Elementární tok - Elementary flow - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Února 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek poskytuje nedostatečný kontext osobám, které toto téma neznají. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Února 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Elementární tok je kolekce základních toků, ze kterých je možné vytvářet složitější toky superpozice. Některé toky odrážejí konkrétní případy a omezení, jako je nestlačitelný, irrotační nebo obojí jako v případě Potenciální tok.^[1]

Dvourozměrný rovnoměrný tok

Vzhledem k jednotné rychlosti tekutiny v jakékoli poloze ve vesmíru:

${ displaystyle mathbf {V_ {0}} = v_ {0} cos ( theta _ {0}) mathbf {e} _ {x} + v_ {0} sin ( theta _ {0}) mathbf {e} _ {y}}$

Tento tok je nestlačitelný, protože rychlost je konstantní, první deriváty složek rychlosti jsou nulové a celková divergence je nulová:${ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = 0}$

Vzhledem k oběh je vždy nula, tok je také irrotační, můžeme to odvodit z Kelvinova cirkulační věta a z výslovného výpočtu Vorticita:

${ displaystyle omega _ {z} = částečné v_ {x} / částečné y- částečné v_ {y} / částečné x = 0}$

Protože je nestlačitelný a dvourozměrný, je tento tok konstruován z a funkce streamu

${ displaystyle v_ {x} = - částečný psi / částečný y}$

${ displaystyle v_ {y} = částečný psi / částečný x}$

z nichž

${ displaystyle psi = -v_ {0} sin ( theta _ {0}) x + v_ {0} cos ( theta _ {0}) y}$

A ve válcových souřadnicích:

${ displaystyle v_ {r} = - 1 / r částečný psi / částečný theta}$

${ displaystyle v _ { theta} = částečný psi / částečný r}$

z nichž

${ displaystyle psi = -v_ {0} rsin ( theta - theta _ {0})}$

Jako obvykle je funkce proudu definována až do konstantní hodnoty, kterou zde považujeme za nulovou. Můžeme také potvrdit, že tok je irrotační z

${ displaystyle nabla ^ {2} psi = 0}$

Být irrotační, potenciální funkce je místo toho:

${ displaystyle v_ {x} = - částečné phi / částečné x}$

${ displaystyle v_ {y} = - částečné phi / částečné y}$

a proto

${ displaystyle phi = -v_ {0} cos ( theta _ {0}) x-v_ {0} sin ( theta _ {0}) y}$

A v válcové souřadnice

${ displaystyle v_ {r} = - { frac {1} {r}} částečný phi / částečný r}$

${ displaystyle v _ { theta} = - částečná phi / částečná theta}$

${ displaystyle phi = -v_ {0} rcos ( theta - theta _ {0})}$

Dvourozměrný linkový zdroj

Přerušovaný potenciální tok zefektivňuje pro ideální zdroj svislé čáry

V případě, že svislá čára emitující pevnou rychlostí konstantní množství tekutiny Q na jednotku délky je zdrojem čáry. Problém má válcovou simmetrii a lze jej řešit dvourozměrně v ortogonální rovině.

Síťové zdroje a propady potrubí (níže) jsou důležitými elementárními toky, protože hrají roli monopolu (ů) pro nestlačitelné tekutiny (což lze také považovat za příklady solenoidová pole tj. pole bez divergence). Obecné vzorce toku lze také rozložit, pokud jde o vícepólové expanze, stejným způsobem jako pro elektrický a magnetický pole, kde monopol je v podstatě první netriviální (např. konstantní) člen expanze.

Tento vzor toku je také irrotační a nestlačitelný.

