Heegnerovo číslo - Heegner number

v teorie čísel, a Heegnerovo číslo (jak jej nazval Conway a Guy) je kladné celé číslo bez čtverců ${ displaystyle d}$ takové, že imaginární kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} [{ sqrt {-d}}}}$ má číslo třídy ${ displaystyle 1}$. Ekvivalentně, jeho kruh celých čísel má jedinečná faktorizace.^[1]

Určení těchto čísel je zvláštním případem problém s číslem třídy a jsou základem několika pozoruhodných výsledků v teorii čísel.

Podle (Baker -)Stark – Heegnerova věta existuje přesně devět Heegnerových čísel:

${ displaystyle 1,2,3,7,11,19,43,67,163}$. (sekvence A003173 v OEIS )

Tento výsledek předpokládal Gauss a ukázalo se až na drobné nedostatky Kurt Heegner v roce 1952. Alan Baker a Harold Stark nezávisle prokázal výsledek v roce 1966 a Stark dále naznačil, že rozdíl v Heegnerově důkazu byl menší.^[2]

Eulerův prime generující polynom

Euler polynomiální generující prvočíslo

${ displaystyle n ^ {2} -n + 41, ,}$

který dává (odlišné) prvočísla pro n = 1, ..., 40, souvisí s Heegnerovým číslem 163 = 4 · 41 - 1.

Eulerův vzorec, s ${ displaystyle n}$ přičemž hodnoty 1, ... 40 jsou ekvivalentní

${ displaystyle n ^ {2} + n + 41, ,}$

s ${ displaystyle n}$ převzetí hodnot 0, ... 39 a Rabinowitz^[3] dokázal to

${ displaystyle n ^ {2} + n + p ,}$

dává prvočísla pro ${ displaystyle n = 0, tečky, p-2}$ právě tehdy, pokud je tento kvadratický diskriminující ${ displaystyle 1-4p}$ je zápor Heegnerova čísla.

(Všimněte si, že ${ displaystyle p-1}$ výnosy ${ displaystyle p ^ {2}}$, tak ${ displaystyle p-2}$ je maximální.) 1, 2 a 3 nemají požadovaný tvar, takže Heegnerova čísla, která fungují, jsou ${ displaystyle 7,11,19,43,67,163}$, čímž se získá primární generující funkce Eulerovy formy pro ${ displaystyle 2,3,5,11,17,41}$; tato poslední čísla jsou volána šťastná čísla Eulera podle F. Le Lionnais.^[4]

Téměř celá čísla a Ramanujanova konstanta

Ramanujanova konstanta je transcendentní číslo^[5]${ displaystyle e ^ { pi { sqrt {163}}}}$, což je téměř celé číslo v tom je velmi blízko do celé číslo:

${ displaystyle e ^ { pi { sqrt {163}}} = 262 , 537 , 412 , 640 , 768 , 743,999 , 999 , 999 , 999 , 25 ldots}$^[6] ${ displaystyle cca 640 , 320 ^ {3} +744.}$

Toto číslo bylo objeveno v roce 1859 matematikem Charles Hermite.^[7]V roce 1975 Blázen článek v Scientific American časopis,^[8] Publicista „Matematické hry“ Martin Gardner podvedl podvod, že číslo bylo ve skutečnosti celé číslo a že indický matematický génius Srinivasa Ramanujan předpověděl to - proto jeho jméno.

Tuto náhodu vysvětluje komplexní násobení a q-expanze z j-invariantní.

Detail

Krátce, ${ displaystyle j ((1 + { sqrt {-d}}) ​​/ 2)}$ je celé číslo prod Heegnerovo číslo a ${ displaystyle e ^ { pi { sqrt {d}}} přibližně -j ((1 + { sqrt {-d}}) ​​/ 2) +744}$ přes q-expanze.

Li ${ displaystyle tau}$ je kvadraticky iracionální, pak j-invariant je algebraické celé číslo stupně ${ displaystyle | { mbox {Cl}} ( mathbf {Q} ( tau)) |}$, číslo třídy z ${ displaystyle mathbf {Q} ( tau)}$ a minimální (monický integrál) polynom, který splňuje, se nazývá „polynom Hilbertovy třídy“. Tedy pokud imaginární kvadratické prodloužení ${ displaystyle mathbf {Q} ( tau)}$ má třídu číslo 1 (tzv d je Heegnerovo číslo), j-invariant je celé číslo.

