Steinhausova věta - Steinhaus theorem

V matematické oblasti skutečná analýza, Steinhausova věta uvádí, že sada rozdílů množiny pozitivních opatření obsahuje otevřeno sousedství nula. Poprvé to prokázal Hugo Steinhaus.^[1]

Prohlášení

Nechat A být Lebesgue-měřitelný soubor na skutečná linie takové, že Lebesgueovo opatření z A není nula. Pak sada rozdílů

${displaystyle A-A = {a-bmid a, bin A}}$

obsahuje otevřené sousedství původu.

Obecná verze věty, poprvé prokázána André Weil,^[2] uvádí, že pokud G je lokálně kompaktní skupina, a A ⊂ G podmnožina kladných (vlevo) Haarovo opatření, pak

${displaystyle AA ^ {- 1} = {ab ^ {- 1} uprostřed, koš A}}$

obsahuje otevřené sousedství jednoty.

Věta může být také rozšířena na nonmeagre sady s Vlastnost Baire. Důkaz těchto rozšíření, někdy také nazývaných Steinhausova věta, je téměř totožný s důkazem níže.

Důkaz

Následující text je jednoduchým důkazem Karla Stromberga.^[3]Li μ je Lebesgueovo opatření a A je měřitelná množina s pozitivní konečnou mírou

${displaystyle 0$

pak pro každého ε > 0 existuje a kompaktní sada K. a otevřená sada U takhle

${displaystyle Ksubset Asubset U, quad mu (K) + epsilon> mu (A)> mu (U) -epsilon.}$

Pro náš účel si stačí vybrat K. a U takhle

${displaystyle 2mu (K)> mu (U).}$

Od té doby K. ⊂ U,pro každého ${displaystyle kin K}$, existuje sousedství ${displaystyle W_ {k}}$ 0 takových, že ${displaystyle k + W_ {k} podmnožina U}$, a dále existuje sousedství ${displaystyle V_ {k}}$ 0 takových, že ${displaystyle 2V_ {k} podmnožina W_ {k}}$. Například pokud ${displaystyle W_ {k}}$ obsahuje ${displaystyle (-epsilon, epsilon)}$, můžeme vzít ${displaystyle V_ {k} = (- epsilon / 2, epsilon / 2)}$.Rodina ${displaystyle {k + V_ {k}: kin K}}$ je otevřený Pokrýt z K..Od té doby K. je kompaktní, lze si vybrat konečnou subcover ${displaystyle {k_ {1} + V_ {k_ {1}}, tečky, k_ {n} + V_ {k_ {n}}}}$.Nechat ${displaystyle V: = V_ {k_ {1}} cap tečky cap V_ {k_ {n}}}$. Pak,

${displaystyle K + Vsubset ((k_ {1} + V_ {k_ {1}}) pohár tečky pohár (k_ {n} + V_ {k_ {n}})) + Vsubset ((k_ {1} + 2V_ {k_ {1}}) pohár tečky pohár (k_ {n} + 2V_ {k_ {n}})) podmnožina ((k_ {1} + W_ {k_ {1}}) pohár tečky pohár (k_ {n} + W_ { k_ {n}})) podmnožina U}$.

Nechat proti ∈ PROTIa předpokládejme

${displaystyle (K + v) čepice K = varnothing.}$

Pak,

${displaystyle 2mu (K) = mu (K + v) + mu (K)$

v rozporu s naší volbou K. a U. Proto pro všechny proti ∈ PROTI existují

${displaystyle k_ {1}, k_ {2} v Ksubset A}$

takhle

${displaystyle v + k_ {1} = k_ {2},}$

což znamená, že PROTI ⊂ A − A. Q.E.D.

Důsledek

Důsledkem této věty je, že jakýkoli měřitelná vlastní podskupina z ${displaystyle (mathbb {R}, +)}$ je míry nula.

Viz také

• Falconerova domněnka

Poznámky

Reference

• Steinhaus, Hugo (1920), „Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive“ (PDF), Fond. Matematika. (francouzsky), 1: 93–104, doi:10,4064 / fm-1-1-93-104.
• Weil, André (1940). L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications. Hermann.
• Stromberg, K. (1972). „Elementární důkaz Steinhausovy věty“. Proceedings of the American Mathematical Society. 36 (1): 308. doi:10.2307/2039082. JSTOR  2039082.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Sadhukhan, Arpan (2020). „Alternativní důkaz Steinhausovy věty“. Americký matematický měsíčník. 127 (4): 330. arXiv:1903.07139. doi:10.1080/00029890.2020.1711693.

• Väth, Martin (2002). Teorie integrace: druhý kurz. World Scientific. ISBN  981-238-115-5.