Stokesův tok - Stokes flow

Objekt pohybující se skrz plyn nebo kapalinu zažívá a platnost ve směru opačném k jeho pohybu. Konečná rychlost je dosaženo, když je tažná síla stejná co do velikosti, ale opačná ve směru k síle pohánějící objekt. Zobrazeno je a koule v průtoku Stokes, velmi nízký Reynoldsovo číslo.

Stokesův tok (pojmenoval podle George Gabriel Stokes ), také pojmenovaný plíživý tok nebo plíživý pohyb,^[1] je typ proudění tekutin kde advective setrvačný síly jsou malé ve srovnání s viskózní síly.^[2] The Reynoldsovo číslo je nízká, tj. ${ displaystyle mathrm {Re} ll 1}$. Jedná se o typickou situaci v tokech, kde jsou rychlosti kapalin velmi pomalé, viskozity velmi velké nebo jsou délkové stupnice toku velmi malé. Plíživý tok byl nejprve studován, aby pochopil mazání. V přírodě se tento typ proudění vyskytuje při plavání mikroorganismy a spermie^[3] a tok láva. V technologii se vyskytuje v malovat, MEMS zařízení a v toku viskózní polymery obvykle.

Pohybové rovnice pro Stokesův tok, nazývané Stokesovy rovnice, jsou a linearizace z Navier-Stokesovy rovnice, a lze jej tedy vyřešit řadou známých metod pro lineární diferenciální rovnice.^[4] Primární Greenova funkce toku Stokes je Stokeslet, která je spojena se silou singulárního bodu vloženou do Stokesova toku. Z jejích derivátů jiné zásadní řešení lze získat.^[5] Stokeslet byl nejprve odvozen nositelem Nobelovy ceny Hendrik Lorentz již v roce 1896. Navzdory svému jménu Stokes o Stokesletovi nikdy nevěděl; název vytvořil Hancock v roce 1953. Uzavřená forma zásadní řešení pro zobecněné nestabilní Stokesovy a Oseen flows spojené s libovolnými časově závislými translačními a rotačními pohyby byly odvozeny pro Newtonian^[6] a mikropolární^[7] tekutiny.

Stokesovy rovnice

Pohybovou rovnici pro Stokesův tok lze získat linearizací ustálený stav Navier-Stokesovy rovnice. Předpokládá se, že setrvačné síly jsou ve srovnání s viskózními silami zanedbatelné a eliminace setrvačných podmínek rovnováhy hybnosti v rovinách Navier-Stokes ji redukuje na rovnováhu hybnosti ve Stokesových rovnicích:^[1]

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot sigma + mathbf {f} = { boldsymbol {0}}}$

kde ${ displaystyle sigma}$ je stres (součet viskózních a tlakových napětí),^[8][9] a ${ displaystyle mathbf {f}}$ použitá síla těla. Plné Stokesovy rovnice také zahrnují rovnici pro zachování hmoty, běžně psané ve formě:

${ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + nabla cdot ( rho mathbf {u}) = 0}$

kde ${ displaystyle rho}$ je hustota kapaliny a ${ displaystyle mathbf {u}}$ rychlost tekutiny. Pro získání pohybových rovnic pro nestlačitelné proudění se předpokládá, že hustota, ${ displaystyle rho}$, je konstanta.

Kromě toho lze občas uvažovat o nestabilních Stokesových rovnicích, ve kterých je tento termín ${ displaystyle rho { frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}}}$ se přidá k levé straně rovnice rovnováhy hybnosti.^[1]

Vlastnosti

Stokesovy rovnice představují značné zjednodušení v plném rozsahu Navier-Stokesovy rovnice, zejména v nestlačitelném newtonovském případě.^[2][4][8][9] Jsou to vedoucí pořadí zjednodušení úplných Navier-Stokesových rovnic, platných v rozlišující limit ${ displaystyle mathrm {Re} na 0.}$

Okamžitost

Tok Stokes nemá žádnou závislost na čase jinou než časově závislou okrajové podmínky. To znamená, že vzhledem k okrajovým podmínkám Stokesova toku lze tok najít bez znalosti toku kdykoli jindy.

