Lions – Magenesovo lemma - Lions–Magenes lemma

v matematika, Lions – Magenesovo lemma (nebo teorém) je výsledkem teorie Sobolevovy prostory z Banachův prostor -hodnotové funkce, které poskytují kritérium pro přesunutí časové derivace funkce z její akce (jako funkční) na samotnou funkci.

Prohlášení o lemmatu

Nechat X₀, X a X₁ být tři Hilbertovy prostory s X₀ ⊆ X ⊆ X₁. Předpokládejme to X₀ je průběžně vloženo v X a to X je průběžně vloženo v X₁, a to X₁ je dvojí prostor X₀. Označte normu X od || · ||_Xa označují akci X₁ na X₀ podle ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ . Předpokládejme, že pro některé ${ displaystyle T> 0}$ že ${ displaystyle u in L ^ {2} ([0, T]; X_ {0})}$ je takový, že jeho časová derivace ${ displaystyle { dot {u}} v L ^ {2} ([0, T]; X_ {1})}$ . Pak ${ displaystyle u}$ je téměř všude rovno funkci spojité z ${ displaystyle [0, T]}$ do ${ displaystyle X}$ , a navíc následující rovnost platí ve smyslu skalární distribuce na ${ displaystyle (0, T)}$ :

{ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {d} {dt}} | u | _ {X} ^ {2} = langle { dot {u}}, u rangle }

Výše uvedená nerovnost má smysl, protože funkce

{ displaystyle t rightarrow | u | _ {X} ^ {2}, quad t rightarrow langle { dot {u}} (t), u (t) rangle}

jsou oba integrovatelné ${ displaystyle [0, T]}$ .

Viz také

Aubin – Lions lemma

Poznámky

Je důležité si uvědomit, že toto lemma se nevztahuje na případ, kdy ${ displaystyle u in L ^ {p} ([0, T]; X_ {0})}$ je takový, že jeho časová derivace ${ displaystyle { dot {u}} v L ^ {q} ([0, T]; X_ {1})}$ pro ${ displaystyle p neq 2}$ , ${ displaystyle q neq 2}$ . Například energetická rovnost pro 3-dimenzionální Navier-Stokesovy rovnice není známo, že platí pro slabá řešení, protože slabé řešení ${ displaystyle u}$ je známo, že uspokojuje ${ displaystyle u in L ^ {2} ([0, T]; H ^ {1})}$ a ${ displaystyle { dot {u}} v L ^ {4/3} ([0, T]; H ^ {- 1})}$ (kde ${ displaystyle H ^ {1}}$ je Sobolevův prostor, a ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ je jeho dvojí prostor, což nestačí k použití lemmu Lions – Magnes (jeden by potřeboval ${ displaystyle { dot {u}} v L ^ {2} ([0, T]; H ^ {- 1})}$ , ale není známo, že to platí pro slabá řešení). ^[1]