Taylor škrábání toku - Taylor scraping flow - Wikipedia

v dynamika tekutin, Taylor škrábání toku je typ dvojrozměrného rohové proudění nastává, když jedna ze stěn klouže po druhé s konstantní rychlostí, pojmenovanou po G. I. Taylor.^[1]^[2]^[3]

Popis toku

Zvažte rovinnou zeď umístěnou na ${ displaystyle theta = 0}$ ve válcových souřadnicích ${ displaystyle (r, theta)}$ pohybující se konstantní rychlostí ${ displaystyle U}$ směrem doleva. Vezměte v úvahu další rovinnou stěnu (škrabku) v šikmé poloze, která svírá úhel ${ displaystyle alpha}$ od pozitivního ${ displaystyle x}$ směru a nechte průsečík na ${ displaystyle r = 0}$ . Tento popis je ekvivalentní pohybu škrabky rychlostí ${ displaystyle U}$ . Problém je singulární v ${ displaystyle r = 0}$ protože na počátku jsou rychlosti diskontinuální, takže rychlostní gradient je tam nekonečný.

Taylor si všiml, že setrvačné členy jsou zanedbatelné, pokud je oblast zájmu uvnitř ${ displaystyle r ll nu / U}$ (nebo ekvivalentně Reynoldsovo číslo ${ displaystyle Re = Ur / nu ll 1}$ ), tedy v rámci regionu je tok v podstatě a Stokesův tok. Například, George Batchelor dává typickou hodnotu pro mazací olej s rychlostí ${ displaystyle U = 10 { text {cm}} / { text {s}}}$ tak jako ${ displaystyle r ll 0,4 { text {cm}}}$ .^[4] Pak pro dvourozměrnou rovinnou úlohu je rovnice

{ displaystyle nabla ^ {4} psi = 0, quad u_ {r} = { frac {1} {r}} { frac { částečný psi} { částečný theta}}, quad u _ { theta} = - { frac { částečné psi} { částečné r}}}

kde ${ displaystyle mathbf {v} = (u_ {r}, u _ { theta})}$ je rychlostní pole a ${ displaystyle psi}$ je funkce streamu. Okrajové podmínky jsou

{ displaystyle { begin {zarovnáno} r> 0, theta = 0: & quad u_ {r} = - U, u _ { theta} = 0 r> 0, theta = alfa : & quad u_ {r} = 0, u _ { theta} = 0 end {zarovnáno}}}

Řešení

Pokus o oddělitelný řešení formuláře ${ displaystyle psi = Urf ( theta)}$ snižuje problém na

{ displaystyle f ^ {iv} + 2f '' + f = 0}

s okrajovými podmínkami

{ Displaystyle f (0) = 0, f '(0) = - 1, f ( alfa) = 0, f' ( alfa) = 0}

Řešení je^[5]

{ displaystyle f ( theta) = { frac {1} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}} [ theta sin alpha sin ( alpha - theta) - alpha ( alpha - theta) sin theta]}

Proto je rychlostní pole

{ displaystyle { begin {aligned} u_ {r} & = { frac {U} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}} { sin alpha [ sin ( alpha - theta) - theta cos ( alpha - theta)] + alpha [ sin theta - ( alpha - theta) cos theta] } u _ { theta} & = - { frac {U} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}} [ theta sin alpha sin ( alpha - theta) - alpha ( alpha - theta ) sin theta] end {zarovnáno}}}

Tlak lze získat integrací rovnice hybnosti

{ displaystyle nabla p = mu nabla ^ {2} mathbf {v}, quad p (r, infty) = p _ { infty}}

který dává,

{ displaystyle p (r, theta) -p _ { infty} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { alfa sin theta + sin alpha sin ( alpha - theta)} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}}

Zdůrazňuje škrabku

Zdůrazňuje škrabku

Tangenciální napětí a normální napětí na škrabce v důsledku tlaku a viskózních sil jsou

{ displaystyle sigma _ {t} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { sin alpha - alpha cos alpha} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}, quad sigma _ {n} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { alpha sin alpha} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}}

Stejné napětí škrabky, pokud je vyřešeno podle kartézských souřadnic (rovnoběžně a kolmo ke spodní desce, tj. ${ displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {t} sin alpha + sigma _ {n} cos alpha, sigma _ {y} = - sigma _ {t} cos alpha + sigma _ {n} sin alpha}$ ) jsou

{ displaystyle sigma _ {x} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { alpha - sin alpha cos alpha} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}, quad sigma _ {y} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { sin ^ {2} alpha} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}}

Jak již bylo zmíněno dříve, všechny stresy jsou nekonečné ${ displaystyle r = 0}$ , protože rychlostní gradient je tam nekonečný. Ve skutečném životě bude v místě působit obrovský tlak, který závisí na geometrii kontaktu. Napětí jsou znázorněna na obrázku, jak je uvedeno v Taylorově původním článku.

