.

(ρ, φ, z) je uveden v Kartézské souřadnice podle:

${ displaystyle { begin {bmatrix} rho phi z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} operatorname {arctan} (y / x) z end {bmatrix}}, 0 leq phi <2 pi,}$

nebo inverzně:

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} rho cos phi rho sin phi z end {bmatrix }}.}$

Žádný vektorové pole lze zapsat z hlediska jednotkových vektorů jako:

${ displaystyle mathbf {A} = A_ {x} mathbf { hat {x}} + A_ {y} mathbf { hat {y}} + A_ {z} mathbf { hat {z}} = A _ { rho} mathbf { hat { rho}} + A _ { phi} { boldsymbol { hat { phi}}} + A_ {z} mathbf { hat {z}}}$

Válcové jednotkové vektory souvisejí s kartézskými jednotkovými vektory podle:

${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf { hat { rho}} { boldsymbol { hat { phi}}} mathbf { hat {z}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos phi & sin phi & 0 - sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf { hat {x}} mathbf { hat {y}} mathbf { hat {z}} end {bmatrix}}}$

Poznámka: matice je ortogonální matice, to znamená jeho inverzní je prostě jeho přemístit.

Časová derivace vektorového pole

Abychom zjistili, jak se vektorové pole A mění v čase, vypočítáme časové derivace. K tomuto účelu použijeme Newtonova notace pro časovou derivaci (${ displaystyle { dot { mathbf {A}}}}$). V kartézských souřadnicích je to jednoduše:

${ displaystyle { dot { mathbf {A}}} = { dot {A}} _ {x} { hat { mathbf {x}}} + { dot {A}} _ {y} { hat { mathbf {y}}} + { dot {A}} _ {z} { hat { mathbf {z}}}}$

Ve válcových souřadnicích se to však stává:

${ displaystyle { dot { mathbf {A}}} = { dot {A}} _ { rho} { hat { boldsymbol { rho}}} + A _ { rho} { dot { klobouk { boldsymbol { rho}}}} + { dot {A}} _ { phi} { hat { boldsymbol { phi}}} + A _ { phi} { dot { hat { boldsymbol { phi}}}} + { dot {A}} _ {z} { hat { boldsymbol {z}}} + A_ {z} { dot { hat { boldsymbol {z}}} }}$

Potřebujeme časové deriváty jednotkových vektorů. Jsou dány:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { dot { hat { mathbf { rho}}}} & = { dot { phi}} { hat { boldsymbol { phi}}} { dot { hat { boldsymbol { phi}}}} & = - { dot { phi}} { hat { mathbf { rho}}} { dot { hat { mathbf { z}}}} & = 0 end {zarovnáno}}}$

Časová derivace se tedy zjednodušuje na:

${ displaystyle { dot { mathbf {A}}} = { hat { boldsymbol { rho}}} ({ dot {A}} _ { rho} -A _ { phi} { dot { phi}}) + { hat { boldsymbol { phi}}} ({ dot {A}} _ { phi} + A _ { rho} { dot { phi}}) + { hat { mathbf {z}}} { dot {A}} _ {z}}$

Podruhé derivace vektorového pole

O druhou derivaci je zájem fyzika, jak se nachází v pohybové rovnice pro klasické mechanické Druhá časová derivace vektorového pole ve válcových souřadnicích je dána vztahem:

${ displaystyle mathbf { ddot {A}} = mathbf { hat { rho}} ({ ddot {A}} _ { rho} -A _ { phi} { ddot { phi}} -2 { dot {A}} _ { phi} { dot { phi}} - A _ { rho} { dot { phi}} ^ {2}) + { boldsymbol { hat { phi}}} ({ ddot {A}} _ { phi} + A _ { rho} { ddot { phi}} + 2 { dot {A}} _ { rho} { dot { phi}} - A _ { phi} { dot { phi}} ^ {2}) + mathbf { hat {z}} { ddot {A}} _ {z}}$

Abychom tomuto výrazu porozuměli, dosadíme A = P, kde p je vektor ( rho, θ, z).

Tohle znamená tamto ${ displaystyle mathbf {A} = mathbf {P} = rho mathbf { hat { rho}} + z mathbf { hat {z}}}$.

Po nahrazení dostaneme:

${ displaystyle { ddot { mathbf {P}}} = mathbf { hat { rho}} ({ ddot { rho}} - rho { dot { phi}} ^ {2}) + { boldsymbol { hat { phi}}} ( rho { ddot { phi}} + 2 { dot { rho}} { dot { phi}}) + mathbf { hat { z}} { ddot {z}}}$

V mechanice se termíny tohoto výrazu nazývají:

${ displaystyle { begin {aligned} { ddot { rho}} mathbf { hat { rho}} & = { mbox {centrální vnější zrychlení}} - rho { dot { phi} } ^ {2} mathbf { hat { rho}} & = { mbox {dostředivé zrychlení}} rho { ddot { phi}} { boldsymbol { hat { phi}}} & = { mbox {angular acceleration}} 2 { dot { rho}} { dot { phi}} { boldsymbol { hat { phi}}} & = { mbox {Coriolisův efekt}} { ddot {z}} mathbf { hat {z}} & = { mbox {z-acceleration}} end {zarovnáno}}}$

Sférický souřadný systém

Vektorová pole

Vektory jsou definovány v sférické souřadnice od (r, θ, φ), kde

• r je délka vektoru,
• θ je úhel mezi kladnou osou Z a dotyčným vektorem (0 ≤ θ ≤ π) a
• φ je úhel mezi projekcí vektoru do roviny X-Y a kladnou osou X (0 ≤ φ <2π).