The q-expanze z j, s jeho Fourierova řada expanze psaná jako Laurentova řada ve smyslu ${ displaystyle q = exp (2 pi i tau)}$, začíná jako:

${ displaystyle j ( tau) = { frac {1} {q}} + 744 + 196 , 884q + cdots.}$

Koeficienty ${ displaystyle c_ {n}}$ asymptoticky rostou jako ${ displaystyle ln (c_ {n}) sim 4 pi { sqrt {n}} + O ( ln (n))}$a koeficienty nízkého řádu rostou pomaleji než ${ displaystyle 200 , 000 ^ {n}}$, tak pro ${ displaystyle q ll 1/200 , 000}$, j je velmi dobře aproximován svými prvními dvěma termíny. Nastavení ${ displaystyle tau = (1 + { sqrt {-163}}) / 2}$ výnosy ${ displaystyle q = - exp (- pi { sqrt {163}})}$ nebo ekvivalentně ${ displaystyle { frac {1} {q}} = - exp ( pi { sqrt {163}})}$. Nyní ${ displaystyle j ((1 + { sqrt {-163}}) / 2) = (- 640 , 320) ^ {3}}$, tak,

${ displaystyle (-640 , 320) ^ {3} = - e ^ { pi { sqrt {163}}} + 744 + O left (e ^ {- pi { sqrt {163}}} že jo).}$

Nebo,

${ displaystyle e ^ { pi { sqrt {163}}} = 640 , 320 ^ {3} + 744 + O left (e ^ {- pi { sqrt {163}}} right)}$

kde je lineární člen chyby,

${ displaystyle -196 , 884 / e ^ { pi { sqrt {163}}} přibližně -196 , 884 / (640 , 320 ^ {3} +744) přibližně -0 000 , 000 , 000 , 000 , 75}$

vysvětlovat proč ${ displaystyle e ^ { pi { sqrt {163}}}}$ je v přibližně výše uvedené hodnotě celé číslo.

Pi vzorce

The Chudnovští bratři v roce 1987 to zjistil

${ displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {12} {640 , 320 ^ {3/2}}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(6k)! (163 cdot 3 , 344 , 418k + 13 , 591 , 409)} {(3k)! (K!) ^ {3} (- 640 , 320) ^ {3k} }}}$

který využívá skutečnost, že ${ displaystyle j left ({ tfrac {1 + { sqrt {-163}}} {2}} right) = - 640 , 320 ^ {3}}$. Podobné vzorce naleznete v Série Ramanujan – Sato.

Další Heegnerova čísla

Pro čtyři největší Heegnerova čísla získáme přibližné hodnoty^[9] jsou následující.

${ displaystyle { begin {aligned} e ^ { pi { sqrt {19}}} & přibližně 96 ^ {3} + 744-0,22 e ^ { pi { sqrt {43}}} & přibližně 960 ^ {3} + 744-0 000 , 22 e ^ { pi { sqrt {67}}} & přibližně 5 , 280 ^ {3} + 744-0,000 , 0013 e ^ { pi { sqrt {163}}} & přibližně 640 , 320 ^ {3} + 744-0 000 , 000 , 000 , 000 , 75 end {zarovnáno}}}$

Alternativně,^[10]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} e ^ { pi { sqrt {19}}} & přibližně 12 ^ {3} (3 ^ {2} -1) ^ {3} + 744-0,22 e ^ { pi { sqrt {43}}} & přibližně 12 ^ {3} (9 ^ {2} -1) ^ {3} + 744-0,000 , 22 e ^ { pi { sqrt {67}}} & přibližně 12 ^ {3} (21 ^ {2} -1) ^ {3} + 744-0 000 , 0013 e ^ { pi { sqrt {163}}} & přibližně 12 ^ {3} (231 ^ {2} -1) ^ {3} + 744-0 000 , 000 , 000 , 000 , 75 end {zarovnáno}}}$

kde důvod pro čtverce je kvůli jisté Eisensteinova řada. Pro Heegnerova čísla ${ displaystyle d <19}$, jeden nezíská téměř celé číslo; dokonce ${ displaystyle d = 19}$ není pozoruhodné.^[11] Celé číslo j-invarianty jsou vysoce faktorizovatelné, což vyplývá z ${ displaystyle 12 ^ {3} (n ^ {2} -1) ^ {3} = (2 ^ {2} cdot 3 cdot (n-1) cdot (n + 1)) ^ {3} }$ forma a faktor jako,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} j ((1 + { sqrt {-19}}) / 2) & = 96 ^ {3} = (2 ^ {5} cdot 3) ^ {3} j ((1 + { sqrt {-43}}) / 2) & = 960 ^ {3} = (2 ^ {6} cdot 3 cdot 5) ^ {3} j ((1+ { sqrt {-67}}) / 2) & = 5 , 280 ^ {3} = (2 ^ {5} cdot 3 cdot 5 cdot 11) ^ {3} j ((1+ { sqrt {-163}}) / 2) & = 640 , 320 ^ {3} = (2 ^ {6} cdot 3 cdot 5 cdot 23 cdot 29) ^ {3}. end {zarovnáno }}}$

