Banachova věta o pevném bodě - Banach fixed-point theorem

v matematika, Banach – Caccioppoli věta o pevném bodě (také známý jako věta o kontrakčním mapování nebo kontraktivní věta o mapování) je důležitým nástrojem v teorii metrické prostory; zaručuje existenci a jedinečnost pevné body určitých samo-map metrických prostorů a poskytuje konstruktivní metodu k nalezení těchto pevných bodů. Lze jej chápat jako abstraktní formulaci Picardova metoda postupných aproximací.[1] Věta je pojmenována po Stefan Banach (1892–1945) a Renato Caccioppoli (1904–1959) a poprvé ji uvedl Banach v roce 1922.[2][3] Caccioppoli nezávisle prokázal teorém v roce 1931.[4]

Tvrzení

Definice. Nechť (X,d) být a kompletní metrický prostor. Pak mapa T : X → X se nazývá a mapování kontrakcí na X pokud existuje q ∈ [0, 1) takové, že

pro všechny X, y v X.

Banachova věta o pevném bodě. Nechat (XD) být neprázdný kompletní metrický prostor s mapováním kontrakce T : X → X. Pak T připouští jedinečný pevný bod X* v X (tj. T(X*) = X*). Dále X* lze nalézt následovně: začít s libovolným prvkem X0 v X a definovat a sekvence {Xn} podle Xn = T(Xn−1) pro n ≥ 1. Potom Xn → X*.

Poznámka 1. Následující nerovnosti jsou ekvivalentní a popisují rychlost konvergence:

Jakákoli taková hodnota q se nazývá a Lipschitzova konstanta pro Ta ten nejmenší se někdy nazývá „nejlepší Lipschitzova konstanta“ z T.

Poznámka 2. d(T(X), T(y)) < d(X, y) pro všechny X ≠ y obecně nestačí k zajištění existence pevného bodu, jak ukazuje mapa T : [1, ∞) → [1, ∞), T(X) = X + 1/X, kterému chybí pevný bod. Pokud však X je kompaktní, pak tento slabší předpoklad implikuje existenci a jedinečnost pevného bodu, který lze snadno najít jako minimalizátor d(X, T(X)), skutečně minimalizátor existuje díky kompaktnosti a musí být pevným bodem T. Potom snadno vyplývá, že pevný bod je limitem jakékoli posloupnosti iterací T.

Poznámka 3. Při použití věty v praxi je obvykle nejobtížnější část definovat X správně, aby T(X) ⊆ X.

Důkaz

Nechat X0 ∈ X být libovolný a definovat posloupnost {Xn} nastavením Xn = T(Xn−1). Nejprve si všimneme, že za všechny n ∈ N, máme nerovnost

Toto následuje indukce na n, s využitím skutečnosti, že T je mapování kontrakcí. Pak můžeme ukázat, že {Xn} je Cauchyova posloupnost. Zejména nechte m, n ∈ N takhle m > n:

Nechť ε> 0 je libovolné, protože q ∈ [0, 1), můžeme najít velký N ∈ N aby

Proto výběrem m a n větší než N můžeme napsat:

To dokazuje, že posloupnost {Xn} je Cauchy. Úplností (X,d), sekvence má limit X* ∈ X. Dále X* musí být pevný bod z T:

Jako mapování kontrakce T je spojitý, takže přinášíme limit dovnitř T bylo oprávněné. Nakonec T nemůže mít více než jeden pevný bod v (X,d), protože jakýkoli pár odlišných pevných bodů str1 a str2 by bylo v rozporu s kontrakcí T:

Aplikace

  • Standardní aplikace je důkazem Picard – Lindelöfova věta o existenci a jedinečnosti řešení určitých obyčejné diferenciální rovnice. Hledané řešení diferenciální rovnice je vyjádřeno jako pevný bod vhodného integrálního operátoru, který transformuje spojité funkce na spojité funkce. Banachova věta o pevném bodě se pak používá k ukázce, že tento integrální operátor má jedinečný pevný bod.
  • Jedním z důsledků Banachovy věty o pevném bodě je to, že malé Lipschitzovy poruchy identity jsou bi-lipchitz homeomorfismy. Nechť Ω je otevřená množina Banachova prostoru E; nechat Já : Ω → E označit mapu identity (začlenění) a nechat G : Ω → E být Lipschitzovou mapou konstanty k <1. Potom
  1. Ω ′: = (Já+G) (Ω) je otevřená podmnožina E: přesně pro všechny X v Ω takové, že B(X, r) ⊂ Ω jeden má B((Já+G)(X), r(1−k)) ⊂ Ω ′;
  2. Já+G : Ω → Ω ′ je bi-lipchitzův homeomorfismus;
přesně, (Já+G)−1 je stále ve formě Já + h : Ω → Ω ′ s h Lipschitzova mapa konstanty k/(1−k). Přímý důsledek tohoto výsledku poskytuje důkaz o věta o inverzní funkci.
  • Lze jej použít k poskytnutí dostatečných podmínek, za kterých je zaručeno, že Newtonova metoda postupných aproximací bude fungovat, a podobně pro Čebyševovu metodu třetího řádu.
  • Může být použit k prokázání existence a jedinečnosti řešení integrálních rovnic.
  • Lze jej použít k prokázání Nashova věta o vložení.[5]
  • Může být použit k prokázání existence a jedinečnosti řešení pro iteraci hodnot, iteraci zásad a hodnocení zásad posilování učení.[6]
  • Může být použit k prokázání existence a jedinečnosti rovnováhy v Cournotova soutěž,[7] a další dynamické ekonomické modely.[8]

Konverzuje

Existuje několik konverzí Banachova principu kontrakce. Toto je kvůli Czesław Bessaga od roku 1959:

Nechat F : X → X být mapou abstraktu soubor takové, že každý opakovat Fn má jedinečný pevný bod. Nechat q ∈ (0, 1), pak existuje úplná metrika X takhle F je smluvní a q je kontrakční konstanta.

