Stokesův paradox - Stokes paradox - Wikipedia
Ve vědě o proudění tekutin, Stokesův paradox je jev, že nemůže dojít k plíživému toku a tekutina kolem disku ve dvou rozměrech; nebo ekvivalentně skutečnost, že neexistuje netriviální řešení ustáleného stavu pro Stokesovy rovnice kolem nekonečně dlouhého válce. To je na rozdíl od trojrozměrného případu, kdy Stokesova metoda poskytuje řešení problému proudění kolem koule.[1][2]
Derivace
Vektor rychlosti z tekutina mohou být psány ve smyslu funkce streamu tak jako
Vzhledem k tomu, že funkce toku v problému Stokesova toku, uspokojuje biharmonická rovnice.[3] Vzhledem k tomu, že letadlo lze považovat za složité letadlo, problém lze řešit pomocí metod komplexní analýza. V tomto přístupu je buď nemovitý nebo imaginární část z
- .[4]
Tady , kde je imaginární jednotka, , a jsou holomorfní funkce mimo disk. Vezmeme skutečnou část bez ztráty obecnosti Nyní funkce , definován je představen. lze psát jako nebo (za použití Wirtingerovy deriváty Vypočítá se to jako
Bez ztráty obecnosti lze disk považovat za disk jednotka disku, skládající se ze všech komplexní čísla z z absolutní hodnota menší nebo rovno 1.
The okrajové podmínky jsou:
kdykoli ,[1][5]a reprezentací funkcí tak jako Laurentova řada:[6]
první podmínka znamená pro všechny .
Pomocí polárního tvaru výsledky v .Po odvození sériové podoby u, dosazením do toho spolu s a změnou některých indexů se druhá okrajová podmínka překládá
Vzhledem k tomu, komplexní trigonometrické funkce skládat a lineárně nezávislé Z toho vyplývá, že všechny koeficienty v řadě jsou nulové. Zkoumání těchto podmínek pro každý po zohlednění podmínky v nekonečnu to ukazuje a jsou nutně ve formě
kde je imaginární číslo (naproti jeho vlastnímu komplexní konjugát ), a a jsou komplexní čísla. Dosazením do dává výsledek, který globálně, přesvědčivé obojí a být nula. Proto nemůže dojít k žádnému pohybu - jediným řešením je, že válec je v klidu vzhledem ke všem bodům kapaliny.
Rozlišení
Paradox je způsoben omezenou platností Stokesovy aproximace, jak je vysvětleno v Oseen's kritika: na platnost Stokesových rovnic se spoléhá Reynoldsovo číslo být malý a tento stav nemůže platit pro libovolně velké vzdálenosti .[7][2]
Správné řešení pro válec bylo odvozeno pomocí Oseenovy rovnice a stejné rovnice vedou k lepší aproximaci tažná síla na kouli.[8][9]
Viz také
Reference
- ^ A b Lamb, Horace (1945). Hydrodynamika (Šesté vydání). New York: Dover Publications. str.602–604.
- ^ A b Van Dyke, Milton (1975). Perturbační metody v mechanice tekutin. Parabolický tisk.
- ^ Lamb, Horace (1945). Hydrodynamika (Šesté vydání). New York: Dover Publications. str.602.
- ^ Weisstein, Eric W. (2002). CRC Stručná encyklopedie matematiky. CRC Press. ISBN 1584883472.
- ^ Lamb, Horace (1945). Hydrodynamika (Šesté vydání). New York: Dover Publications. str.615.
- ^ Sarason, Donald (1994). Poznámky k teorii složitých funkcí. Berkeley, Kalifornie.
- ^ Lamb, Horace (1945). Hydrodynamika (Šesté vydání). New York: Dover Publications. str.608–609.
- ^ Lamb, Horace (1945). Hydrodynamika (Šesté vydání). New York: Dover Publications. str.609–616.
- ^ Goldstein, Sydney (1965). Moderní vývoj v dynamice tekutin. Dover Publications.