Časová reverzibilita

Okamžitý důsledek okamžitosti, časová reverzibilita znamená, že časově obrácený Stokesův tok řeší stejné rovnice jako původní Stokesův tok. Tuto vlastnost lze někdy použít (ve spojení s linearitou a symetrií v okrajových podmínkách) k odvození výsledků o toku bez jeho úplného řešení. Časová reverzibilita znamená, že je obtížné smíchat dvě tekutiny pomocí plazivého toku.

Časová reverzibilita Stokesových toků: Barvivo bylo vstřikováno do viskózní kapaliny vložené mezi dva soustředné válce (horní panel). Válec s jádrem se poté otáčí, aby se barvivo rozřezalo na spirálu při pohledu shora. Zdá se, že barvivo je smícháno s tekutinou při pohledu z boku (střední panel). Otáčení je poté obráceno, čímž se válec vrátí do původní polohy. Barvivo „unmixuje“ (spodní panel). Zvrat není dokonalý, protože dochází k určité difúzi barviva.^[10][11]

I když tyto vlastnosti platí pro nestlačitelné Newtonovské Stokesovy toky, nelineární a někdy časově závislá povaha nenewtonské tekutiny znamená, že v obecnějším případě neplatí.

Stokesův paradox

Zajímavá vlastnost Stokesova toku je známá jako Stokesův paradox: že nemůže existovat žádný Stokesův tok tekutiny kolem disku ve dvou rozměrech; nebo ekvivalentně skutečnost, že pro Stokesovy rovnice kolem nekonečně dlouhého válce neexistuje netriviální řešení.^[12]

Demonstrace časové reverzibility

A Systém Taylor – Couette může vytvářet laminární proudy, ve kterých se soustředné válce tekutiny pohybují kolem sebe ve zjevné spirále.^[13] Tekutina, jako je kukuřičný sirup, s vysokou viskozitou vyplňuje mezeru mezi dvěma válci, přičemž přes průhledný vnější válec jsou viditelné barevné oblasti tekutiny. Válce se navzájem otáčejí nízkou rychlostí, což společně s vysokou viskozitou tekutina a tenkost mezery dává minimum Reynoldsovo číslo, takže zjevné míchání barev je ve skutečnosti laminární a poté jej lze vrátit přibližně do počátečního stavu. Tím se vytvoří dramatická ukázka zdánlivého promíchání tekutiny a jejího smíchání obrácením směru směšovače.^[14][15][16]

Nestlačitelný tok newtonských tekutin

V běžném případě nestlačitelného Newtonovská tekutina, Stokesovy rovnice mají (vektorizovanou) formu:

${ displaystyle { begin {aligned} mu nabla ^ {2} mathbf {u} - { boldsymbol { nabla}} p + mathbf {f} & = { boldsymbol {0}} { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {u} & = 0 end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mathbf {u}}$ je rychlost tekutiny, ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} p}$ je gradient tlak, ${ displaystyle mu}$ je dynamická viskozita a ${ displaystyle mathbf {f}}$ použitá síla těla. Výsledné rovnice jsou lineární rychlostí a tlakem, a proto mohou využívat řadu řešení lineárních diferenciálních rovnic.^[4]

Kartézské souřadnice

S vektorem rychlosti rozšířeným jako ${ displaystyle mathbf {u} = (u, v, w)}$ a podobně vektor síly těla ${ displaystyle mathbf {f} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$, můžeme rovnici vektoru napsat explicitně,

${ displaystyle { begin {aligned} mu left ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné z ^ {2}}} pravé) - { frac { částečné p} { částečné x}} + f_ {x} & = 0 mu left ({ frac { částečné ^ {2} v} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} v} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} v} { částečné z ^ {2}}} vpravo) - { frac { částečné p} { částečné y} } + f_ {y} & = 0 mu left ({ frac { částečné ^ {2} w} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} w } { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} w} { částečné z ^ {2}}} vpravo) - { frac { částečné p} { částečné z }} + f_ {z} & = 0 { částečné u nad částečné x} + { částečné v přes částečné y} + { částečné w přes částečné z} & = 0 konec { zarovnaný}}}$

