Apéryova věta - Apérys theorem - Wikipedia

v matematika, Apéryho věta je výsledkem v teorie čísel který uvádí Apéryho konstanta ζ (3) je iracionální. To je číslo

${ displaystyle zeta (3) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {3}}} = { frac {1} {1 ^ {3}} } + { frac {1} {2 ^ {3}}} + { frac {1} {3 ^ {3}}} + ldots = 1,2020569 ldots}$

nelze zapsat jako zlomek p/q kde p a q jsou celá čísla. Věta je pojmenována po Roger Apéry.

Zvláštní hodnoty Funkce Riemann zeta na dokonce celá čísla 2n (n > 0) lze zobrazit z hlediska Bernoulliho čísla být iracionální, zatímco zůstává otevřené, zda jsou hodnoty funkce obecně Racionální nebo ne na zvláštní celá čísla 2n + 1 (n > 1) (i když jsou domnělý být iracionální).

Dějiny

Euler dokázal, že pokud n je tedy kladné celé číslo

${ displaystyle { frac {1} {1 ^ {2n}}} + { frac {1} {2 ^ {2n}}} + { frac {1} {3 ^ {2n}}} + { frac {1} {4 ^ {2n}}} + ldots = { frac {p} {q}} pi ^ {2n}}$

pro nějaké racionální číslo p/q. Konkrétně, psaní nekonečné řady nalevo jako 2 (2n) ukázal

${ displaystyle zeta (2n) = (- 1) ^ {n + 1} { frac {B_ {2n} (2 pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}$

Kde B_n jsou racionální Bernoulliho čísla. Jakmile bylo prokázáno, že πⁿ je vždy iracionální, ukázalo se, že ζ (2n) je iracionální pro všechna kladná celá čísla n.

Žádná taková reprezentace ve smyslu π není známa pro tzv konstanty zeta u lichých argumentů jsou hodnoty ζ (2n + 1) pro kladná celá čísla n. Předpokládalo se, že poměry těchto veličin

${ displaystyle { frac { zeta (2n + 1)} { pi ^ {2n + 1}}},}$

jsou transcendentální pro každé celé číslo n ≥ 1.^[1]

Z tohoto důvodu nebyl nalezen žádný důkaz, který by ukázal, že konstanty zeta s lichými argumenty byly iracionální, přestože byly (a stále jsou) všechny považovány za transcendentální. V červnu 1978 však Roger Apéry přednesl přednášku s názvem „Sur l'irrationalité de ζ (3).“ V průběhu přednášky nastínil důkazy o tom, že ζ (3) a ζ (2) jsou iracionální, přičemž metody druhé using (3) jsou iracionální, přičemž metody využívající metody zjednodušené oproti metodám používaným k řešení těchto problémů spíše než spoléhání se na výraz ve smyslu π. Kvůli zcela neočekávané povaze výsledku a Apéryho blasému a velmi povrchnímu přístupu k tématu mnoho matematiků v publiku odmítlo důkaz jako chybný. nicméně Henri Cohen, Hendrik Lenstra, a Alfred van der Poorten podezření, že Apéry něco podnikl, a vydal se potvrdit svůj důkaz. O dva měsíce později dokončili ověření Apéryho důkazu a 18. srpna přednesl Cohen přednášku s podrobnými informacemi o důkazu. Po přednášce sám Apéry vystoupil na pódium, aby vysvětlil zdroj některých svých nápadů.^[2]

Apéryho důkaz

Apéryho původní důkaz^[3][4] bylo založeno na dobře známém kritériu iracionality z Peter Gustav Lejeune Dirichlet, který říká, že číslo ξ je iracionální, pokud jich je nekonečně mnoho coprime celá čísla p a q takhle

${ displaystyle left | xi - { frac {p} {q}} vpravo | <{ frac {c} {q ^ {1+ delta}}}}$

pro některé pevné C, 8> 0.

Výchozím bodem pro Apéryho byla sériová reprezentace ζ (3) as

${ displaystyle zeta (3) = { frac {5} {2}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {3} { binom {2n} {n}}}}.}$

Zhruba řečeno, Apéry pak definoval a sekvence C_n,k který konverguje k ζ (3) přibližně tak rychle jako výše uvedená řada, konkrétně

${ displaystyle c_ {n, k} = součet _ {m = 1} ^ {n} { frac {1} {m ^ {3}}} + součet _ {m = 1} ^ {k} { frac {(-1) ^ {m-1}} {2m ^ {3} { binom {n} {m}} { binom {n + m} {m}}}}.}$

Poté definoval další dvě sekvence A_n a b_n které zhruba mají podíl C_n,k. Tyto sekvence byly

${ displaystyle a_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} c_ {n, k} { binom {n} {k}} ^ {2} { binom {n + k} {k }} ^ {2}}$

a

${ displaystyle b_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ^ {2} { binom {n + k} {k}} ^ {2} .}$

Sekvence A_n /b_n konverguje na ζ (3) dostatečně rychle, aby bylo možné použít kritérium, ale bohužel A_n není celé číslo po n = 2. Apéry to však ukázal i po znásobení A_n a b_n vhodným celým číslem k vyléčení tohoto problému byla konvergence stále dostatečně rychlá, aby zaručila iracionalitu.

