Zcela pozitivní mapa - Completely positive map
Mapování C * -algebry zachovávající pozitivní prvky
v matematika A pozitivní mapa je mapa mezi C * -algebry který posílá kladné prvky kladným prvkům. Zcela pozitivní mapa je mapa, která splňuje silnější a robustnější podmínky.
Definice
Nechat
a
být C * -algebry. Lineární mapa
je nazýván pozitivní mapa -li
mapy pozitivní prvky na pozitivní prvky:
.
Libovolná lineární mapa
vyvolá další mapu

přirozeným způsobem. Li
je identifikován pomocí C * -algebry
z
-matrice s položkami v
, pak
působí jako

Říkáme to
je k-pozitivní -li
je pozitivní mapa a
je nazýván zcela pozitivní -li
je k-pozitivní pro všechny k.
Vlastnosti
- Pozitivní mapy jsou monotónní, tj.
pro všechny samoadjung elementy
. - Od té doby
každá pozitivní mapa je automaticky spojitá s ohledem na C * -normy a jejich norma operátora rovná se
. Podobné prohlášení s přibližnými jednotkami platí pro neunitální algebry. - Sada pozitivních funkcionálů
je dvojitý kužel kužele pozitivních prvků
.
Příklady
- Každý *-homomorfismus je zcela pozitivní.
- Pro každého lineárního operátora
mezi Hilbertovými prostory, mapa
je zcela pozitivní. Stinespringova věta říká, že všechny zcela pozitivní mapy jsou skladby * -homomorfismů a těchto speciálních map. - Každý pozitivní funkční
(zejména každý Stát ) je automaticky zcela pozitivní. - Každá pozitivní mapa
je zcela pozitivní. - The transpozice matic je standardní příklad pozitivní mapy, která nemusí být 2-pozitivní. Nechť T označuje tuto mapu
. Toto je pozitivní matice v
: