Hopf potrubí - Hopf manifold

v složitá geometrie, a Hopf potrubí (Hopf 1948 ) se získá jako podíl komplexu vektorový prostor (bez nuly) ${displaystyle ({mathbb {C}} ^ {n} ackslash 0)}$podle a akce zdarma z skupina ${displaystyle Gamma cong {mathbb {Z}}}$ zcelá čísla, s generátorem ${displaystyle gamma}$ z ${displaystyle Gamma}$ působící holomorfně kontrakce. Tady, a holomorfní kontrakceje mapa ${displaystyle gamma:; {mathbb {C}} ^ {n} mapsto {mathbb {C}} ^ {n}}$taková, že dostatečně velká iterace ${displaystyle; gamma ^ {N}}$mapuje jakékoli dané kompaktní podmnožina z ${displaystyle {mathbb {C}} ^ {n}}$na libovolně malou sousedství 0.

Jsou volána dvourozměrná Hopfova potrubí Hopfovy povrchy.

Příklady

V typické situaci ${displaystyle Gamma}$ je generován lineární kontrakcí, obvykle a diagonální matice ${displaystyle qcdot Id}$, s ${displaystyle qin {mathbb {C}}}$komplexní číslo, ${displaystyle 0 <| q | <1}$. Takový manifold se nazývá klasický Hopfův rozdělovač.

Vlastnosti

Hopfovo potrubí ${displaystyle H: = ({mathbb {C}} ^ {n} ackslash 0) / {mathbb {Z}}}$ je difeomorfní na ${displaystyle S ^ {2n-1} je S ^ {1}}$.Pro ${displaystyle ngeq 2}$, to neníKähler. Ve skutečnosti to není evensymplectic, protože druhá kohomologická skupina je nula.

Struktura hyperkomplexu

Rovnoměrné Hopfovy potrubí připouštíhyperkomplexní struktura Povrch Hopf je jediný kompaktní hyperkomplexní potrubí kvaternionové dimenze 1, která není hyperkähler.

Reference

• Hopf, Heinz (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Studie a eseje předložené R. Courantovi k jeho 60. narozeninám 8. ledna 1948, Interscience Publishers, Inc., New York, s. 167–185, PAN  0023054
• Ornea, Liviu (2001) [1994], „Hopfův rozdělovač“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS