Cauchysova věta (geometrie) - Cauchys theorem (geometry) - Wikipedia

Cauchyova věta je věta v geometrie, pojmenoval podle Augustin Cauchy. Uvádí to konvexní polytopes ve třech rozměrech s shodný odpovídající tváře musí být navzájem shodné. To je kdokoli polyedrická síť vytvořený rozložením ploch mnohostěnu na rovný povrch, spolu s pokyny pro lepení popisujícími, které plochy by měly být navzájem spojeny, jednoznačně určuje tvar původního mnohostěnu. Například pokud je šest čtverců spojeno ve vzoru krychle, musí vytvořit kostku: neexistuje konvexní mnohostěn se šesti čtvercovými plochami spojenými stejným způsobem, který nemá stejný tvar.

Toto je zásadní výsledek v teorie tuhosti: jedním důsledkem věty je, že pokud si člověk vytvoří fyzický model a konvexní mnohostěn spojením pevných desek pro každou z ploch mnohostěnů s pružnými závěsy podél okrajů mnohostěnů, pak tento soubor desek a závěsů nutně vytvoří tuhou strukturu.

Prohlášení

Nechat P a Q být kombinačně ekvivalentní 3-rozměrné konvexní polytopy; to znamená, že jsou konvexní polytopes s izomorfní obličejové mřížky. Předpokládejme dále, že každá dvojice odpovídajících tváří z P a Q jsou navzájem shodné, tj. stejné jako tuhý pohyb. Pak P a Q jsou samy shodné.

Chcete-li zjistit, že je nutná konvexnost, zvažte a pravidelný dvacetistěn. Lze „vtlačit“ vrchol a vytvořit nekonvexní mnohostěn, který je stále kombinatoricky ekvivalentní běžnému dvacetistěnu. Jiným způsobem, jak to vidět, je obejít pětiúhelníkovou pyramidu kolem vrcholu a odrážet ji vzhledem k její základně.

Konvexní pravidelný dvacetistěn

Dějiny

Výsledek vznikl v Euklidova Elementy, kde pevné látky se nazývají stejné, pokud to samé platí pro jejich tváře. Tato verze výsledku byla prokázána Cauchy v roce 1813 na základě dřívější práce Lagrange. Chyba v Cauchyově důkazu hlavního lemmatu byla opravena Ernst Steinitz, Isaac Jacob Schoenberg, a Aleksandr Danilovič Aleksandrov. Opravený důkaz Cauchyho je tak krátký a elegantní, že je považován za jeden z Důkazy z KNIHY.[1]

Zobecnění a související výsledky

  • Výsledek neplatí pro rovinu nebo pro nekonvexní mnohostěn v : existují nekonvexní flexibilní mnohostěn které mají jeden nebo více stupňů volnosti pohybu, které zachovávají tvary jejich tváří. Zejména Bricard octahedra se protínají pružné povrchy objevil francouzský matematik Raoul Bricard v roce 1897. The Connelly koule, flexibilní nekonvexní mnohostěn homeomorfní s 2 sférou, objevil Robert Connelly v roce 1977.[2][3]
  • Ačkoli původně prokázán Cauchy ve třech rozměrech, věta byla rozšířena na dimenze vyšší než 3 o Alexandrov (1950).
  • Cauchyova věta o rigiditě je důsledkem Cauchyho věty o tom, že konvexní polytop nelze deformovat tak, aby jeho tváře zůstaly tuhé.
  • V roce 1974 to Herman Gluck ukázal v určitém přesném smyslu téměř všechny jednoduše připojeno uzavřené povrchy jsou tuhé.[4]
  • Dehnova věta o rigiditě je rozšíření Cauchyho věty o rigiditě na nekonečně tuhou. Tento výsledek byl získán Dehn v roce 1916.
  • Alexandrovova věta o jedinečnosti je výsledkem Alexandrov (1950), zobecňující Cauchyho teorém tím, že ukazuje, že konvexní mnohostěny jsou jedinečně popsány metrické prostory z geodetika na jejich povrchu. Analogickou teorém jedinečnosti pro hladké povrchy prokázal Cohn-Vossen v roce 1927. Pogorelovova věta o jedinečnosti je výsledkem Pogorelov zobecnění obou těchto výsledků a použití na obecně konvexní povrchy.

Reference

  1. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2014). Důkazy z KNIHY. Springer. str. 91–93. ISBN  9783540404606.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  2. ^ Connelly, Robert (1977). „Protiklad k domněnce tuhosti pro mnohostěn“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 47: 333–338. doi:10.1007 / BF02684342. ISSN  0073-8301. S2CID  122968997.
  3. ^ Connelly, Robert (1979). "Tuhost polyhedrálních povrchů". Matematický časopis. 52 (5): 275–283. doi:10.2307/2689778. JSTOR  2689778.
  4. ^ Gluck, Herman (1975). "Téměř všechny jednoduše spojené uzavřené povrchy jsou tuhé". V Glaser, Leslie Curtis; Rushing, Thomas Benjamin (eds.). Geometrická topologie. Přednášky z matematiky. 438. Springer Berlin Heidelberg. str. 225–239. doi:10.1007 / bfb0066118. ISBN  9783540374121.

Citace