Tok Hele-Shaw - Hele-Shaw flow

Tok Hele-Shaw je definován jako Stokesův tok mezi dvěma rovnoběžnými plochými deskami oddělenými nekonečně malou mezerou, pojmenovanou po Henry Selby Hele-Shaw, který problém studoval v roce 1898.^[1]^[2] Různým problémům v mechanice tekutin lze přiblížit Hele-Shawovy toky, a proto je výzkum těchto toků důležitý. Aproximace toku Hele-Shaw je zvláště důležitá pro mikroproudy. To je způsobeno výrobními technikami, které vytvářejí mělké rovinné konfigurace, a obvykle nízkou Reynoldsova čísla mikrotoků.

Řídící rovnice toků Hele-Shaw je identická s rovnicí inviscid potenciální tok a k toku tekutiny porézním médiem (Darcyho zákon ). Umožňuje tedy vizualizaci tohoto druhu toku ve dvou dimenzích.^[3]^[4]^[5]

Matematická formulace toků Hele-Shaw

Schematický popis konfigurace Hele-Shaw.

Nechat ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ být směry rovnoběžné s plochými deskami a ${displaystyle z}$ kolmý směr, s ${displaystyle 2H}$ je mezera mezi deskami (v ${displaystyle z = pm H}$ Pokud je mezera mezi deskami asymptoticky malá

{displaystyle Hightarrow 0 ,,}

rychlostní profil v ${displaystyle z}$ směr je parabolický (tj. je kvadratická funkce souřadnice v tomto směru). Rovnice vztahující tlakový gradient k rychlosti je,

{displaystyle {mathbf {u}} = {mathbf {abla}} p {frac {z ^ {2} -H ^ {2}} {2mu}},}

kde ${displaystyle {mathbf {u}}}$ je rychlost, ${displaystyle p (x, y, t)}$ je místní tlak, ${displaystyle mu}$ je viskozita kapaliny.

Tento vztah a rovnoměrnost tlaku v úzkém směru ${displaystyle z}$ nám umožňuje integrovat rychlost s ohledem na ${displaystyle z}$ a tedy uvažovat o efektivním rychlostním poli pouze ve dvou dimenzích ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ . Při dosazování této rovnice do rovnice kontinuity a integraci přes ${displaystyle z}$ získáme řídící rovnici toků Hele-Shaw, Laplaceova rovnice:

{displaystyle {frac {částečné ^ {2} p} {částečné x ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} p} {částečné y ^ {2}}} = 0.}

Tato rovnice je doplněna okrajovými podmínkami nepronikání na bočních stěnách geometrie,

{displaystyle {mathbf {abla}} pcdot {hat {n}} = 0 ,,}

kde ${displaystyle {hat {n}}}$ je jednotkový vektor kolmý k boční stěně.

Buňka Hele-Shaw

Termín Hele-Shawova buňka se běžně používá pro případy, kdy je tekutina vstřikována do mělké geometrie z nad nebo pod geometrií a když je tekutina vázána jinou kapalinou nebo plynem.^[6] Pro takové toky jsou okrajové podmínky definovány tlaky a povrchovým napětím.

Viz také

Spojka s mechanickým převodem vynalezená profesorem Hele-Shawem, využívající principy toku Hele-Shaw

Reference

^ Shaw, Henry S.H (1898). Výzkum povahy povrchového odporu vody a pohybu po proudu za určitých experimentálních podmínek. Inst. N.A. OCLC 17929897.^{[stránka potřebná ]}
^ Hele-Shaw, H. S. (1. května 1898). „Tok vody“. Příroda. 58 (1489): 34–36. Bibcode:1898Natur..58 ... 34H. doi:10.1038 / 058034a0.
^ Hermann Schlichting,Teorie mezních vrstev, 7. vyd. New York: McGraw-Hill, 1979.^{[stránka potřebná ]}
^ L. M. Milne-Thomson (1996). Teoretická hydrodynamika. Dover Publications, Inc.
^ Horace Lamb Hydrodynamika (1934).^{[stránka potřebná ]}
^ Saffman, P. G. (21. dubna 2006). „Viskózní prstoklad v buňkách Hele-Shawa“ (PDF). Journal of Fluid Mechanics. 173: 73–94. doi:10.1017 / s0022112086001088.

[1] Shaw, Henry S.H (1898). Výzkum povahy povrchového odporu vody a pohybu po proudu za určitých experimentálních podmínek. Inst. N.A. OCLC 17929897.^{[stránka potřebná ]}

[2] Hele-Shaw, H. S. (1. května 1898). „Tok vody“. Příroda. 58 (1489): 34–36. Bibcode:1898Natur..58 ... 34H. doi:10.1038 / 058034a0.

[3] Hermann Schlichting,Teorie mezních vrstev, 7. vyd. New York: McGraw-Hill, 1979.^{[stránka potřebná ]}

[4] L. M. Milne-Thomson (1996). Teoretická hydrodynamika. Dover Publications, Inc.

[5] Horace Lamb Hydrodynamika (1934).^{[stránka potřebná ]}

[6] Saffman, P. G. (21. dubna 2006). „Viskózní prstoklad v buňkách Hele-Shawa“ (PDF). Journal of Fluid Mechanics. 173: 73–94. doi:10.1017 / s0022112086001088.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]