Napětí ve směru rovnoběžném se spodní stěnou klesá s ${ displaystyle alpha}$ zvyšuje a dosahuje své minimální hodnoty ${ displaystyle sigma _ {x} = 2 mu U / r}$ na ${ displaystyle alpha = pi}$ . Taylor říká: „Nejzajímavější a možná neočekávanou vlastností výpočtů je to ${ displaystyle sigma _ {y}}$ nemění znaménko v rozsahu ${ displaystyle 0 < alpha < pi}$ . V dosahu ${ displaystyle pi / 2 < alpha < pi}$ příspěvek do ${ displaystyle sigma _ {y}}$ v důsledku normálního napětí je opačné znaménko než v důsledku tangenciálního napětí, ale toto je větší. Paletové nože používané umělci k odstraňování barev z jejich palet jsou velmi flexibilní škrabky. Mohou být proto použity pouze v takovém úhlu, že ${ displaystyle sigma _ {n}}$ je malý a jak bude vidět na obrázku, k tomu dojde, pouze když ${ displaystyle alpha}$ je téměř ${ displaystyle 180 ^ { circ}}$ . Ve skutečnosti umělci instinktivně drží své paletové nože v této poloze. “Dále dodává:„ Štukatér na druhé straně drží vyhlazovací nástroj, takže ${ displaystyle alpha}$ je malý. Tímto způsobem může získat velké hodnoty ${ displaystyle sigma _ {y} / sigma _ {x}}$ které jsou potřebné k vytlačování omítky z výčnělků do dutin. “

Škrábání tekutiny ze zákona

Vzhledem k tomu, škrábání aplikace jsou důležité pro nenewtonská tekutina (například škrábání barvy, laku na nehty, smetany, másla, medu atd.), je nezbytné tento případ zvážit. Analýzu provedli J. Riedler a Wilhelm Schneider v roce 1983 a byli schopni ji získat podobná řešení pro kapaliny podle zákona uspokojení vztahu pro zdánlivá viskozita^[6]

{ displaystyle mu = m_ {z} vlevo {4 vlevo [{ frac { částečné} { částečné r}} vlevo ({ frac {1} {r}} { frac { částečné psi} { částečné theta}} pravé) pravé] ^ {2} + levé [{ frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} psi } { částečné theta ^ {2}}} - r { frac { částečné} { částečné r}} vlevo ({ frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} right) right] ^ {2} right } ^ {(n-1) / 2}}

kde ${ displaystyle m_ {z}}$ a ${ displaystyle n}$ jsou konstanty. Řešení pro tokovou funkci toku vytvořeného deskou pohybující se doprava je dána vztahem

{ displaystyle psi = Ur left { left [1 - { frac {J_ {1} ( theta)} {J_ {1} ( alpha)}} right] sin theta + { frac {J_ {2} ( theta)} {J_ {1} ( alpha)}} cos theta right }}

kde

{ displaystyle { begin {seřazeno} J_ {1} & = mathrm {sgn} (F) int _ {0} ^ { theta} | F | ^ {1 / n} cos x , dx, J_ {2} & = mathrm {sgn} (F) int _ {0} ^ { theta} | F | ^ {1 / n} sin x , dx end {zarovnáno}}}

a

{ displaystyle { begin {zarovnáno} F = sin ({ sqrt {n (2-n)}} xC) quad { text {if}} , n <2, F = { sqrt {xC}} qquad qquad qquad quad { text {if}} , n = 2, F = sinh ({ sqrt {n (n-2)}} xC) quad { text {if}} , n> 2 end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle C}$ je kořenem ${ displaystyle J_ {2} ( alfa) = 0}$ . Lze ověřit, že toto řešení se redukuje na řešení Taylora pro newtonovské tekutiny, tj. Kdy ${ displaystyle n = 1}$ .

Reference

^ Taylor, G. I. (1960). "Podobnost řešení hydrodynamických problémů". Letectví a astronautika. 4: 214.
^ Taylor, G. I. (1962). "Při škrábání viskózní tekutiny z rovného povrchu". Miszellangen der Angewandten Mechanik. Festschrift Walter Tollmien. 313–315.
^ Taylor, G. I. (1958). Bakalář, G. K. (ed.). Vědecké práce. str. 467.
^ Batchelor, George Keith (2000). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
^ Acheson, David J. (1990). Základní dynamika tekutin. Oxford University Press. ISBN 0-19-859660-X.
^ Riedler, J .; Schneider, W. (1983). "Viskózní tok v rohových oblastech s pohyblivou stěnou a únikem tekutiny". Acta Mechanica. 48 (1–2): 95–102. doi:10.1007 / BF01178500.

[1] Taylor, G. I. (1960). "Podobnost řešení hydrodynamických problémů". Letectví a astronautika. 4: 214.

[2] Taylor, G. I. (1962). "Při škrábání viskózní tekutiny z rovného povrchu". Miszellangen der Angewandten Mechanik. Festschrift Walter Tollmien. 313–315.

[3] Taylor, G. I. (1958). Bakalář, G. K. (ed.). Vědecké práce. str. 467.

[4] Batchelor, George Keith (2000). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.

[5] Acheson, David J. (1990). Základní dynamika tekutin. Oxford University Press. ISBN 0-19-859660-X.

[6] Riedler, J .; Schneider, W. (1983). "Viskózní tok v rohových oblastech s pohyblivou stěnou a únikem tekutiny". Acta Mechanica. 48 (1–2): 95–102. doi:10.1007 / BF01178500.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]