To se vyznačuje válcovou symetrií:

${ displaystyle mathbf {v} = v_ {r} (r) mathbf {e} _ {r}}$

Kde je celkový výstupní tok konstantní

${ displaystyle int _ {S} mathbf {v} cdot d mathbf {S} = int _ {0} ^ {2 pi} (v_ {r} (r) , mathbf {e} _ {r}) cdot ( mathbf {e} _ {r} , r , d theta) = ! 2 pi , r , v_ {r} (r) = Q}$

Proto,

${ displaystyle v_ {r} = { frac {Q} {2 pi r}}}$

To je odvozeno z funkce streamu

${ displaystyle psi (r, theta) = - { frac {Q} {2 pi}} theta}$

nebo z potenciální funkce

${ displaystyle phi (r, theta) = - { frac {Q} {2 pi}} ln r}$

Dvourozměrný dřez

Případ vertikální čáry absorbující fixní rychlostí konstantní množství tekutiny Q na jednotku délky je jímka potrubí. Všechno je stejné jako v případě linkového zdroje část ze záporného znaménka.

${ displaystyle v_ {r} = - { frac {Q} {2 pi r}}}$

To je odvozeno z funkce streamu

${ displaystyle psi (r, theta) = { frac {Q} {2 pi}} theta}$

nebo z potenciální funkce

${ displaystyle phi (r, theta) = { frac {Q} {2 pi}} ln r}$

Vzhledem k tomu, že dva výsledky jsou stejné jako část znaku mínus, můžeme transparentně zacházet se zdroji i potopami vedení se stejným proudem a potenciálními funkcemi umožňujícími Q převzít kladné i záporné hodnoty a absorbovat znaménko mínus do definice Q .

Dvourozměrný dubletový nebo dipólový zdroj

Pokud vezmeme v úvahu zdroj linky a potopení linky ve vzdálenosti d, můžeme znovu použít výše uvedené výsledky a funkce proudu bude

${ displaystyle psi ( mathbf {r}) = psi _ {Q} ( mathbf {r} - mathbf {d} / 2) - psi _ {Q} ( mathbf {r} + mathbf {d} / 2) simeq mathbf {d} cdot nabla psi _ {Q} ( mathbf {r})}$

Poslední aproximace je prvního řádu v d.

Dáno

${ displaystyle mathbf {d} = d [cos theta _ {0} mathbf {e} _ {x} + sin theta _ {0} mathbf {e} _ {y}] = d [cos ( theta - theta _ {0}) mathbf {e} _ {r} + sin ( theta - theta _ {0}) mathbf {e} _ { theta}]}$

Zůstává

${ displaystyle psi (r, theta) = - { frac {Qd} {2 pi}} { frac {sin ( theta - theta _ {0})} {r}}}$

Rychlost je pak

${ displaystyle v_ {r} (r, theta) = { frac {Qd} {2 pi}} { frac {cos ( theta - theta _ {0})} {r ^ {2}} }}$

${ displaystyle v _ { theta} (r, theta) = { frac {Qd} {2 pi}} { frac {sin ( theta - theta _ {0})} {r ^ {2} }}}$

A místo toho potenciál

${ displaystyle phi (r, theta) = { frac {Qd} {2 pi}} { frac {cos ( theta - theta _ {0})} {r}}}$

Dvourozměrná vírová čára

Přerušovaný potenciální tok zefektivňuje pro ideální vertikální vířivou čáru

To je případ vírového vlákna rotujícího konstantní rychlostí, existuje válcová symetrie a problém lze vyřešit v ortogonální rovině.

Stejně jako v případě výše uvedených liniových zdrojů hrají vírové linky roli monopolů irrotační toky.

Také v tomto případě je tok také obojí irrotační a nestlačitelný a proto případ Potenciální tok.

To se vyznačuje válcovou symetrií:

${ displaystyle mathbf {v} = proti _ { theta} (r) , mathbf {e} _ { theta}}$

Kde je celková cirkulace konstantní pro každou uzavřenou linii kolem centrálního víru

${ displaystyle mast mathbf {v} cdot d mathbf {s} = int _ {0} ^ {2 pi} (v _ { theta} (r) , mathbf {e} _ { theta}) cdot ( mathbf {e} _ { theta} , r , d theta) = ! 2 pi , r , v _ { theta} (r) = Gamma}$

a je nula pro jakýkoli řádek bez víru.

