Zákon Faxéns - Faxéns law - Wikipedia

v dynamika tekutin, Faxénovy zákony týkají se rychlosti koule ${ displaystyle mathbf {U}}$ a úhlová rychlost ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ silám, točivému momentu, napětí a proudění, které zažívá při nízkých otáčkách Reynoldsovo číslo (plíživý tok) podmínky.

První zákon

První zákon společnosti Faxen byl zaveden v roce 1922 švédským fyzikem Hilding Faxén, který v té době působil v Univerzita v Uppsale, a je dán^[1][2]

${ displaystyle mathbf {F} = 6 pi mu a doleva [ doleva (1 + { frac {a ^ {2}} {6}} nabla ^ {2} doprava) mathbf {u } '- ( mathbf {U} - mathbf {u} ^ { infty}) vpravo],}$

kde

• ${ displaystyle mathbf {F}}$ je síla vyvíjená tekutinou na kouli
• ${ displaystyle mu}$ je Newtonova viskozita rozpouštědla, ve kterém je koule umístěna
• ${ displaystyle a}$ je poloměr koule
• ${ displaystyle mathbf {U}}$ je (translační) rychlost koule
• ${ displaystyle mathbf {u} '}$ je rychlost rušení způsobená ostatními koulemi v suspenzi (nikoli prouděním vyvolaným pozadím), hodnocená ve středu koule
• ${ displaystyle mathbf {u} ^ { infty}}$ je tok zapůsobený na pozadí, hodnocený ve středu koule (v některých referencích nastaven na nulu).

Může být také napsán ve formě

${ displaystyle mathbf {U} - mathbf {u} ^ { infty} = mathbf {u} '+ b_ {0} mathbf {F} + { frac {a ^ {2}} {6} } nabla ^ {2} mathbf {u} ',}$

kde ${ displaystyle b_ {0} = - { frac {1} {6 pi mu a}}}$ je mobilita.

V případě, že je tlakový gradient malý ve srovnání s délkovou stupnicí průměru koule, a pokud zde není žádná vnější síla, mohou být poslední dva členy této formy zanedbány. V tomto případě vnější tok tekutiny jednoduše zasáhne kouli.

Druhý zákon

Druhý zákon společnosti Faxen je dán^[1][2]

${ displaystyle mathbf {T} = 8 pi mu a ^ {3} left [{ frac {1} {2}} left ({ boldsymbol { nabla}} times mathbf {u} ' right) - ( mathbf { Omega} - mathbf { Omega} ^ { infty}) right],}$

kde

• ${ displaystyle mathbf {T}}$ je točivý moment vyvíjený kapalinou na kouli
• ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ je úhlová rychlost koule
• ${ displaystyle mathbf { Omega} ^ { infty}}$ je úhlová rychlost toku pozadí, hodnocená ve středu koule (v některých referencích nastavena na nulu).

„Třetí zákon“

Batchelor a Green^[3] odvodil rovnici pro stresslet danou vztahem^[1][2]

${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {S}}} = { frac {10} {3}} pi mu a ^ {3} left [2 { boldsymbol { mathsf {E}}} ^ { infty} + left (1 + { frac {1} {10}} a ^ {2} nabla ^ {2} right) left ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} '+ ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}') ^ { mathrm {T}} right) right],}$

kde

• ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {S}}}}$ je zátěž (symetrická část prvního momentu síly) vyvíjená kapalinou na kouli,
• ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} '}$ je tenzor gradientu rychlosti; ${ displaystyle {} ^ { mathrm {T}}}$ představuje transpozici; a tak ${ displaystyle { frac {1} {2}} vlevo [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} '+ ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}') ^ { mathrm {T}} vpravo]}$ je rychlost přetvoření nebo deformace, tenzor.
• ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {E}}} ^ { infty} = { frac {1} {2}} left [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} ^ { infty } + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} ^ { infty}) ^ { mathrm {T}} doprava]}$ je rychlost přetvoření toku pozadí, hodnocená ve středu koule (v některých referencích nastavena na nulu).

Všimněte si, že na kouli není rychlost namáhání (č ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {E}}}}$), protože se předpokládá, že koule jsou tuhé.

Faxénův zákon je opravou Stokesův zákon pro tření o kulové objekty v a viskózní tekutina, platí tam, kde se objekt pohybuje blízko ke stěně kontejneru.^[4]

Viz také

• Ponorná hraniční metoda

Poznámky

Reference

• Faxén, H. (1922), „Der Widerstand gegen die Bewegung einer starren Kugel in einer zähen Flüssigkeit, die zwischen zwei parallelen ebenen Wänden eingeschlossen ist“, Annalen der Physik, 373 (10): 89–119, Bibcode:1922AnP ... 373 ... 89F, doi:10,1002 / a 19223731003
• Happel, J .; Brenner, H. (1991), Hydrodynamika s nízkým Reynoldsovým číslem, Dordrecht: Kluwer