(r, θ, φ) je uveden v Kartézské souřadnice podle:

${ displaystyle { begin {bmatrix} r theta phi end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ { 2}}} arccos (z / r) arctan (y / x) end {bmatrix}}, 0 leq theta leq pi, 0 leq phi <2 pi,}$

nebo inverzně:

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} r sin theta cos phi r sin theta sin phi r cos theta end {bmatrix}}.}$

Libovolné vektorové pole lze zapsat z hlediska jednotkových vektorů jako:

${ displaystyle mathbf {A} = A_ {x} mathbf { hat {x}} + A_ {y} mathbf { hat {y}} + A_ {z} mathbf { hat {z}} = A_ {r} { boldsymbol { hat {r}}} + A _ { theta} { boldsymbol { hat { theta}}} + A _ { phi} { boldsymbol { hat { phi} }}}$

Sférické jednotkové vektory souvisejí s kartézskými jednotkovými vektory pomocí:

${ displaystyle { begin {bmatrix} { boldsymbol { hat {r}}} { boldsymbol { hat { theta}}} { boldsymbol { hat { phi}}}} konec {bmatrix}} = { begin {bmatrix} sin theta cos phi & sin theta sin phi & cos theta cos theta cos phi & cos theta sin phi & - sin theta - sin phi & cos phi & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf { hat {x}} mathbf { hat { y}} mathbf { hat {z}} end {bmatrix}}}$

Poznámka: matice je ortogonální matice, to znamená, že jeho inverze je prostě jeho přemístit.

Kartézské jednotkové vektory tedy souvisejí s vektory sférických jednotek podle:

${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf { hat {x}} mathbf { hat {y}} mathbf { hat {z}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} sin theta cos phi & cos theta cos phi & - sin phi sin theta sin phi & cos theta sin phi & cos phi cos theta & - sin theta & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} { boldsymbol { hat {r}}} { boldsymbol { hat { theta}}} { boldsymbol { hat { phi}}} end {bmatrix}}}$

Časová derivace vektorového pole

Abychom zjistili, jak se vektorové pole A mění v čase, vypočítáme časové derivace. V kartézských souřadnicích je to jednoduše:

${ displaystyle mathbf { dot {A}} = { dot {A}} _ {x} mathbf { hat {x}} + { dot {A}} _ {y} mathbf { hat {y}} + { dot {A}} _ {z} mathbf { hat {z}}}$

Ve sférických souřadnicích se to však stává:

${ displaystyle mathbf { dot {A}} = { dot {A}} _ {r} { boldsymbol { hat {r}}} + A_ {r} { boldsymbol { dot { hat { r}}}} + { dot {A}} _ { theta} { boldsymbol { hat { theta}}} + A _ { theta} { boldsymbol { dot { hat { theta}} }} + { dot {A}} _ { phi} { boldsymbol { hat { phi}}} + A _ { phi} { boldsymbol { dot { hat { phi}}}}}$

Potřebujeme časové deriváty jednotkových vektorů. Jsou dány:

${ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { dot { hat {r}}}} & = { dot { theta}} { boldsymbol { hat { theta}}} + { dot { phi}} sin theta { boldsymbol { hat { phi}}} { boldsymbol { dot { hat { theta}}}} & = - { dot { theta}} { boldsymbol { hat {r}}} + { dot { phi}} cos theta { boldsymbol { hat { phi}}} { boldsymbol { dot { hat { phi }}}} & = - { dot { phi}} sin theta { boldsymbol { hat {r}}} - { dot { phi}} cos theta { boldsymbol { hat { theta}}} end {zarovnáno}}}$

Časová derivace se tedy stává:

${ displaystyle mathbf { dot {A}} = { boldsymbol { hat {r}}} ({ dot {A}} _ {r} -A _ { theta} { dot { theta}} -A _ { phi} { dot { phi}} sin theta) + { boldsymbol { hat { theta}}} ({ dot {A}} _ { theta} + A_ {r} { dot { theta}} - A _ { phi} { dot { phi}} cos theta) + { boldsymbol { hat { phi}}} ({ dot {A}} _ { phi} + A_ {r} { dot { phi}} sin theta + A _ { theta} { dot { phi}} cos theta)}$

Viz také

• Del ve válcových a sférických souřadnicích pro specifikaci spád, divergence, kučera, a laplacian v různých souřadnicových systémech.

Reference