Pozdější důkazy

Během jednoho roku od Apéryho výsledku našel alternativní důkaz Frits Beukers,^[5] který nahradil Apéryho sérii integrály zahrnující posunul legendární polynomy ${ displaystyle { tilde {P_ {n}}} (x)}$. Použití reprezentace, která by později byla zobecněna na Hadjicostasův vzorec, Beukers to ukázal

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {- log (xy)} {1-xy}} { tilde {P_ {n}}} (x) { tilde {P_ {n}}} (y) dxdy = { frac {A_ {n} + B_ {n} zeta (3)} { operatorname {lcm} left [1, ldots , n vpravo] ^ {3}}}}$

pro některá celá čísla A_n a B_n (sekvence OEIS: A171484 a OEIS: A171485). Pomocí částečné integrace a předpokladu, že ζ (3) bylo racionální a stejné A/b, Beukers nakonec odvodil nerovnost

${ displaystyle 0 <{ frac {1} {b}} leq left | A_ {n} + B_ {n} zeta (3) right | leq 4 left ({ frac {4} { 5}} vpravo) ^ {n},}$

což je rozpor protože výraz nejvíce vpravo má tendenci k nule a tak musí nakonec klesnout pod 1 /b.

Novější důkaz od Wadim Zudilin více připomíná Apéryho původní důkaz,^[6] a má také podobnosti se čtvrtým důkazem od Jurij Nesterenko.^[7] Tyto pozdější důkazy opět odvozují rozpor z předpokladu, že ζ (3) je racionální konstrukcí sekvencí, které mají sklon k nule, ale jsou níže omezeny nějakou pozitivní konstantou. Jsou o něco méně transparentní než dřívější důkazy, protože se na ně spoléhají hypergeometrická řada.

Vyšší zeta konstanty

Apéry a Beukers mohli zjednodušit své důkazy pro práci na ζ (2) také díky reprezentaci série

${ displaystyle zeta (2) = 3 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2} { binom {2n} {n}}}}.}$

Vzhledem k úspěchu Apéryho metody bylo provedeno hledání řady ξ₅ s majetkem, který

${ displaystyle zeta (5) = xi _ {5} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {5} { binom {2n} {n}}}}.}$

Pokud takový ξ₅ Byly nalezeny metody použité k prokázání Apéryho věty, že budou fungovat na důkazu, že ζ (5) je iracionální. Bohužel rozsáhlé prohledávání počítače^[8] se nepodařilo najít takovou konstantu a ve skutečnosti je nyní známo, že pokud ξ₅ existuje a pokud se jedná o algebraické číslo stupně nejvýše 25, pak koeficienty v jeho minimální polynom musí být enormní, alespoň 10³⁸³, takže se zdá, že rozšíření Apéryho důkazu na práci na vyšších lichých konstantách zeta pravděpodobně nebude fungovat.

Navzdory tomu mnoho matematiků pracujících v této oblasti někdy brzy očekává průlom.^{[když? ][9]} Opravdu, nedávná práce od Wadim Zudilin a Tanguy Rivoal ukázal, že nekonečně mnoho čísel ζ (2n + 1) musí být iracionální,^[10] a dokonce i to, že alespoň jedno z čísel ζ (5), ζ (7), ζ (9) a ζ (11) musí být iracionální.^[11] Jejich práce využívá lineární formy v hodnotách funkce zeta a odhaduje na ně, aby vázaly dimenze a vektorový prostor překlenuto hodnotami funkce zeta u lichých celých čísel. Naděje, že by Zudilin mohl svůj seznam dále zkrátit pouze na jedno číslo, se nenaplnily, ale práce na tomto problému je stále aktivní oblastí výzkumu. Vyšší zeta konstanty mají uplatnění ve fyzice: popisují korelační funkce v kvantové spinové řetězce.^[12]

Reference

externí odkazy

• Huylebrouck, Dirk (2001). „Podobnosti v důkazech iracionality pro π, ln2, ζ (2) a ζ (3)“ (PDF). Amer. Matematika. Měsíční. 108 (3): 222–231. doi:10.2307/2695383. JSTOR  2695383.