K těmto rovnicím dospějeme vytvořením předpokladů ${ displaystyle mathbb {P} = mu left ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}) ^ { mathsf {T} } right) -p mathbb {I}}$ a hustota ${ displaystyle rho}$ je konstanta.^[8]

Metody řešení

Funkce stream

Rovnici pro nestlačitelný Newtonovský Stokesův tok lze vyřešit pomocí funkce streamu metoda v rovinných nebo ve 3-D osově symetrických případech

Typ funkce	Geometrie	Rovnice	Komentáře
Funkce streamu, ${ displaystyle psi}$	2D planární	${ displaystyle nabla ^ {4} psi = 0}$ nebo ${ displaystyle Delta ^ {2} psi = 0}$ (biharmonická rovnice )	${ displaystyle Delta}$ je Laplacian operátor ve dvou rozměrech
Funkce Stokesova proudu, ${ displaystyle Psi}$	3D sférické	${ displaystyle E ^ {2} Psi = 0,}$ kde ${ displaystyle E = { částečné ^ {2} nad částečné r ^ {2}} + { sin { theta} nad r ^ {2}} { částečné nad částečné theta} vlevo ({1 over sin { theta}} { částečné over částečné theta} pravé)}$	Pro odvození ${ displaystyle E}$ operátor viz Funkce Stokesova streamu # Vorticity
	3-D válcový	${ displaystyle L _ {- 1} ^ {2} Psi = 0,}$ kde ${ displaystyle L _ {- 1} = { frac { částečné ^ {2}} { částečné z ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2}} { částečné rho ^ {2 }}} - { frac {1} { rho}} { frac { částečné} { částečné rho}}}$	Pro ${ displaystyle L _ {- 1}}$ vidět [17]

Podle Greenovy funkce: Stokeslet

Linearita Stokesových rovnic v případě nestlačitelné newtonovské tekutiny znamená, že a Greenova funkce, ${ displaystyle mathbb {J} ( mathbf {r})}$, existuje. Greenova funkce je nalezena řešením Stokesových rovnic s nuceným členem nahrazeným bodovou silou působící na počátek a okrajovými podmínkami mizejícími v nekonečnu:

${ displaystyle { begin {aligned} mu nabla ^ {2} mathbf {u} - { boldsymbol { nabla}} p & = - mathbf {F} cdot mathbf { delta} ( mathbf {r}) { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {u} & = 0 | mathbf {u} |, p & to 0 quad { mbox {as}} quad r to infty end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mathbf { delta} ( mathbf {r})}$ je Diracova delta funkce, a ${ displaystyle mathbf {F} cdot delta ( mathbf {r})}$ představuje bodovou sílu působící v počátku. Řešení tlaku str a rychlost u s |u| a str mizející v nekonečnu je dáno^[1]

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {r}) = mathbf {F} cdot mathbb {J} ( mathbf {r}), qquad p ( mathbf {r}) = { frac { mathbf {F} cdot mathbf {r}} {4 pi | mathbf {r} | ^ {3}}}}$

kde

${ displaystyle mathbb {J} ( mathbf {r}) = {1 nad 8 pi mu} vlevo ({ frac { mathbb {I}} {| mathbf {r} |}} + { frac { mathbf {r} mathbf {r}} {| mathbf {r} | ^ {3}}} vpravo)}$ je druhořadý tenzor (nebo přesněji tenzorové pole ) známý jako Oseen tensor (po Carl Wilhelm Oseen ).^{[je zapotřebí objasnění ]}

K popisu se používají termíny Stokeslet a řešení bodové síly ${ displaystyle mathbf {F} cdot mathbb {J} ( mathbf {r})}$. Analogicky k bodovému nabíjení elektrostatika, Stokeslet je bez síly všude kromě původu, kde obsahuje sílu síly ${ displaystyle mathbf {F}}$.

