Aubin – Lions lemma - Aubin–Lions lemma

v matematika, Aubin – Lions lemma (nebo teorém) je výsledkem teorie Sobolevovy prostory z Banachův prostor -hodnotené funkce, které poskytuje a kompaktnost kritérium, které je užitečné při studiu nelineárního evolučního parciální diferenciální rovnice. K prokázání existence řešení se obvykle nejprve vytvoří přibližná řešení (například pomocí a Galerkinova metoda nebo upokojení rovnice), pak pomocí lemmatu kompaktnosti ukáže, že existuje konvergentní subsekvence přibližných řešení, jejichž limitem je řešení.

Výsledek je pojmenován po francouzština matematici Jean-Pierre Aubin a Jacques-Louis Lions. V původním dokladu Aubina^[1] mezery X₀ a X₁ ve výroku o lemmatu se předpokládalo, že jsou reflexní, ale tento předpoklad byl odstraněn Simonem,^[2] takže výsledek je také označován jako Aubin – Lions – Simonovo lemma.^[3]

Prohlášení o lemmatu

Nechat X₀, X a X₁ být tři Banachovy prostory s X₀ ⊆ X ⊆ X₁. Předpokládejme to X₀ je kompaktně zabudováno v X a to X je průběžně vloženo v X₁. Pro 1 ≤p, q ≤ + ∞, nech

${displaystyle W = {uin L ^ {p} ([0, T]; X_ {0}) uprostřed {tečka {u}} v L ^ {q} ([0, T]; X_ {1})}. }$

(i) Pokud p <+ ∞, pak vložení Ž do L^p([0, T]; X) je kompaktní.

(ii) Pokud p = + ∞ a q > 1, pak vložení Ž do C([0, T]; X) je kompaktní.

Viz také

• Lions – Magenesovo lemma

Poznámky

Reference

• Aubin, Jean-Pierre (1963). „Un théorème de compacité. (Francouzsky)“. C. R. Acad. Sci. Paříž. 256. 5042–5044. PAN  0152860.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Barrett, John W .; Süli, Endre (2012). "Úvahy o Dubinskiiho nelineární kompaktní větě o vložení". Publikace de l'Institut Mathématique (Bělehrad) (N.S.). 91 (105): 95–110. PAN  2963813.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Boyer, Franck; Fabrie, Pierre (2013). Matematické nástroje pro studium nestlačitelných Navier-Stokesových rovnic a souvisejících modelů. Aplikované matematické vědy 183. New York: Springer. 102–106. ISBN  978-1-4614-5975-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (Věta II.5.16)
• Lions, J.L. (1969). Quelque metody řešení problémů bez omezení lineaaires. Paříž: Dunod-Gauth. Vill. PAN  0259693.
• Roubíček, T. (2013). Nelineární parciální diferenciální rovnice s aplikacemi (2. vyd.). Basilej: Birkhäuser. ISBN  978-3-0348-0512-4. (Oddíl 7.3)
• Showalter, Ralph E. (1997). Monotónní operátory v Banachově prostoru a nelineární parciální diferenciální rovnice. Matematické průzkumy a monografie 49. Providence, RI: American Mathematical Society. str. 106. ISBN  0-8218-0500-2. PAN  1422252. (Návrh III.1.3)
• Simon, J. (1986). "Kompaktní soupravy v prostoru L^p(O, T; B) ". Annali di Matematica Pura ed Applicata. 146: 65–96. PAN  0916688.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Chen, X .; Jüngel, A .; Liu, J.-G. (2014). "Poznámka k lemům Aubin-Lions-Dubinskii". Acta Appl. Matematika. 133. 33–43. PAN  3255076.