Funkce Shintani zeta - Shintani zeta function

v matematika, a Funkce Shintani zeta nebo Shintani L-funkce je zobecněním Funkce Riemann zeta. Nejprve je studoval Takuro Shintani (1976 ). Obsahují Funkce Hurwitz zeta a Funkce Barnes zeta.

Definice

Nechat ${ displaystyle P ( mathbf {x})}$ být polynomem v proměnných ${ displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, tečky, x_ {r})}$ se skutečnými koeficienty takovými ${ displaystyle P ( mathbf {x})}$ je produkt lineárních polynomů s kladnými koeficienty, tj. ${ displaystyle P ( mathbf {x}) = P_ {1} ( mathbf {x}) P_ {2} ( mathbf {x}) cdots P_ {k} ( mathbf {x})}$ , kde

{ displaystyle P_ {i} ( mathbf {x}) = a_ {i1} x_ {1} + a_ {i2} x_ {2} + cdots + a_ {ir} x_ {r} + b_ {i}, }

kde

{ displaystyle a_ {ij}> 0}

,

{ displaystyle b_ {i}> 0}

a

{ displaystyle k = deg P}

. The Funkce Shintani zeta v proměnné

{ displaystyle s}

je dáno (meromorfní pokračování)

{ displaystyle zeta (P; s) = součet _ {x_ {1}, tečky, x_ {r} = 1} ^ { infty} { frac {1} {P ( mathbf {x}) ^ {s}}}.}

Verze s více proměnnými

Definice funkce Shintani zeta má přímou generalizaci funkce zeta v několika proměnných ${ displaystyle (s_ {1}, tečky, s_ {k})}$ dána

{ displaystyle sum _ {x_ {1}, dots, x_ {r} = 1} ^ { infty} { frac {1} {P_ {1} ( mathbf {x}) ^ {s_ {1 }} cdots P_ {k} ( mathbf {x}) ^ {s_ {k}}}}.}

Zvláštní případ, kdy k = 1 je Funkce Barnes zeta.

Vztah k Wittenovým funkcím zeta

Stejně jako funkce Shintani zeta, Witten zeta funkce jsou definovány polynomy, které jsou produkty lineárních forem s nezápornými koeficienty. Wittenovy zeta funkce však nejsou zvláštními případy Shintaniho zeta funkcí, protože ve Wittenových zeta funkcích mohou mít lineární formy některé koeficienty rovné nule. Například polynom ${ displaystyle (x + 1) (y + 1) (x + y + 2) / 2}$ definuje Wittenovu zeta funkci ${ displaystyle SU (3)}$ ale lineární forma ${ displaystyle x + 1}$ má ${ displaystyle y}$ koeficient rovný nule.

Reference

Hida, Haruzo (1993), Základní teorie L-funkcí a Eisensteinova řada, London Mathematical Society Student Texts, 26, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43411-9, PAN 1216135, Zbl 0942.11024
Shintani, Takuro (1976), „O vyhodnocení funkcí zeta zcela reálných algebraických číselných polí v nepozitivních celých číslech“, Časopis Přírodovědecké fakulty. Tokijská univerzita. Oddíl IA. Matematika, 23 (2): 393–417, ISSN 0040-8980, PAN 0427231, Zbl 0349.12007

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.