Pro spojité rozložení sil (hustota) ${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {r})}$ řešení (opět mizející v nekonečnu) lze poté zkonstruovat superpozicí:

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {r}) = int mathbf {f} left ( mathbf {r '} right) cdot mathbb {J} left ( mathbf {r} - mathbf {r '} vpravo) mathrm {d} mathbf {r'}, qquad p ( mathbf {r}) = int { frac { mathbf {f} vlevo ( mathbf { r '} right) cdot left ( mathbf {r} - mathbf {r'} right)} {4 pi left | mathbf {r} - mathbf {r '} right | ^ {3}}} , mathrm {d} mathbf {r '}}$

Na toto integrální vyjádření rychlosti lze pohlížet jako na redukci rozměrnosti: od trojrozměrné parciální diferenciální rovnice po dvourozměrnou integrální rovnici pro neznámé hustoty.^[1]

Řešení Papkovich – Neuber

The Papkovich – Neuberovo řešení představuje rychlostní a tlakové pole nestlačitelného newtonovského Stokesova toku ve smyslu dvou harmonický potenciály.

Metodou hraničních prvků

Určité problémy, jako je vývoj tvaru bubliny v Stokesově toku, vedou k numerickému řešení pomocí metoda hraničních prvků. Tuto techniku ​​lze aplikovat na 2- i 3-dimenzionální toky.

Některé geometrie

Tok Hele-Shaw

Tok Hele-Shaw je příklad geometrie, pro kterou jsou setrvačné síly zanedbatelné. Je definován dvěma rovnoběžnými deskami uspořádanými velmi těsně vedle sebe mezi prostorem desek obsazeným částečně tekutinou a částečně překážkami ve formě válců s generátory kolmými k deskám.^[8]

Teorie štíhlého těla

Teorie štíhlého těla v Stokesově toku je jednoduchá přibližná metoda určení pole irrotačního toku kolem těles, jejichž délka je velká ve srovnání s jejich šířkou. Základem metody je zvolit rozdělení singularit proudění podél linie (protože tělo je štíhlé) tak, aby jejich irrotační tok v kombinaci s rovnoměrným proudem přibližně vyhovoval podmínce nulové normální rychlosti.^[8]

Sférické souřadnice

jehněčí Obecné řešení vychází ze skutečnosti, že tlak ${ displaystyle p}$ uspokojuje Laplaceova rovnice, a lze je rozšířit v sérii pevných látek sférické harmonické ve sférických souřadnicích. Ve výsledku lze napsat řešení Stokesových rovnic:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {u} & = sum _ {n = - infty, n neq 1} ^ {n = infty} left [{ frac {(n + 3) r ^ {2} nabla p_ {n}} {2 mu (n + 1) (2n + 3)}} - { frac {n mathbf {x} p_ {n}} { mu (n + 1) (2n + 3)}} right] + sum _ {n = - infty} ^ {n = infty} [ nabla Phi _ {n} + nabla times ( mathbf {x} chi _ {n})] p & = sum _ {n = - infty} ^ {n = infty} p_ {n} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle p_ {n}, Phi _ {n},}$ a ${ displaystyle chi _ {n}}$ jsou pevné sférické harmonické řádu ${ displaystyle n}$:

${ displaystyle { begin {aligned} p_ {n} & = r ^ {n} sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} ( cos theta) (a_ {mn} cos m phi + { tilde {a}} _ {mn} sin m phi) Phi _ {n} & = r ^ {n} sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} ( cos theta) (b_ {mn} cos m phi + { tilde {b}} _ {mn} sin m phi) chi _ {n} & = r ^ {n} sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} ( cos theta) (c_ {mn} cos m phi + { tilde {c}} _ {mn} sin m phi) end {zarovnáno}}}$

a ${ displaystyle P_ {n} ^ {m}}$ jsou související legendární polynomy. Jehněčí řešení lze použít k popisu pohybu tekutiny uvnitř nebo vně koule. Lze jej například použít k popisu pohybu tekutiny kolem sférické částice s předepsaným povrchovým tokem, tzv. veverka, nebo popsat tok uvnitř sférické kapky tekutiny. Pro vnitřní toky platí výrazy s ${ displaystyle n <0}$ jsou vypuštěny, zatímco pro vnější toky jsou výrazy s ${ displaystyle n> 0}$ jsou upuštěny (často konvence ${ displaystyle n to -n-1}$ se předpokládá pro vnější toky, aby se zabránilo indexování zápornými čísly).^[1]

