Složitá kořenová věta o konjugátu - Complex conjugate root theorem
v matematika, komplexní konjugovaná kořenová věta uvádí, že pokud P je polynomiální v jedné proměnné s nemovitý koeficienty, a A + bi je vykořenit z P s A a b reálná čísla, pak jeho komplexní konjugát A − bi je také kořenem P.[1]
Z toho vyplývá (a základní věta o algebře ), že pokud je stupeň skutečného polynomu lichý, musí mít alespoň jeden skutečný kořen.[2] Tuto skutečnost lze prokázat také použitím věta o střední hodnotě.
Příklady a důsledky
- Polynom X2 + 1 = 0 má kořeny ±i.
- Jakékoli skutečné náměstí matice lichého stupně má alespoň jeden skutečný vlastní číslo. Například pokud je matice ortogonální, pak 1 nebo -1 je vlastní hodnota.
- Polynom
- má kořeny
- a lze je tedy započítat jako
- Při výpočtu součinu posledních dvou faktorů se imaginární části zruší a dostaneme
- Nereálné faktory přicházejí ve dvojicích, které po vynásobení dávají kvadratické polynomy se skutečnými koeficienty. Protože každý polynom se složitými koeficienty lze započítat do faktorů 1. stupně (to je jeden ze způsobů vyjádření základní věta o algebře ), z toho vyplývá, že každý polynom se skutečnými koeficienty lze započítat do faktorů stupně ne vyšších než 2: pouze faktorů 1. stupně a kvadratických faktorů.
- Pokud jsou kořeny a + bi a a-bi, tvoří kvadratický
- .
Pokud je třetí kořen C, toto se stává
- .
Důsledek u lichých stupňů polynomů
Vyplývá to ze současné věty a základní věta o algebře že pokud je stupeň skutečného polynomu lichý, musí mít alespoň jeden skutečný kořen.[2]
To lze dokázat následovně.
- Protože nerealistické komplexní kořeny přicházejí v konjugovaných párech, je jich sudý počet;
- Ale polynom lichého stupně má lichý počet kořenů;
- Některé z nich proto musí být skutečné.
To vyžaduje určitou opatrnost za přítomnosti více kořenů; ale komplexní kořen a jeho konjugát mají totéž multiplicita (a tohle lemma není těžké prokázat). Lze to také obejít pouze zvážením neredukovatelné polynomy; jakýkoli skutečný polynom lichého stupně musí mít neredukovatelný faktor lichého stupně, který (bez více kořenů) musí mít skutečný kořen podle výše uvedeného uvažování.
Tento důsledek lze také prokázat přímo pomocí věta o střední hodnotě.
Důkaz
Jeden důkaz věty je následující:[2]
Zvažte polynom
kde všichni Ar jsou skutečné. Předpokládejme nějaké komplexní číslo ζ je kořenem P, to je P(ζ) = 0. Je třeba ukázat, že
také.
Li P(ζ) = 0, tedy
které lze uvést jako
Nyní
a vzhledem k vlastnosti komplexní konjugace,
Od té doby,
z toho vyplývá, že
To znamená,
Toto funguje pouze proto, že Ar jsou skutečné, to znamená, . Pokud by některý z koeficientů byl nereálný, kořeny by nutně nepřišly v konjugovaných párech.
Poznámky
- ^ Anthony G. O'Farell a Gary McGuire (2002). "Složitá čísla, 8.4.2 Složité kořeny skutečných polynomů". Manuál matematické olympiády Maynooth. Logický tisk. str. 104. ISBN 0954426908. Náhled k dispozici na Knihy Google
- ^ A b C Alan Jeffrey (2005). "Analytické funkce". Komplexní analýza a aplikace. CRC Press. s. 22–23. ISBN 158488553X.