Tyto transcendentální čísla, kromě toho, že jsou úzce aproximována celými čísly (což jsou jednoduše algebraická čísla stupně 1), lze přesně přiblížit algebraickými čísly stupně 3,^[12]

${ displaystyle { begin {seřazeno} e ^ { pi { sqrt {19}}} & cca x ^ {24} -24 000 , 31; qquad qquad qquad x ^ {3} - 2x-2 = 0 e ^ { pi { sqrt {43}}} & přibližně x ^ {24} -24 000 , 000 , 31; qquad qquad quad x ^ {3} -2x ^ {2} -2 = 0 e ^ { pi { sqrt {67}}} & přibližně x ^ {24} -24 000 , 000 , 001 , 9; qquad qquad x ^ { 3} -2x ^ {2} -2x-2 = 0 e ^ { pi { sqrt {163}}} & přibližně x ^ {24} -24 000 , 000 , 000 , 000 , 0011; quad x ^ {3} -6x ^ {2} + 4x-2 = 0 end {zarovnáno}}}$

The kořeny kubíků lze přesně dát kvocienty z Funkce Dedekind eta η(τ), modulární funkce zahrnující 24. kořen a která vysvětluje 24 v aproximaci. Mohou být také těsně aproximovány algebraickými čísly stupně 4,^[13]

${ displaystyle { begin {aligned} e ^ { pi { sqrt {19}}} & cca 3 ^ {5} left (3 - { sqrt {2 (1-96 / 24 + 1 { sqrt {3 cdot 19}})}} vpravo) ^ {- 2} -12 000 , 06 tečky e ^ { pi { sqrt {43}}} & přibližně 3 ^ {5} vlevo (9 - { sqrt {2 (1-960 / 24 + 7 { sqrt {3 cdot 43}})}} vpravo) ^ {- 2} -12 000 , 000 , 061 tečky e ^ { pi { sqrt {67}}} & přibližně 3 ^ {5} vlevo (21 - { sqrt {2 (1-5 , 280/24 + 31 { sqrt {3 cdot 67) }})}} vpravo) ^ {- 2} -12 000 , 000 , 000 , 36 tečky e ^ { pi { sqrt {163}}} & přibližně 3 ^ {5} vlevo (231 - { sqrt {2 (1-640 , 320/24 + 2 , 413 { sqrt {3 cdot 163}})}} vpravo) ^ {- 2} -12 000 , 000 , 000 , 000 , 000 , 21 tečky konec {zarovnáno}}}$

Li ${ displaystyle x}$ označuje výraz v závorkách (např. ${ displaystyle x = 3 - { sqrt {2 (1-96 / 24 + 1 { sqrt {3 cdot 19}})}}}$), splňuje příslušně kvartické rovnice

${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {4} -4 cdot 3x ^ {3} + { tfrac {2} {3}} (96 + 3) x ^ {2} qquad quad - { tfrac {2} {3}} cdot 3 (96-6) x-3 = 0 & x ^ {4} -4 cdot 9x ^ {3} + { tfrac {2} {3}} ( 960 + 3) x ^ {2} quad quad - { tfrac {2} {3}} cdot 9 (960-6) x-3 = 0 & x ^ {4} -4 cdot 21x ^ {3} + { tfrac {2} {3}} (5 , 280 + 3) x ^ {2} quad ; - { tfrac {2} {3}} cdot 21 (5 , 280-6) x-3 = 0 & x ^ {4} -4 cdot 231x ^ {3} + { tfrac {2} {3}} (640 , 320 + 3) x ^ {2 } - { tfrac {2} {3}} cdot 231 (640 , 320-6) x-3 = 0 konec {zarovnáno}}}$

Všimněte si znovuobjevení celých čísel ${ displaystyle n = 3,9,21,231}$ stejně jako skutečnost, že

${ displaystyle { begin {aligned} & 2 ^ {6} cdot 3 (- (1-96 / 24) ^ {2} + 1 ^ {2} cdot 3 cdot 19) = 96 ^ {2} & 2 ^ {6} cdot 3 (- (1-960 / 24) ^ {2} + 7 ^ {2} cdot 3 cdot 43) = 960 ^ {2} & 2 ^ {6} cdot 3 (- (1-5 , 280/24) ^ {2} + 31 ^ {2} cdot 3 cdot 67) = 5 , 280 ^ {2} & 2 ^ {6} cdot 3 ( - (1-640 , 320/24) ^ {2} + 2413 ^ {2} cdot 3 cdot 163) = 640 , 320 ^ {2} end {zarovnáno}}}$

které, s příslušnou zlomkovou silou, jsou přesně j-invarianty.