Proto,

${ displaystyle v _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}}}$

To je odvozeno z funkce streamu

${ displaystyle psi (r, theta) = { frac { gama} {2 pi}} ln r}$

nebo z potenciální funkce

${ displaystyle phi (r, theta) = - { frac { gama} {2 pi}} theta}$

Což je duální oproti předchozímu případu linkového zdroje

Obecný tok dvourozměrného potenciálu

Vzhledem k nestlačitelnému dvourozměrnému toku, který je také irrotační, máme:

${ displaystyle nabla ^ {2} psi = 0}$

Což je ve válcových souřadnicích ^[2]

${ displaystyle { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} (r { frac { částečné psi} { částečné r}}) + { frac {1 } {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné theta ^ {2}}} = 0}$

Hledáme řešení s oddělenými proměnnými:

${ displaystyle psi (r, theta) = R (r) theta ( theta)}$

který dává

${ displaystyle { frac {r} {R (r)}} { frac {d} {dr}} (r { frac {dR (r)} {dr}}) = - { frac {1} { Theta ( theta)}} { frac {d ^ {2} Theta ( theta)} {d theta ^ {2}}}}$

Vzhledem k tomu, že levá část závisí pouze na r a pravá část závisí pouze na:${ displaystyle theta}$, obě části se musí rovnat konstantě nezávislé na r a ${ displaystyle theta}$. Konstanta musí být kladná^{[je zapotřebí objasnění ]}.Proto,

${ displaystyle r { frac {d} {dr}} (r { frac {d} {dr}} R (r)) = m ^ {2} R (r)}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2} Theta ( theta)} {d theta ^ {2}}} = - m ^ {2} Theta ( theta)}$

Řešení druhé rovnice je lineární kombinací ${ displaystyle e ^ {im theta}}$ a ${ displaystyle e ^ {- im theta}}$Aby bylo možné mít jednu hodnotnou rychlost (a také funkci jednoho hodnotného proudu), m bude kladné celé číslo.

proto je nejobecnější řešení dáno

${ displaystyle psi = alpha _ {0} + beta _ {0} ln r + sum _ {m mathop {>} 0} {( alpha _ {m} r ^ {m} + beta _ {m} r ^ {- m}) sin {[m ( theta - theta _ {m})]}}}$

Potenciál je místo toho dán

${ displaystyle phi = alpha _ {0} - beta _ {0} theta + sum _ {m mathop {>} 0} {( alpha _ {m} r ^ {m} - beta _ {m} r ^ {- m}) cos {[m ( theta - theta _ {m})]}}}$

Reference

• Fitzpatrick, Richard (2017), Teoretická dynamika tekutin, Věda o IOP, ISBN  978-0-7503-1554-8
• Faber, T.E. (1995), Dynamika tekutin pro fyziky, Cambridge univerzitní tisk, ISBN  9780511806735

Charakteristický

Další čtení

• Batchelor, G.K. (1973), Úvod do dynamiky tekutin, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-09817-5
• Chanson, H. (2009), Aplikovaná hydrodynamika: Úvod do ideálních a skutečných toků tekutin, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Nizozemsko, 478 stran, ISBN  978-0-415-49271-3
• Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamika (6. vydání), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-45868-9
• Milne-Thomson, L.M. (1996) [1968], Teoretická hydrodynamika (5. vydání), Dover, ISBN  978-0-486-68970-8

externí odkazy

• Richard Fitzpatrick University of Texas, Austin (2017). "Mechanika tekutin". University of Texas, Austin. Citováno 2018-02-07.

• (c) Aerospace, Mechanical & Mechatronic Engg. 2005 University of Sydney (2005). „Prvky potenciálního toku“. University of Sydney. Citováno 2019-04-19.