Kvocient subprostorové věty - Quotient of subspace theorem

V matematice je kvocient podprostorové věty je důležitá vlastnost konečných rozměrů normované prostory, objeveno uživatelem Vitali Milman.^[1]

Nechť (X, || · ||) být N-rozměrný normovaný prostor. Existují podprostory Z ⊂ Y ⊂ X tak, že platí:

• The kvocientový prostor E = Y / Z je dimenze dim E ≥C N, kde C > 0 je univerzální konstanta.
• Indukované norma || · || na E, definován

${displaystyle | e | = min _ {yin e} | y |, quad ein E,}$

je jednotně izomorfní do Euklidea. To znamená, že existuje pozitivní kvadratická forma („Euklidovská struktura“) Q na E, takový, že

${displaystyle {frac {sqrt {Q (e)}} {K}} leq | e | leq K {sqrt {Q (e)}}}$ pro ${displaystyle ein E,}$

s K. > 1 univerzální konstanta.

Tvrzení lze relativně snadno dokázat indukcí dimenze Z (dokonce pro Y = Z, X=0, c = 1) s K. záleží jen na N; pointou věty je to K. je nezávislý na N.

Ve skutečnosti konstanta C lze učinit libovolně blízko 1, na úkor stálé K. stává se velkým. Původní důkaz povolen

${displaystyle c (K) cca 1- {ext {const}} / log log K.}$^[2]

Poznámky

Reference

• Milman, V.D. (1984), „Téměř euklidovské kvocientové prostory podprostorů konečně-dimenzionálního normovaného prostoru“, Seminář Izraele o geometrických aspektech funkční analýzy, Tel Aviv: Tel Aviv Univ., X
• Gordon, Y. (1988), „O Milmanově nerovnosti a náhodných podprostorech, které unikají okem dovnitř Rⁿ", Geometrické aspekty funkční analýzyPřednášky z matematiky, Berlín: Springer, 1317: 84–106, doi:10.1007 / BFb0081737, ISBN  978-3-540-19353-1
• Pisier, G. (1989), Objem konvexních těles a geometrie Banachova prostoru„Cambridge Tracts in Mathematics“, 94, Cambridge: Cambridge University Press