K dosažení takového druhu konverzace skutečně postačují velmi slabé předpoklady. Například pokud F : X → X je mapa na a T1 topologický prostor s jedinečným pevný bod A, tak, že pro každého X v X my máme Fn(X) → A, pak již existuje metrika X vzhledem k nimž F splňuje podmínky Banachova principu kontrakce s kontrakční konstantou 1/2.[9] V tomto případě je metrika ve skutečnosti ultrametrický.

Zobecnění

Existuje celá řada zevšeobecnění (některá jsou okamžitá důsledky ).[10]

Nechat T : X → X být mapou na úplném neprázdném metrickém prostoru. Pak například některé zobecnění Banachovy věty o pevném bodě jsou:

  • Předpokládejme, že některé iterují Tn z T je kontrakce. Pak T má jedinečný pevný bod.
  • Předpokládejme, že pro každého n, existují Cn takhle d (T.n(x), Tn(y)) ≤ cnd (x, y) pro všechny X a y, a to
Pak T má jedinečný pevný bod.

V aplikacích lze existenci a jednotnost pevného bodu často zobrazit přímo se standardní Banachovou větou o pevném bodě vhodnou volbou metriky, která mapu vytváří T kontrakce. Výše uvedený výsledek Bessagy skutečně silně naznačuje hledat takovou metriku. Viz také článek o věty o pevném bodě v nekonečně rozměrných prostorech pro zobecnění.

Odlišná třída zevšeobecňování vychází z vhodného zevšeobecňování pojmu metrický prostor, např. oslabením definujících axiomů pro pojem metriky.[11] Některé z nich mají aplikace, např. V teorii sémantiky programování v teoretické informatice.[12]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980). "Variační nerovnosti v RN". Úvod do variačních nerovností a jejich aplikací. New York: Academic Press. s. 7–22. ISBN  0-12-407350-6.
  2. ^ Banach, Stefan (1922). „Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. 3: 133–181. doi:10,4064 / fm-3-1-133-181.
  3. ^ Ciesielski, Krzysztof (2007). „Na Stefana Banacha a některé jeho výsledky“ (PDF). Banach J. Math. Anální. 1 (1): 1–10. doi:10.15352 / bjma / 1240321550.
  4. ^ „Renato Caccioppoli Bibliografy“. Citováno 23. května 2020.
  5. ^ Günther, Matthias (1989). „Zum Einbettungssatz von J. Nash“ [O teorému o vložení J. Nash]. Mathematische Nachrichten (v němčině). 144: 165–187. doi:10,1002 / mana.19891440113. PAN  1037168.
  6. ^ Lewis, Frank L .; Vrabie, Draguna; Syrmos, Vassilis L. (2012). „Posílení učení a optimální adaptivní řízení“. Optimální ovládání. New York: John Wiley & Sons. str. 461–517 [str. 474]. ISBN  978-1-118-12272-3.
  7. ^ Long, Ngo Van; Soubeyran, Antoine (2000). „Existence a jedinečnost Cournotovy rovnováhy: přístup mapující kontrakce“ (PDF). Ekonomické dopisy. 67 (3): 345–348. doi:10.1016 / S0165-1765 (00) 00211-1.
  8. ^ Stokey, Nancy L .; Lucas, Robert E. Jr. (1989). Rekurzivní metody v ekonomické dynamice. Cambridge: Harvard University Press. 508–516. ISBN  0-674-75096-9.
  9. ^ Hitzler, Pascal; Seda, Anthony K. (2001). "Konverzace" Banachovy věty o mapování kontrakcí ". Journal of Electrical Engineering. 52 (10 / s): 3–6.
  10. ^ Latif, Abdul (2014). "Banachův princip kontrakce a jeho zobecnění". Témata z teorie pevných bodů. Springer. 33–64. doi:10.1007/978-3-319-01586-6_2. ISBN  978-3-319-01585-9.
  11. ^ Hitzler, Pascal; Seda, Anthony (2010). Matematické aspekty sémantiky logického programování. Chapman and Hall / CRC. ISBN  978-1-4398-2961-5.
  12. ^ Seda, Anthony K .; Hitzler, Pascal (2010). "Zobecněné funkce vzdálenosti v teorii výpočtu". Počítačový deník. 53 (4): 443–464. doi:10.1093 / comjnl / bxm108.

Reference

  • Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Princip a aplikace Banachovy kontrakce". Teorie pevných bodů v metrických prostorech. Singapur: Springer. s. 1–23. doi:10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN  978-981-13-2912-8.
  • Chicone, Carmen (2006). "Kontrakce". Obyčejné diferenciální rovnice s aplikacemi (2. vyd.). New York: Springer. s. 121–135. ISBN  0-387-30769-9.
  • Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teorie pevného bodu. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-00173-5.
  • Istrăţescu, Vasile I. (1981). Teorie pevného bodu: Úvod. Nizozemsko: D. Reidel. ISBN  90-277-1224-7. Viz kapitola 7.
  • Kirk, William A .; Khamsi, Mohamed A. (2001). Úvod do metrických prostorů a teorie pevných bodů. New York: John Wiley. ISBN  0-471-41825-0.

Tento článek včlení materiál od Banachova věta o pevném bodě na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.