Věta o dvojitém centralizátoru - Double centralizer theorem

V oboru abstraktní algebra volala teorie prstenů, věta o dvojitém centralizátoru může odkazovat na některý z několika podobných výsledků. Tyto výsledky se týkají centralizátor podřetězce S prstenu R, označeno C_R(S) v tomto článku. Vždy to tak je C_R(C_R(S)) obsahuje Sa věta o dvojitém centralizátoru dává podmínky R a S které to zaručují C_R(C_R(S)) je rovnat se na S.

Výroky věty

Motivace

Centralizátor podřetězce S z R dána

${ displaystyle mathrm {C} _ {R} (S) = {r v R mid rs = sr { text {pro všechny}} s v S }. ,}$

Jasně C_R(C_R(S)) ⊇ S, ale není to vždy tak, že lze říci, že obě sady jsou stejné. Věty o dvojitém centralizátoru poskytují podmínky, za kterých lze usoudit, že dochází k rovnosti.

Existuje další zvláštní případ zájmu. Nechat M mít pravdu R modul a dát M přirozená levice E-modulová struktura, kde E Poslal jsem(M), kruh endomorfismů abelianské skupiny M. Každá mapa m_r dána m_r(X) = xr vytváří aditivní endomorfismus M, to znamená prvek E. Mapa r → m_r je kruhový homomorfismus z R do ringu Ea označujeme obraz R uvnitř E podle R_M. Lze zkontrolovat, zda jádro této kanonické mapy je zničit Ann (M_R). Proto by věta o izomorfismu na prsteny, R_M je izomorfní vůči kvocientovému kruhu R/ Ann (M_R). Jasně kdy M je věrný modul, R a R_M jsou izomorfní kruhy.

Tak teď E je prsten s R_M jako podřetězec a C_E(R_M). Podle definice je možné to zkontrolovat C_E(R_M) = Konec (M_R), prsten z R modul endomorfismů M. Pokud k tomu tedy dojde C_E(C_E(R_M)) = R_M, to je totéž, co říkáte C_E(Konec(M_R)) = R_M.

Centrální jednoduché algebry

Snad nejběžnější verze je verze pro centrální jednoduché algebry, jak je uvedeno v (Knapp 2007, str.115):

Teorém: Pokud A je konečná trojrozměrná centrální jednoduchá algebra nad polem F a B je jednoduchá subalgebra A, pak C_A(C_A(B)) = B, a navíc rozměry uspokojí

${ displaystyle mathrm {dim} _ {F} (B) cdot mathrm {dim} _ {F} ( mathrm {C} _ {A} (B)) = mathrm {dim} _ {F} (A).,}$

Artinian prsteny

Následující zobecněná verze pro Artinian prsteny (které zahrnují konečně-dimenzionální algebry) se objeví v (Isaacs 2009, str. 187). Vzhledem k tomu, jednoduchý R modul U_R, vypůjčíme si notaci z výše uvedené motivační sekce včetně R_U a E= Konec (U). Navíc budeme psát D= Konec (U_R) pro podřetězec E skládající se z R-homomorfismy. Podle Schurovo lemma, D je dělící prsten.

Teorém: Nechte R být správným artinianským prstenem s jednoduchým pravým modulem U_Ra nechte R_U, D a E být uveden jako v předchozím odstavci. Pak

${ displaystyle R_ {U} = mathrm {C} _ {E} ( mathrm {C} _ {E} (R_ {U})) ,}$.

Poznámky

• V této verzi jsou prsteny vybírány se záměrem prokázat Jacobsonova věta o hustotě. Všimněte si, že dochází pouze k závěru, že konkrétní podřetězec má vlastnost centralizer, na rozdíl od centrální verze jednoduché algebry.
• Vzhledem k tomu, že algebry jsou obvykle definovány přes komutativní prstence a všechny výše uvedené prstence mohou být nekomutativní, je jasné, že algebry nemusí být nutně zahrnuty.
• Li U je navíc a věrný modul, aby R je právo primitivní prsten, pak R_U je prsten isomorfní s R.

Polynomiální prsteny identity

V (Rowen 1980, str.154), je uvedena verze pro polynomiální identita kroužky. Zápis Z (R) bude použit k označení střed prstenu R.

Teorém: Pokud R je jednoduchý polynomiální identifikační kruh a A je jednoduchý Z (R) subalgebra z R, pak C_R(C_R(A)) = A.

Poznámky

• Tuto verzi lze považovat za „mezi“ centrální verzí jednoduché algebry a verzí Artinianova kruhu. Je to proto, že jednoduché polynomiální identifikační kruhy jsou Artinian,^[1] ale na rozdíl od Artinian verze, závěr stále odkazuje na všechny centrální jednoduché podřetězce R.

von Neumann Algebras

The Von Neumann bicommutant věta uvádí, že * -subalgebra A algebry omezené operátory B(H) na Hilbertův prostor H je von Neumannova algebra (tj. je slabě uzavřený ) právě tehdy A = C._B(H)C_B(H)(A).

Dvojitá vlastnost centralizátoru

Modul M se říká, že má vlastnost dvojitého centralizátoru nebo být vyvážený modul -li C_E(C_E(R_M)) = R_M, kde E = Konec (M) a R_M jsou uvedeny v části motivace. V této terminologii uvádí věta o dvojitém centralizátoru Artinianův prsten, že jednoduché pravé moduly pro pravé Artinianovy prstence jsou vyvážené moduly.

Poznámky

Reference

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: postgraduální kurz, Postgraduální studium matematiky, 100„Providence, RI: American Mathematical Society, s. Xii + 516, ISBN  978-0-8218-4799-2, PAN  2472787 Dotisk originálu z roku 1994
• Knapp, Anthony W. (2007), Pokročilá algebra, Cornerstones, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., str. Xxiv + 730, ISBN  978-0-8176-4522-9, PAN  2360434
• Rowen, Louis Halle (1980), Polynomiální identity v kruhové teoriiČistá a aplikovaná matematika, 84, New York: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], s. Xx + 365, ISBN  0-12-599850-3, PAN  0576061