Kvadraticky uzavřené pole - Quadratically closed field - Wikipedia

v matematika, a kvadraticky uzavřené pole je pole ve kterém má každý prvek a odmocnina.^[1]^[2]

Příklady

Pole komplexní čísla je kvadraticky uzavřen; obecněji jakékoli algebraicky uzavřené pole je kvadraticky uzavřen.
Pole reálná čísla není kvadraticky uzavřen, protože neobsahuje druhou odmocninu −1.
Spojení konečná pole ${ displaystyle F_ {5 ^ {2 ^ {n}}}}$ pro n ≥ 0 je kvadraticky uzavřeno, ale není algebraicky uzavřeno.^[3]
Pole konstruovatelná čísla je kvadraticky uzavřeno, ale není algebraicky uzavřeno.^[4]

Vlastnosti

Pole je kvadraticky uzavřeno, právě když má univerzální invariant rovná se 1.
Každé kvadraticky uzavřené pole je a Pythagorovo pole ale ne naopak (například R je Pythagorean); každý ne-formálně skutečné Pythagorovo pole je kvadraticky uzavřeno.^[2]
Pole je kvadraticky uzavřeno, právě když je Witt – Grothendieckův prsten je izomorfní na Z pod mapováním dimenzí.^[3]
Formálně skutečný Euklidovské pole E není kvadraticky uzavřeno (protože −1 není čtverec v E), ale kvadratické rozšíření E(√−1) je kvadraticky uzavřen.^[4]
Nechat E/F být konečný rozšíření kde E je kvadraticky uzavřen. Buď -1 je čtverec v F a F je kvadraticky uzavřeno nebo −1 není čtverec F a F je euklidovský. Tato „věta o sestupu“ může být odvozena z Diller – Věta o oblékání.^[5]

Kvadratické uzavření

A kvadratické uzavření pole F je kvadraticky uzavřené pole obsahující F který vloží v jakémkoli kvadraticky uzavřeném poli obsahujícím F. Kvadratické uzavření pro všechny dané F může být konstruováno jako podpole algebraické uzavření F^alg z Fjako spojení všech iterovaných kvadratických rozšíření F v F^alg.^[4]

Příklady

Kvadratické uzavření R je C.^[4]
Kvadratické uzavření F₅ je unie ${ displaystyle F_ {5 ^ {2 ^ {n}}}}$ .^[4]
Kvadratické uzavření Q je pole konstruovatelných čísel.

Reference

^ Lam (2005), str. 33
^ ^A ^b Rajwade (1993), str. 230
^ ^A ^b Lam (2005), str. 34
^ ^A ^b ^C ^d ^E Lam (2005), str. 220
^ Lam (2005), s. 270

Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. PAN 2104929. Zbl 1068.11023.
Rajwade, A. R. (1993). Čtverce. Série přednášek London Mathematical Society. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.

[Lam33-1] Lam (2005), str. 33

[R230-2] A ^b Rajwade (1993), str. 230

[Lam34-3] A ^b Lam (2005), str. 34

[Lam220-4] A ^b ^C ^d ^E Lam (2005), str. 220

[Lam270-5] Lam (2005), s. 270

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]