Opiální majetek - Opial property
v matematika, Opiální majetek je abstraktní vlastnost Banachovy prostory která hraje důležitou roli při studiu slabá konvergence iterací mapování Banachových prostorů a asymptotického chování nelineárních poloskupiny. Vlastnost je pojmenována po polština matematik Zdzisław Opial.
Definice
Nechť (X, || ||) být Banachovým prostorem. X se říká, že má Opiální majetek pokud, kdykoli (Xn)n∈N je sekvence v X slabě konverguje k některým X0 ∈ X a X ≠ X0, z toho vyplývá, že
Případně pomocí kontrapozitivní, tuto podmínku lze zapsat jako
Li X je nepřetržitý duální prostor nějakého jiného Banachova prostoru Y, pak X se říká, že má slabá - ∗ Opiální vlastnost pokud, kdykoli (Xn)n∈N je sekvence v X slabě konvergující - k některým X0 ∈ X a X ≠ X0, z toho vyplývá, že
nebo, jak je uvedeno výše,
(Duální) Banachův prostor X se říká, že má uniformní (slabý ∗) opiální majetek pokud pro každého C > 0, existuje r > 0 takových
pro každého X ∈ X s ||X|| ≥ c a každá sekvence (Xn)n∈N v X slabě konvergující (slabě - ∗) na 0 a s
Příklady
- Opilova věta (1967): Každý Hilbertův prostor má vlastnost Opial.
- Sekvenční mezery , , vlastnit Opial.
- Van Dulstova věta (1982): pro každý oddělitelný Banachův prostor existuje ekvivalentní norma, která jej vybavuje vlastností Opial.
- Pro rovnoměrně konvexní Banachovy prostory platí vlastnost Opial právě tehdy Delta-konvergence se shoduje se slabou konvergencí.
Reference
- Opial, Zdzisław (1967). "Slabá konvergence posloupnosti po sobě jdoucích aproximací pro neexistující mapování". Býk. Amer. Matematika. Soc. 73 (4): 591–597. doi:10.1090 / S0002-9904-1967-11761-0.