Whipple vzorce - Whipple formulae

V teorii speciální funkce, Whippleova transformace pro Legendární funkce, pojmenoval podle Francis John Welsh Whipple, vyplývají z obecného výrazu, týkajícího se související funkce Legendre. Tyto vzorce byly dříve představeny z hlediska zaměřeného na sférické harmonické, nyní, když se na rovnice díváme z hlediska toroidní souřadnice, vznikají zcela nové symetrie funkcí Legendre.

Pro přidružené funkce Legendre prvního a druhého druhu

${displaystyle P _ {- mu - {frac {1} {2}}} ^ {- u - {frac {1} {2}}} {iggl (} {frac {z} {sqrt {z ^ {2} - 1}}} {iggr)} = {frac {(z ^ {2} -1) ^ {1/4} e ^ {- imu pi} Q_ {u} ^ {mu} (z)} {(pi / 2) ^ {1/2} Gama (u + mu +1)}}}$

a

${displaystyle Q _ {- mu - {frac {1} {2}}} ^ {- u - {frac {1} {2}}} {iggl (} {frac {z} {sqrt {z ^ {2} - 1}}} {iggr)} = - i (pi / 2) ^ {1/2} Gamma (-u -mu) (z ^ {2} -1) ^ {1/4} e ^ {- iu pi } P_ {u} ^ {mu} (z).}$

Tyto výrazy jsou platné pro všechny parametry ${displaystyle u, mu,}$ a ${displaystyle z}$. Posunutím komplexního stupně a pořadí vhodným způsobem získáme Whippleovy vzorce pro obecnou komplexní výměnu indexů obecně souvisejících Legendrových funkcí prvního a druhého druhu. Ty jsou dány

${displaystyle P_ {u - {frac {1} {2}}} ^ {mu} (z) = {frac {{sqrt {2}} Gamma (mu -u + {frac {1} {2}})} {pi ^ {3/2} (z ^ {2} -1) ^ {1/4}}} {iggl [} pi sin mu pi P_ {mu - {frac {1} {2}}} ^ {u } {iggl (} {frac {z} {sqrt {z ^ {2} -1}}} {iggr)} + ​​cos pi (u + mu) e ^ {- iu pi} Q_ {mu - {frac {1 } {2}}} ^ {u} {iggl (} {frac {z} {sqrt {z ^ {2} -1}}} {iggr)} {iggr]}}$

a

${displaystyle Q_ {u - {frac {1} {2}}} ^ {mu} (z) = {frac {e ^ {imu pi} Gamma (mu -u + {frac {1} {2}}) ( pi / 2) ^ {1/2}} {(z ^ {2} -1) ^ {1/4}}} {iggl [} P_ {mu - {frac {1} {2}}} ^ {u } {iggl (} {frac {z} {sqrt {z ^ {2} -1}}} {iggr)} - {frac {2} {pi}} e ^ {- iu pi} sin u pi Q_ {mu - {frac {1} {2}}} ^ {u} {iggl (} {frac {z} {sqrt {z ^ {2} -1}}} {iggr)} {iggr]}.}$

Všimněte si, že tyto vzorce se chovají dobře pro všechny hodnoty stupně a řádu, kromě těch s celočíselnými hodnotami. Pokud však zkoumáme tyto vzorce pro toroidní harmonické, tj. Kde je stupeň poloviční celé číslo, je pořadí celé číslo a argument je pozitivní a větší než jednota, kterou člověk získá

${displaystyle P_ {m- {frac {1} {2}}} ^ {n} (cosh eta) = {frac {(-1) ^ {m}} {Gamma (m-n + {frac {1} {2 }})}} {sqrt {frac {2} {pi sinh eta}}} Q_ {n- {frac {1} {2}}} ^ {m} (coth eta)}$

a

${displaystyle Q_ {m- {frac {1} {2}}} ^ {n} (cosh eta) = {frac {(-1) ^ {m} pi} {gama (m-n + {frac {1} { 2}})}} {sqrt {frac {pi} {2sinh eta}}} P_ {n- {frac {1} {2}}} ^ {m} (coth eta)}$.

Toto jsou Whippleovy vzorce pro toroidní harmonické. Ukazují důležitou vlastnost toroidních harmonických pod výměnou indexu (celá čísla spojená s řádem a stupněm).

externí odkazy

• [1]

Reference

• Cohl, Howard S .; J. E. Tohline; A.R.P. Rau; H.M. Srivastava (2000). "Vývoj v určování gravitačního potenciálu pomocí toroidních funkcí". Astronomische Nachrichten. 321 (5/6): 363–372. Bibcode:2000AN .... 321..363C. doi:10.1002 / 1521-3994 (200012) 321: 5/6 <363 :: AID-ASNA363> 3.0.CO; 2-X.