Věty

Stokesovo řešení a související Helmholtzova věta

Zde je shrnut odpor odporu vůči pohybující se sféře, známý také jako Stokesovo řešení. Vzhledem k sféře poloměru ${ displaystyle a}$cestování rychlostí ${ displaystyle U}$ve Stokesově tekutině s dynamickou viskozitou ${ displaystyle mu}$, tažná síla ${ displaystyle F_ {D}}$ darováno:^[8]

${ displaystyle F_ {D} = 6 pi mu aU}$

Stokesovo řešení rozptyluje méně energie než jakékoli jiné solenoidové vektorové pole se stejnými hraničními rychlostmi: toto je známé jako Helmholtzova věta o minimálním rozptylu.^[1]

Lorentzova reciproční věta

The Lorentzova reciproční věta uvádí vztah mezi dvěma Stokesovými toky ve stejné oblasti. Zvažte oblast naplněnou tekutinou ${ displaystyle V}$ ohraničený povrchem ${ displaystyle S}$. Nechte rychlostní pole ${ displaystyle mathbf {u}}$ a ${ displaystyle mathbf {u} '}$ řešit Stokesovy rovnice v doméně ${ displaystyle V}$, každé s odpovídajícími napěťovými poli ${ displaystyle mathbf { sigma}}$ a ${ displaystyle mathbf { sigma} '}$. Pak platí následující rovnost:

${ displaystyle int _ {S} mathbf {u} cdot ({ boldsymbol { sigma}} ' cdot mathbf {n}) dS = int _ {S} mathbf {u}' cdot ({ boldsymbol { sigma}} cdot mathbf {n}) dS}$

Kde ${ displaystyle mathbf {n}}$ je jednotka normální na povrchu ${ displaystyle S}$. Lorentzovu reciproční teorém lze použít k ukázání, že Stokesův tok „přenáší“ beze změny celkovou sílu a točivý moment z vnitřní uzavřené plochy na vnější uzavírací plochu.^[1] Lorentzovu reciproční teorém lze také použít k vztahu rychlosti plavání mikroorganismu, jako je sinice, na povrchovou rychlost, která je předepsána deformacemi tvaru těla přes řasy nebo bičíky.^[18]

Faxénovy zákony

The Faxénovy zákony jsou přímé vztahy, které vyjadřují vícepólový momenty z hlediska okolního toku a jeho derivací. Nejprve vyvinutý Hilding Faxén vypočítat sílu, ${ displaystyle mathbf {F}}$a točivý moment, ${ displaystyle mathbf {T}}$ na kouli měli následující podobu:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {F} & = 6 pi mu a left (1 + { frac {a ^ {2}} {6}} nabla ^ {2} right) mathbf {v} ^ { infty} ( mathbf {x}) | _ {x = 0} -6 pi mu a mathbf {U} mathbf {T} & = 8 pi mu a ^ {3} ( mathbf { Omega} ^ { infty} ( mathbf {x}) - mathbf { omega}) | _ {x = 0} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mu}$ je dynamická viskozita, ${ displaystyle a}$ je poloměr částic, ${ displaystyle mathbf {v} ^ { infty}}$ je okolní tok, ${ displaystyle mathbf {U}}$ je rychlost částice, ${ displaystyle mathbf { Omega} ^ { infty}}$ je úhlová rychlost toku pozadí a ${ displaystyle mathbf { omega}}$ je úhlová rychlost částice.

Faxénské zákony lze zobecnit k popisu okamžiků jiných tvarů, jako jsou elipsoidy, sféroidy a sférické kapky.^[1]

Viz také

Reference

• Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viskózní tok, Cambridge University Press. ISBN  0-521-45881-1.

externí odkazy

• Video ukázka časové reverzibility Stokesova toku fyziky a astronomie UNM