Analytická Fredholmova věta - Analytic Fredholm theorem

v matematika, analytická Fredholmova věta je výsledek týkající se existence ohraničený inverze pro rodinu ohraničených lineárních operátorů na a Hilbertův prostor. Je základem dvou klasických a důležitých vět, Fredholmova alternativa a Věta Hilbert – Schmidt. Výsledek je pojmenován po švédský matematik Erik Ivar Fredholm.

Výrok věty

Nechat G ⊆ C být doménou (an otevřeno a připojená sada ). Nechť (H, ⟨,⟩) Být a nemovitý nebo komplex Hilbertův prostor a nechte Lin (H) označuje prostor ohraničené lineární operátory z H do sebe; nechat Já označit operátor identity. Nechat B : G → Lin (H) být takové mapování

• B je analytický G v tom smyslu, že omezit

${displaystyle lim _ {lambda o lambda _ {0}} {frac {B (lambda) -B (lambda _ {0})} {lambda -lambda _ {0}}}}$

existuje pro všechny λ₀ ∈ G; a

• operátor B(λ) je kompaktní operátor pro každého λ ∈ G.

Pak buď

• (Já − B(λ))⁻¹ pro žádnou neexistuje λ ∈ G; nebo
• (Já − B(λ))⁻¹ existuje pro každého λ ∈ G  S, kde S je diskrétní podmnožina z G (tj., S nemá žádný mezní body v G). V tomto případě funkce převzetí λ do (Já − B(λ))⁻¹ je analytický G  S a pokud λ ∈ S, pak rovnice

${displaystyle B (lambda) psi = psi}$

má konečně-dimenzionální rodinu řešení.

Reference

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. str. 266. ISBN  0-387-00444-0. (Věta 8,92)