Podobně pro algebraická čísla stupně 6,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} e ^ { pi { sqrt {19}}} & cca (5x) ^ {3} -6 000 , 010 dots e ^ { pi { sqrt { 43}}} & přibližně (5x) ^ {3} -6 000 , 000 , 010 tečky e ^ { pi { sqrt {67}}} & přibližně (5x) ^ {3} - 6 000 000 , 000 , 061 tečky e ^ { pi { sqrt {163}}} & přibližně (5x) ^ {3} -6 000 , 000 , 000 , 000 , 000 , 034 tečky konec {zarovnáno}}}$

Kde Xs jsou dány příslušným kořenem sextické rovnice,

${ displaystyle { begin {aligned} & 5x ^ {6} -96x ^ {5} -10x ^ {3} + 1 = 0 & 5x ^ {6} -960x ^ {5} -10x ^ {3} + 1 = 0 & 5x ^ {6} -5 , 280x ^ {5} -10x ^ {3} + 1 = 0 & 5x ^ {6} -640 , 320x ^ {5} -10x ^ {3 } + 1 = 0 end {zarovnáno}}}$

s j-invarianty, které se znovu objevily. Tato sextika jsou nejen algebraická, ale také jsou řešitelný v radikály protože se rozdělí na dvě kubické přes prodloužení ${ displaystyle mathbb {Q} { sqrt {5}}}$ (s prvním factoringem dále na dva kvadratičtí ). Tyto algebraické aproximace mohou být přesně vyjádřeno jako Dedekindovy keta kvocienty. Jako příklad, pojďme ${ displaystyle tau = (1 + { sqrt {-163}}) / 2}$, pak,

${ displaystyle { begin {zarovnané} e ^ { pi { sqrt {163}}} & = left ({ frac {e ^ { pi i / 24} eta ( tau)} { eta (2 tau)}} vpravo) ^ {24} -24 000 , 000 , 000 , 000 , 001 , 05 tečky e ^ { pi { sqrt {163}}} & = left ({ frac {e ^ { pi i / 12} eta ( tau)} { eta (3 tau)}} right) ^ {12} -12 000 , 000 , 000 , 000 , 000 , 21 tečky e ^ { pi { sqrt {163}}} & = left ({ frac {e ^ { pi i / 6} eta ( tau)} { eta (5 tau)}} vpravo) ^ {6} -6 000 , 000 , 000 , 000 , 000 , 034 tečky konec {zarovnáno}}}$

kde eta kvocienty jsou algebraická čísla uvedená výše.

Čísla třídy 2

Tři čísla ${ displaystyle 88 148 232}$, pro které je imaginární kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} [{ sqrt {-d}}}}$ má číslo třídy ${ displaystyle 2}$, nejsou považována za Heegnerova čísla, ale mají určité podobné vlastnosti, pokud jde o téměř celá čísla. Například máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} e ^ { pi { sqrt {88}}} + 8 , 744 přibližně quad quad 2 , 508 , 952 ^ {2} & -. 077 tečky e ^ { pi { sqrt {148}}} + 8 , 744 přibližně quad 199 , 148 , 648 ^ {2} & -. 000 , 97 tečky e ^ { pi { sqrt {232}}} + 8 , 744 přibližně 24 , 591 , 257 , 752 ^ {2} & -. 000 , 0078 tečky konec {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle { begin {zarovnáno} e ^ { pi { sqrt {22}}} - 24 a přibližně (6 + 4 { sqrt {2}}) ^ {6} quad +.000 , 11 dots e ^ { pi { sqrt {37}}} { color {red} +} , 24 a přibližně (12 + 2 { sqrt {37}}) ^ {6} -. 000 , 0014 dots e ^ { pi { sqrt {58}}} - 24 a přibližně (27 + 5 { sqrt {29}}) ^ {6} -. 000 , 000 , 0011 tečky end {zarovnáno}}}$

Po sobě jdoucí prvočísla

Vzhledem k liché primep, pokud se počítá ${ displaystyle k ^ {2} { pmod {p}}}$ pro ${ displaystyle k = 0,1, tečky, (p-1) / 2}$ (to je dostačující, protože ${ displaystyle (p-k) ^ {2} equiv k ^ {2} { pmod {p}}}$), jeden dostane po sobě jdoucí kompozity, následované po sobě jdoucími prvočísly, právě když p je Heegnerovo číslo.^[14]

Podrobnosti viz „Kvadratické polynomy produkující po sobě jdoucí odlišná prvočísla a skupiny tříd komplexních kvadratických polí“ od Richard Mollin.^[15]

Poznámky a odkazy

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Heegnerovo číslo“. MathWorld.
• OEIS posloupnost A003173 (Heegnerova čísla: imaginární kvadratická pole s jedinečnou faktorizací)
• Gaussův problém s číslem třídy pro imaginární kvadratická pole, Dorian Goldfeld: Podrobná historie problému.
• Clark, Alex. „163 a Ramanujan Constant“. Numberphile. Brady Haran. Archivovány od originál dne 16. 05. 2013. Citováno 2013-04-02.